复变函数与积分变换第4章

第四章级数一.复数数列的极限，复数项级数,复变函数项级数二.泰勒级数三.洛朗级数寻找（解析的）复变函数的级数表达式，为第五章做准备1.复数数列的极限第一节复级数1.1复数项级数定理1.1则的充要条件为充分性必要性(无穷小与有界函数【实数范围内的余弦函数】的乘积仍为无穷小)例：例1．解：2.复数项级数称为复数项无穷级数.否则，称级数发散。定理1.2则的充要条件是收敛实数项级数复数项级数收敛的判定方法:判定:实数项级数，同时收敛。定理1.3的必要条件是不一定收敛。非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛。定义定理1.4即绝对收敛必定收敛。正项级数（定理1.4）（定理1.2）提示:(正项级数的比较判别法)则

收敛，即收敛。复习：正项级数收敛的判定常见判别方法:(i)比较判别法两个正项级数若则(ii)比值判别法(达朗贝尔判别法)正项级数若则特殊级数的相关结论：(2)交错级数(正负项交错出现的级数)若满足则交错级数收敛.发散收敛收敛收敛.收敛收敛条件收敛.发散1.2复变函数项级数称为这级数的部分和。存在，则称复变函数项级数2.幂级数即则称为幂级数。（高数内容的复习）结论：则则则o[P54,定理1.6][p51,定理1.5]（P52)定理1.5则则定理1.5（阿贝尔定理）

阿贝尔定理告诉我们:2．收敛圆与收敛半径定义：

注意：

例求下列幂级数的收敛半径解：练习：计算收敛半径。=2熟记此结论！！幂级数的运算：则两个幂级数像多项式一样进行相加，相减，相乘运算；代换（复合）运算：则例1.4解：凑项小结2.熟练掌握:复数项级数的收敛，绝对收敛的判定。1.熟练掌握：复数数列极限的判定与计算高数中关于正项级数收敛的部分结论。3.熟练掌握:定理1.5，幂级数的收敛半径的计算-比值法，根值法。4.熟练掌握:幂级数和函数的性质－－在收敛圆内解析。5.熟练掌握:例1.2的结论，以及例1.4中的代换运算。2.下列级数中，条件收敛的级数为（）(A)(B)(C)(D)C练习题(A)(B)(C)(D)3.下列级数中，绝对收敛的级数为（）D注：（）（A)绝对收敛（B）条件收敛(C)发散（D)不确定A发散第二节泰勒级数

上节看到，任意的幂级数在其收敛圆内具有解析的和函数，即，幂级数在收敛圆内对应一个解析函数。

反过来，对于任意的解析函数是否可以利用幂级数来表示？即表达式是否存在？若存在，具体形式如何？第三章，柯西积分公式给出了解析函数的积分表达式：（第三章，P40定理4.1)Dd定理2.1且上述展开式是唯一的。解析注:(1)（2）解析函数的性质：的收敛半径R

：泰勒级数的计算：约定：其中，（1）直接展开法

利用定理2.1,我们可以直接计算系数:例2.1解：收敛半径常见函数在点

处的泰勒展开式：（需要记忆）（与高数一致）（二）间接展开法

借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算（加法，乘法，积分，求导等运算）,得出函数的泰勒展开式.[解]函数的唯一奇点z=-1.

例题1.2解：所以，内展成泰勒级数例题1.2解:所以，内展成泰勒级数解:

f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径

R等于从z0到

f(z)的距z0最近一个奇点a的距离,即R=|a-z0|.

小结1.熟练掌握2.记忆：泰勒展开式：3.熟练计算函数在点的泰勒展开式。练习()D注：第三节洛朗级数（1）既含有正幂项，又含有负幂项的函数项级数有什么性质？例问题：问题：3.1洛朗级数及其收敛圆环形如注：与幂级数的区别：多了关于的负幂项。主要部分解析部分对于（1）：对于（2）：幂级数幂级数

洛朗级数在收敛圆环域内对应的和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导.定理3.1：例:的收敛圆环与和函数。求洛朗级数解：洛朗级数可表示为对于级数级数变为和函数：例题1.2所以，级数即和函数：对于级数即和函数：所以，洛朗级数的和函数：例题1.2

问题：

在一个圆环内解析的函数是否一定能够展开成洛朗级数?3.2洛朗展开定理C定理3.2（洛朗定理）注:一般地,洛朗级数中的系数不能利用—P40,公式--表示.C洛朗展开式的计算：(代换运算时，特别注意收敛范围的验证）4.验证所得级数是否符合形式解：例题1.2例题1.2解：与所求洛朗级数的形式一致例题1.2解：与所求洛朗级数的形式一致例题1.2解：与所求洛朗级数的形式一致洛朗级数的应用：计算复变函数积分问题解：柯西积分定理P29例题1.2洛朗级数的应用：离散信号：等式成立的范围：洛朗级数

-2-1012(作用：将差分方程转化为代数方程，简化计算）小