中国民航大学名师高数课件高阶微分方程(6-9)

高阶微分方程2012.51高阶微分方程(6-9)第12章微分方程14学时102教学计划6月3日星期一§12.1微分方程基本概念§12.2可分离变量6月10日星期五§12.3齐次方程

§12.4一阶线性微分方程16月13日星期一§12.4一阶线性微分方程

2§12.5全微分方程6月15日星期三§12.6可降阶的高阶6月17日星期五§12.7高阶线性方程6月20日星期一§12.8二阶常系数齐次线性6月24日星期五§12.9二阶线性非齐次6月27日星期一习题课126月29日星期三总复习17月1日星期五总复习22011年7月4日星期一高等数学期末考试2011年暑假：7月13日～8月28日2012.52高阶微分方程(6-9)第十二章第六节可降阶高阶微分方程一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程2012.53高阶微分方程(6-9)一、令因此即同理可得依次通过

n

次积分,可得含

n

个任意常数的通解.型的微分方程

2012.54高阶微分方程(6-9)例1.解:

2012.55高阶微分方程(6-9)例2.质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动,在开始时刻随着时间的增大,此力

F

均匀地减直到t=T时

F(T)=0.如果开始时质点在原点,解:据题意有t=0时设力F仅是时间t

的函数:F=F(t).小,求质点的运动规律.初速度为0,且对方程两边积分,得2012.56高阶微分方程(6-9)利用初始条件于是两边再积分得再利用故所求质点运动规律为2012.57高阶微分方程(6-9)二.型的微分方程

设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解2012.58高阶微分方程(6-9)例3.求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为2012.59高阶微分方程(6-9)例4.绳索仅受重力作用而下垂,解:取坐标系如图.考察最低点A到(

:

密度,s:弧长)弧段重力大小按静力平衡条件,有故有设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?任意点M(x,y)弧段的受力情况:

A

点受水平张力HM

点受切向张力T两式相除得2012.510高阶微分方程(6-9)则得定解问题:原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为悬链线2012.511高阶微分方程(6-9)三.型的微分方程

令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解2012.512高阶微分方程(6-9)例5.求解解:代入方程得两端积分得(可分离变量)故所求通解为2012.513高阶微分方程(6-9)M:地球质量m:物体质量例6.

静止开始落向地面,求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力).解:

如图所示选取坐标系.则有定解问题:代入方程得积分得一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由2012.514高阶微分方程(6-9)两端积分得因此有注意“－”号2012.515高阶微分方程(6-9)由于y=R

时由原方程可得因此落到地面(y=R)时的速度和所需时间分别为2012.516高阶微分方程(6-9)说明:

若此例改为如图所示的坐标系,解方程可得问:

此时开方根号前应取什么符号?说明道理.则定解问题为2012.517高阶微分方程(6-9)例7.解初值问题解:

令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得2012.518高阶微分方程(6-9)为曲边的曲边梯形面积上述两直线与x

轴围成的三角形面例8.二阶可导,且上任一点P(x,y)

作该曲线的切线及x轴的垂线,区间[0,x]上以解:于是在点P(x,y)处的切线倾角为

,满足的方程.积记为(考研)2012.519高阶微分方程(6-9)再利用y(0)=1得利用得两边对x

求导,得定解条件为方程化为利用定解条件得得故所求曲线方程为2012.520高阶微分方程(6-9)内容小结可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令令2012.521高阶微分方程(6-9)思考与练习1.方程如何代换求解?答:

令或一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.例6例72012.522高阶微分方程(6-9)速度大小为2v,方向指向A,提示:设t时刻

B位于(x,y),如图所示,则有去分母后两边对

x

求导,得又由于设物体

A

从点(0,1)出发,以大小为常数v备用题的速度沿y轴正向运动,物体B

从(–1,0)出发,试建立物体B

的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件.①2012.523高阶微分方程(6-9)代入①式得所求微分方程:其初始条件为2012.524高阶微分方程(6-9)12-6高阶可降阶方程作业P2921(2,5,6,);2(6);3;

2012.525高阶微分方程(6-9)高阶线性微分方程第七节二、线性齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构

*四、常数变易法

一、二阶线性微分方程举例第十二章2012.526高阶微分方程(6-9)一、二阶线性微分方程举例当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻

t

物位移为x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.2012.527高阶微分方程(6-9)据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:2012.528高阶微分方程(6-9)求电容器两极板间电压例2.联组成的电路,其中R,L,C

为常数,所满足的微分方程.解:

设电路中电流为i(t),的电量为q(t),自感电动势为由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串极板上在闭合回路中,所有支路上的电压降为0‖

~2012.529高阶微分方程(6-9)串联电路的振荡方程:化为关于的方程:故有‖

~如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得2012.530高阶微分方程(6-9)例1例2方程的共性

—可归结为同一形式:(二阶线性微分方程)n阶线性微分方程的一般形式为时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习:

一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y2012.531高阶微分方程(6-9)证毕二.线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得(叠加原理)

定理1.2012.532高阶微分方程(6-9)说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.2012.533高阶微分方程(6-9)定义:是定义在区间I

上的

n个函数,使得则称这

n个函数在I

上线性相关,否则称为线性无关.例如，

在(,)上都有故它们在任何区间I

上都线性相关;又如，若在某区间

I

上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间

I

上都线性无关.若存在不全为

0

的常数2012.534高阶微分方程(6-9)两个函数在区间I

上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使(无妨设线性无关常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关(证明略)线性无关2012.535高阶微分方程(6-9)定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)

推论.是

n

阶齐次方程的n

个线性无关解,则方程的通解为则2012.536高阶微分方程(6-9)三.线性非齐次方程解的结构是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:

将代入方程①左端,得②①2012.537高阶微分方程(6-9)是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,

方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.2012.538高阶微分方程(6-9)定理4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)2012.539高阶微分方程(6-9)定理4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4均可推广到n

阶线性非齐次方程.2012.540高阶微分方程(6-9)定理5.是对应齐次方程的n

个线性无关特解,给定n

阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解2012.541高阶微分方程(6-9)常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例3.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)2012.542高阶微分方程(6-9)例4.

已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三2012.543高阶微分方程(6-9)12-6高阶可降阶方程作业P2921(2,5,6,10,);2(3),(6);3;

12-7解的结构作业P3001,3,4(2,5)2012.544高阶微分方程(6-9)第八节第十二章常系数齐次线性微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化2012.545高阶微分方程(6-9)二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r

为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.2012.546高阶微分方程(6-9)2.当时,

特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为2012.547高阶微分方程(6-9)3.当时,

特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为2012.548高阶微分方程(6-9)小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.2012.549高阶微分方程(6-9)若特征方程含k

重复根若特征方程含k

重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广:2012.550高阶微分方程(6-9)例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.

求解初值问题解:

特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为2012.551高阶微分方程(6-9)例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例5.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解2012.552高阶微分方程(6-9)例6.解:特征方程:即其根为方程通解:2012.553高阶微分方程(6-9)例7.解:

特征方程:特征根为则方程通解:2012.554高阶微分方程(6-9)内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.2012.555高阶微分方程(6-9)思考与练习求方程的通解.答案:通解为通解为通解为2012.556高阶微分方程(6-9)备用题为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:

根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为2012.557高阶微分方程(6-9)12-8常系数线性齐次方程作业

p3101(1,2,4,5,10);2(1,4)2012.558高阶微分方程(6-9)1.讲解12-9非齐次2.讲解12章习题课3.抄写和讲解总复习题2012.559高阶微分方程(6-9)常系数非齐次线性微分方程第九节一、二、第十二章2012.560高阶微分方程(6-9)计算公式

为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为2012.561高阶微分方程(6-9)二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法2012.562高阶微分方程(6-9)一、

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m

次多项式.Q(x)为

m次待定系数多项式2012.563高阶微分方程(6-9)(2)若是特征方程的单根

,为m

次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,是m

次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解2012.564高阶微分方程(6-9)例1.的一个特解.解:

本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为2012.565高阶微分方程(6-9)例2.

的通解.

解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为2012.566高阶微分方程(6-9)例3.

求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得2012.567高阶微分方程(6-9)于是所求解为解得2012.568高阶微分方程(6-9)二.第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点2012.569高阶微分方程(6-9)第一步利用欧拉公式将f(x)变形2012.570高阶微分方程(6-9)

第二步求如下两方程的特解

是特征方程的

k

重根(

k=0,1),故等式两边取共轭:为方程③的特解.②③设则②有特解:2012.571高阶微分方程(6-9)第三步求原方程的特解

利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程

均为

m

次多项式.2012.572高阶微分方程(6-9)第四步分析因均为

m

次实多项式.本质上为实函数,2012.573高阶微分方程(6-9)小结:对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的

k

重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.2012.574高阶微分方程(6-9)例4.

的一个特解

.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解2012.575高阶微分方程(6-9)例5.

的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为2012.576高阶微分方程(6-9)例6.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设