复变函数与积分变换-第二章

第2章解析函数2.1解析函数的概念复变函数与积分变换》1.复变函数的导数复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》导数的分析定义：复变函数与积分变换》导数运算法则复变函数的求导法则（以下出现的函数均假设可导）：（1）其中为复常数；（2）其中为正整数；（3）；（4）

（5）

；复变函数与积分变换》（6）；

（7）是两个互为反函数的单值函数，且..复变函数与积分变换》2.解析的概念复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》注解1、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等；注解2、一个函数在一个点可导，显然它在这个点连续；注解2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解：复变函数与积分变换》注解3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；注解4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；注解5、解析性区域；注解：复变函数与积分变换》四则运算法则复变函数与积分变换》复合函数求导法则复变函数与积分变换》反函数求导法则复变函数与积分变换》利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同。注解：复变函数与积分变换》2.2函数解析的充要条件复变函数与积分变换》Cauchy-Riemann条件：复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》定理3.1的证明（必要性）：复变函数与积分变换》定理3.1的证明（充分性）：复变函数与积分变换》复变函数的解析条件复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》注解:和数学分析中的结论不同，此定理表明解析函数(可导函数)的实部和虚部不是完全独立的，它们是柯西-黎曼方程的一组解；柯西-黎曼条件是复变函数解析的必要条件而非充分条件（见反例）；解析函数的导数有更简洁的形式：复变函数与积分变换》反例：u(x,y)、v(x,y)如下：复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》例1讨论下列函数的可导性和解析性：复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》例2复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》2.3初等函数

3、指数函数

4、多值函数导引：幅角函数复变函数与积分变换》1.指数函数(1)指数函数的定义复变函数与积分变换》我们首先把指数函数的定义扩充到整个复平面。要求复变数z=x+iy的函数f(z)满足下列条件：复变函数与积分变换》由解析性，我们利用柯西-黎曼条件，有所以，因此，我们也重新得到欧拉公式：复变函数与积分变换》(2)指数函数的基本性质复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》yxz-平面uw-平面v复变函数与积分变换》2.三角函数与双曲函数复变函数与积分变换》

由于Euler公式，对任何实数x，我们有：所以有因此，对任何复数z，定义余弦函数和正弦函数如下：复变函数与积分变换》三角函数的基本性质:则对任何复数z，Euler公式也成立：复变函数与积分变换》关于复三角函数，有下面的基本性质：1、cosz和sinz是单值函数；2、cosz是偶函数，sinz是奇函数:复变函数与积分变换》

3、cosz和sinz是以为周期的周期函数:复变函数与积分变换》证明：复变函数与积分变换》注解：由于负数可以开平方，所以由此不能得到例如z=2i时，有复变函数与积分变换》6、cosz和sinz在整个复平面解析，并且有：证明：复变函数与积分变换》7、cosz和sinz在复平面的零点：cosz在复平面的零点是，

sinz在复平面的零点是8、同理可以定义其他三角函数：复变函数与积分变换》9、反正切函数：由函数所定义的函数

w称为z的反正切函数，记作由于令，得到复变函数与积分变换》从而所以反正切函数是多值解析函数，它的支点是无穷远点不是它的支点。复变函数与积分变换》3.对数函数和实变量一样，复变量的对数函数也定义为指数函数的反函数：复变函数与积分变换》注解、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为2的周期函数，所以对数函数必然是多值函数，事实上。复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》对数函数的主值：相应与幅角函数的主值，我们定义对数函数Lnz的主值lnz为：则这时，有复变函数与积分变换》三种对数函数的联系与区别：复变函数与积分变换》对数函数的基本性质复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》uvw-平面xz-平面y复变函数与积分变换》对数函数的单值化：相应与幅角函数的单值化，我们也可以将对数函数单值化：考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D。显然，在D内，对数函数可以分解为无穷多个单值连续分支。复变函数与积分变换》沿负实轴的割线的取值情况：上沿下沿复变函数与积分变换》一般区域：复变函数与积分变换》对数函数的单值化：由于对数函数的每个单值连续分支都是解析的，所以我们也将它的连续分支称为解析分支。我们也称对数函数是一个无穷多值解析函数。我们称原点和无穷远点是对数函数的无穷阶支点（对数支点）；复变函数与积分变换》特点：1、当z绕它们连续变化一周时，Lnz连续变化到其它值；2、不论如何沿同一方向变化，永远不会回到同一个值。复变函数与积分变换》例1复变函数与积分变换》例2复变函数与积分变换》例3复变函数与积分变换》4.幂函数利用对数函数，可以定义幂函数：设a是任何复数，则定义z的a次幂函数为复变函数与积分变换》当a为正实数，且z=0时，还规定由于因此，对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子个数。复变函数与积分变换》幂函数的基本性质：复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》复变函数与积分变换》设在区域G内，我们可以把Lnz分成无穷个解析分支。对于Lnz的一个解析分支，相应地有一个单值连续分支。根据复合函数求导法则，的这个单值连续分支在G内解析，并且其中应当理解为对它求导数的那个分支，lnz应当理解为对数函数相应的分支。复变函数与积分变换》对应于Lnz在G内任一解析分支：当a是整数时，在G内有n个解析分支；当a是无理数或虚数时，幂函数在G内是同一解析函数；当时，在G内有无穷多个解析分支，是一个无穷值多值函数。复变函数与积分变换》例如当n是大于1的整数时，称为根式函数，它是的反函数。当时，有这是一个n值函数。复变函数与积分变换》在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得的区域D内，它有n个不同的解析分支：它们也可以记作这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相应的连续分支在该处所取的值一致。复变函数与积分变换》幂函数的映射性质:复变函数与积分变换》关于幂函数当a为正实数时的映射性质，有下面的结论：设是一个实数，并且在z平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到一个区域D*。考虑D*内的角形，并取在D*内的一个解析分支复变函数与积分变换》当z描出A内的一条射线时让从0增加到（不包括0及），那么射线l扫过角形A，而相应的射线扫过角形（不包括0），w在w平面描出一条射线

复变函数与积分变换》因此把夹角为

的角形双射成一个夹角为

的角形，同时，这个函数把A中以原点为心的圆弧映射成中以原点为心的圆弧。

复变函数与积分变换》类似地，我们有，当n(>1)是正整数时，的n个分支分别把区域D*双射成w平面的n个角形复变函数与积分变换》例1、作出一个含i的区域，使得函数在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支在点i个的值。解：我们知道可能的支点为0、1、2与无穷，具体分析见下图复变函数与积分变换》结论：0、1、2与无穷都是1阶支点。复变函数与积分变换》可以用正实数轴作为割线，在所得区域上，函数可以分解成单值解析分支。同时，我们注意到因此也可以用[0，1]与作割线。复变函数与积分变换》我们求函数下述的解析分支在z=i的值。在z=1处，取在w的两个解析分支为：复变函数与积分变换》如下图，所以复变函数与积分变换》例2、验证函数在区域D=C-[0,1]内可以分解成解析分支；求出这个分支函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支在z=-1处的值及