工程力学基础第5章-摩擦

静力学篇第5章摩擦1

两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此间产生的阻碍相对滑动的作用，称为滑动摩擦。当其接触表面之间有相对滚动趋势或相对滚动时，彼此间产生的阻碍相对滚动的作用，称为滚动摩擦。阻碍的程度用力来度量，分别称为滑动摩擦力或滚动摩擦力。摩擦滑动摩擦滚动摩擦2摩擦滑动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦静滚动摩擦动滚动摩擦摩擦干摩擦湿摩擦3

摩擦是一种极其复杂的物理-力学现象，本章主要研究滑动摩擦，仅介绍工程中常用的简单近似理论。重点研究有摩擦时物体的平衡问题。摩擦有不利的一面，也有有利的一面。《摩擦学》4

摩擦力作用于相互接触处，其方向与相对滑动的趋势或相对滑动的方向相反，它的大小根据主动力作用的不同，可以分为三种情况，即静滑动摩擦力，最大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力。§

5-1滑动摩擦51．静滑动摩擦力由上式可知，静摩擦力的大小随水平力的增大而增大，这是静摩擦力和一般约束反力共同的性质。62．最大静滑动摩擦力静摩擦力又与一般约束反力不同，它并不随力的增大而无限度地增大。当力的大小达到一定数值时，物块处于将要滑动、但尚未开始滑动的临界状态。这时，只要力再增大一点，物块即开始滑动。当物块处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值，即为最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力，以表示。此后，如果再继续增大，但静摩擦力不能再随之增大，物体将失去平衡而滑动。这就是静摩擦力的特点。综上所述可知，静摩擦力的大小随主动力的情况而改变，但介于零与最大值之间，即7

大量实验证明：最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力（即法向反力）成正比，即式中是比例常数，称为静摩擦系数，它是无量纲数。上式称为静摩擦定律(又称库仑定律)。静摩擦系数的大小需由实验测定。它与接触物体的材料和表面情况(如粗糙度、温度和湿度等)有关，而与接触面积的大小元关。静摩擦系数的数值可在工程手册中查到，表5-1中列出了一部分常用材料的摩擦系数。但影响摩擦系数的因素很复杂，如果需用比较准确的数值时，必须在具体条件下进行实验测定。8表5-1常用材料的滑动摩擦系数材料名称静摩擦系数动摩擦系数无有润滑有润滑无润滑有润滑钢-钢钢-软钢钢-铸铁钢-青铜软钢--铸铁软钢-青铜铸铁-铸铁铸铁-青铜青铜-青铜皮革-铸铁橡皮-铸铁木材-木材0.5

0.30.150.20.2

0.3～0.5

0.4～0.60.1～0.2

0.1～0.15

0.18

0.10.15

0.10.150.20.180.150.180.180.150.15-0.20.20.60.80.2-0.50.05～0.10.1～0.20.05～0.150.1～0.150.05～0.150.07～0.150.07～0.120.07～0.150.07～0.10.150.50.07～0159静滑动摩擦力的特点1方向：沿接触处的公切线，2大小：3（库仑摩擦定律）与相对滑动趋势反向；静摩擦定律给我们指出了利用摩擦和减少摩擦的途径。例如，汽车，火车。

103．动滑动摩擦力当滑动摩擦力已达到最大值时，若主动力再继续加大，接触面之间将出现相对滑动。此时，接触物体之间仍作用有阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以表示。实验表明:动摩擦力的大小与接触体间的正压力成正比，即式中

是动摩擦系数，它与接触物体的材料和表面情况有关。11动摩擦力与静摩擦力不同，没有变化范围。一般情况下，动摩擦系数小于静摩擦系数，即实际上动摩擦系数还与接触物体间相对滑动的速度大小有关。对于不同材料的物体，动摩擦系数随相对滑动的速度变化规律也不同。多数情况下，动摩擦系数随相对滑动速度的增大而稍减小。但当相对滑动速度不大时，动摩擦系数可近似地认为是个常数，参阅表5-1。在机器中，往往用降低接触表面的粗糙度或加人润滑剂等方法，使动摩擦系数降低，以减小摩擦和磨损。122大小：（对多数材料，通常情况下）动滑动摩擦的特点1方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；13§5-2摩擦角和自锁现象

1．摩擦角当有摩擦时，支承面对平衡物体的约束反力包含两个分量：14

摩擦角与摩擦锥

动画第5章摩擦15可见，摩擦角与摩擦系数一样，都是表示材料的表面性质的量。162自锁现象17应用这个道理，可以设法避免发生自锁现象。自锁条件:3.测定静摩擦系数利用摩擦角的概念，可用简单的试验方法，测定静摩擦系数。18

动画第5章摩擦利用摩擦角测定摩擦因数19

动画摩擦自锁条件第5章摩擦20

动画螺旋千斤顶第5章摩擦21考虑摩擦时，求解物体平衡问题的步骤与前几章所述大致相同，但有如下的几个特点：（1）分析物体受力时，必须考虑接触面间切向的摩擦力，通常增加了未知量的数目；（2）为确定这些新增加的未知量，还需列出补充方程，即库仑定律，补充方程的数目与摩擦力的数目相同;(3)由于物体平衡时摩擦力有一定的范围，所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围，而不是一个确定的值。工程中有不少问题只需要分析平衡的临界状态，这时静摩擦力等于其最大值，补充方程只取等号。有时为了计算方便，也先临界状态下计算，求得结果后再分析、讨论其解的平衡范围。§5-3考虑摩擦时物体的平衡问题22第5章摩擦

例题23

小物体A重G=10N，放在粗糙的水平固定面上，它与固定面之间的静摩擦因数fs=0.3。今在小物体A上施加F=4N的力，α

=30°，试求作用在物体上的摩擦力。2.列平衡方程。1.取物块A为研究对象，受力分析如图。解:yAxαGFFNFfαAF例题1

摩擦

例题243.联立求解。最大静摩擦力例题1

摩擦

例题yAxαGFFNFf因为所以作用在物体上的摩擦力为25

在倾角α大于摩擦角f

的固定斜面上放有重G的物块，为了维持这物块在斜面上静止不动，在物块上作用了水平力F。试求这力容许值的范围。αGF取物块为研究对象。1.设F值较小但仍大于维持平衡的最小值Fmin，受力分析如图。列平衡方程解:例题2

摩擦

例题αGFFfyxFN262.设F

值较大但仍小于维持平衡的最大值Fmax，受力分析如图。αGFFNFfxy联立求解例题2

摩擦

例题αGFFfyxFN因为≤≤（a）所以≥273.综合条件（a）和（b），得联立求解列平衡方程例题2

摩擦

例题αGFFNFfxy因为≤≤（b）所以≤≤≤28

物块重G，放于倾角为α的斜面上，它与斜面间的静摩擦因数为fs，如图所示。当物块处于平衡时，试求水平力F1的大小。（用几何法求解）例题3

摩擦

例题αF1αG法线29解：

由图a可见，物块在有向上滑动趋势的临界状态时，可将法向约束力和最大静摩擦力用全约束力FR来代替，这时物块在G，FR，F1max三个力作用下平衡，受力如图。GF1maxFRα+φ(b)

根据汇交力系平衡的几何条件，可画得如图b所示的封闭的力三角形。求得水平推力的最大值为例题3

摩擦

例题αφFRF1maxαG法线(a)30αφFRF1minαG法线

同样可画得，物块在有向下滑动趋势的临界状态时的受力图c。(c)GFRF1minα-φ(d)作封闭的力三角形如图d所示。得水平推力的最小值为

例题3

摩擦

例题31

综合上述两个结果，可得力F1的平衡范围，即按三角公式，展开上式中的和得代入上式，得

将例题3

摩擦

例题≤≤≤≤≤≤32

图示匀质木箱重G=5kN，它与地面间的静摩擦因数

fs=0.4。图中h=2a=2m，α

=30°。（1）问当D处的拉力F=1kN时，木箱是否平衡？（2）求能保持木箱平衡的最大拉力。haαADGF例题4

摩擦

例题33解:因为

Ff<Fmax，所以木箱不滑动。又因为d>0

，所以木箱不会翻倒。解方程得1.取木箱为研究对象，受力分析如图。欲保持木箱平衡，必须（1）不发生滑动，即Ff≤Fmax=fsFN。（2）不绕点A翻倒，即d>0。木箱与地面之间的最大摩擦力为例题4

摩擦

例题hdaαADGFfFNF列平衡方程342.求平衡时最大拉力，即求滑动临界与翻倒临界中的最小力F。列平衡方程解得木箱发生滑动的条件为

Ff=Fmax=fsFN木箱绕A点翻倒的条件为d=0，则F=F翻=1443N由于F翻<F滑，所以保持木箱平衡的最大拉力为例题4

摩擦

例题hdaαADGFfFNF35

制动器的构造和主要尺寸如图所示。制动块与鼓轮表面间的摩擦因数为fs，试求制动鼓轮转动所必需的力F1。例题5

摩擦

例题OABCabcRO1rF1G36O1CFfFNFFO1xFO1y

1.取鼓轮为研究对象，受力分析如图。解:列平衡方程解方程得例题5

摩擦

例题OABCabcRO1rF1G372.取杠杆为研究对象，受力分析如图。AOF1FOxFOyB例题5

摩擦

例题OABCabcRO1rF1G38列平衡方程由于例题5

摩擦

例题AOF1FOxFOyB补充方程≤解方程可得或≤≤得≤代入式(d)得≤所以≥≤39物块重G=1500N，放于倾角30o为的斜面上，它与斜面间的静摩擦因数为fs=0.2，动摩擦因数为f=0.18。物块受水平力F=400N，如图所示。问物块是否静止，并求此时摩擦力的大小与方向。OGF例题4

摩擦

例题40取物块为研究对象，假设摩擦力沿斜面向下，受力分析如图。列平衡方程解得摩擦力为负，说明平衡时摩擦力的方向与假设的方向相反，即沿斜面向上。因为

,所以物块下滑。最大摩擦力为：动滑动摩擦力大小为：方向沿斜面向上。解:xyOGFNFfF例题4

摩擦

例题41

一活动支架套在固定圆柱的外表面，且h=20cm。假设支架和圆柱之间的静摩擦因数fs=0.25。问作用于支架的主动力F的作用线距圆柱中心线至少多远才能使支架不致下滑（支架自重不计）。hdBAFx例题5

摩擦

例题422.列平衡方程。3.联立求解。1.取支架为研究对象,受力分析如图。解析法解:FAFNBFBFNAABCFxxyhOFB补充方程例题5

摩擦

例题43支架受力分析如图所示。由几何关系得解得几何法FDFRBFRAABCxfh1h2f例题5

摩擦

例题44

宽a，高b的矩形柜放置在水平面上，柜重G，重心C在其几何中心，柜与地面间的静摩擦因数是

fs，在柜的侧面施加水平向右的力F，求平衡时地面的约束反力，并求能使柜翻倒或滑动所需推力F的最小值。hCabFG例题6

摩擦

例题45yABCxFGFBFAFNBFNA1.假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。解:取矩形柜为研究对象,受力分析如图。联立求解得柜子开始滑动所需的最小推力补充方程列平衡方程例题6

摩擦

例题462.假设矩形柜不滑动但将绕B翻倒。柜不绕B

翻倒条件：

FNA≥0使柜翻倒的最小推力为列平衡方程例题6

摩擦

例题ABCxFGFBFAFNBFNA解得≤47图示为凸轮机构。已知推杆和滑道间的摩擦因数为fs，滑道宽度为b。设凸轮与推杆接触处的摩擦忽略不计。问a为多大，推杆才不致被卡住。baeBMdA例题8

摩擦

例题48解方程可得dAxyaOBbFNBFBFAFNAF取推杆为研究对象，受力分析如图。解:列平衡方程(a)(b)(c)补充方程(d)(e)代入式(c)解得例题8

摩擦

例题49解：

取推杆为研究对象，这时应将A，B处的摩擦力和法向反力分别合成为全约束反力FRA和FRB。这样一来，推杆受F，FRA和FRB三个力作用。图解法

用比例尺在图上画出推杆的几何尺寸，并自A，B两点各作与水平线成夹角φf

（摩擦角）的直线，两线交于C点，如图所示。C点至推杆中心线的距离即为所求的临界值alim，可用比例尺从图上量出。或按下式计算，得AxyaOBCba极限FφfφfFRAFRB例题8

摩擦

例题50

长为l的梯子AB一端靠在墙壁上，另一端搁在地板上，如图所示。假设梯子与墙壁的接触是完全光滑的，梯子与地板之间有摩擦，其静摩擦因数为fs。梯子的重量略去不计。今有一重为G的人沿梯子向上爬，如果保证人爬到顶端而梯子不致下滑，求梯子与墙壁的夹角α。例题10

摩擦

例题αlaABG51

例题

以梯子AB为研究对象，人的位置用距离a表示，梯子的受力如图。解：使梯子保持静止，必须满足下列平衡方程：(a)（b）（c）由式（b）和（c）得例题10

摩擦

例题yαlaABxFFNAGFNB同时满足物理条件（d）≤由式（a）和（d）得≤≤或（e）≤52因

0≤a≤l，

当a=l时，式（e）左边达到最大值。即就是人爬到梯子的顶端时梯子不下滑，则人在人梯子任何位置上，梯子都不会下滑。所以为了保证人沿梯子爬到顶端时而梯子不下滑，只需以a=l代入式（e），得αABαφfECFNBGFRA式中φf

为梯子与地板间的摩擦角。例题10

摩擦

例题或（e）≤≤≤53

在坑道施工中，广泛采用各种利用摩擦锁紧装置—楔联结。坑道支柱中的联结结构装置如图所示。它包括顶梁I，楔块II，用于调节高度的螺旋III及底座IV。螺旋杆给楔块以向上的推力FN1。已知楔块与上下支柱间的静摩擦因数均为fs（或摩擦角φf）。求楔块不致滑出所需顶角的大小。例题11

摩擦

例题θⅠⅡⅢⅣ54yθOxF1F2FN1FN21.取楔块为研究对象，受力分析如图。解：列平衡方程补充方程解方程可得由此得例题11

摩擦

例题θⅠⅡⅢⅣ55将

fs=tanφf代入上式得即所以例题11

摩擦

例题θⅠⅡⅢⅣθOxF1F2FN1FN2所以楔块不致滑出的条件为≤56

匀质轮子的重量G=3kN，半径

r=0.3m；今在轮中心施加平行于斜面的拉力FH，使轮子沿与水平面成α=30°的斜面匀速向上作纯滚动。已知轮子与斜面的滚阻系数δ=0.05cm，试求力FH的大小。αFHArOαFHAOαMf,maxGFFNyx1.取轮子为研究对象,受力分析如图。解:例题12

摩擦

例题572.列平衡方程。3.联立求解。补充方程例题12

摩擦

例题αFHAOαMf,maxGFFNyx58

重为G=100N的匀质滚轮夹在无重杆AB和水平面之间，在杆端B作用一垂直于AB的力FB，其大小为FB=50N。A为光滑铰链，轮与杆间的摩擦因数为fs1=0.4。轮半径为r，杆长为l，当

α=60°

时，AC=CB=0.5l，如图所示。如要维持系统平衡，（1）

若D处静摩擦因数fs2=0.3，求此时作用于轮心O处水平推力F的最小值;（2）若fs2=0.15,此时F的最小值又为多少？例题13

摩擦

例题ABCDOrαGFFB59解：

此题在C，D两处都有摩擦，两个摩擦力之中只要有一个达到最大值，系统即处于临界状态。

先假设C处的摩擦达到最大值，当力F为最小时，轮有沿水平向右滚动的趋势。例题13

摩擦

例题ABCDOrαGFFB60ABCFAxFAyFCFNCFB

受力分析如图，其中D

处摩擦力未达到最大值，假设其方向向左。DOCFNDFDGFα例题13

摩擦

例题611.以杆AB为研究对象，受力分析如图。解得列平衡方程补充方程例题13

摩擦例题ABCFAxFAyFCFNCFB622.以轮为研究对象，列平衡方程。

由式(c)可得代入式(e)得FND=184.6N当fs2=0.3时，D处最大摩擦力为

代入式(d)得最小水平推力

F=26.6N将由于，D处无滑动,所以维持系统平衡的最小水平推力为F=26.6N。例题13

摩擦

例题DOCFNDFDGFα63解方程得最小水平推力为受力图不变，补充方程(b)改为此时C处最大摩擦力为，所以C处无滑动。因此当

fs2=0.15时，维持系统平衡的最小水平推力改为由于例题13

摩擦

例题说明前面求得不合理，D处应先达到临界状态。3.当

fs2=0.15时,。64

半径为R，轮上绕的滑轮上作用有力偶有细绳拉住半径为R，重量为G的圆柱，如图所示。斜面倾角为α，圆柱与斜面间的滚动摩阻系数为δ。求保持圆柱平衡时，力偶矩MB的最大与最小值；并求能使圆柱匀速滚动而不滑动时静滑动摩擦因数的最小值。αRBAMBROG例题14

摩擦

例题65解：1.取圆柱为研究对象，当绳拉力最小时，圆柱有向下滚动的趋势。最小拉力为补充方程列平衡方程例题14

摩擦

例题GxyAαOFNFfMf,max662.取圆柱为研究对象，当绳拉力最大时，圆柱有向上滚动的趋势。所以最大拉力为补充方程列平衡方程例题14

摩擦

例题xyAαOGFNFfMf,max673.以滑轮B为研究对象，受力分析如图。BFBxFByMB列平衡方程当绳拉力分别为或时，力偶矩的最大与最小值为例题14

摩擦

例题MB的平衡范围为≤≤684.求圆柱只滚不滑时的最小动摩擦因数fmin。取圆柱为研究对象，列平衡方程。补充方程联立解得满足只滚不滑的条件为比较上述结果，可得例题14

摩擦

例题xyAαOGFNFfMf,max≤≥69

如图所示，总重为G的拖车在牵引力F作用下要爬上倾角为θ的斜坡。设车轮半径为r，轮胎与路面的滚动摩阻系数为δ，其它尺寸如图所示。求拖车所需的牵引力。aCxybθHhFθGAO例题15

摩擦

例题70

拖车的两对轮子都是从动轮，因此滑动摩擦力的方向都朝后。设拖车处于开始向上滚动的临界状态，因此前后轮