第二十一节 对数函数培优拓展（含答案）高一上学期数学新教材全能练之对数函数培优拓展

第二十一节对数函数培优拓展一、单选题1．（2021·河南·内黄县第一中学高二开学考试（文））已知两条直线和，与函数的图像从左至右相交于点,,与函数的图像从左至右相交于,．记线段和在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函数图像，结合图像计算四点的横坐标，然后求出线段和在轴上的投影长度，，代入，表达关于的函数，整理后，换元法利用基本不等式求最小值.【详解】作出函数图像如图，如图所示，设点，，，，则，，此时有，，，，解得，，，，线段和在轴上的投影长度分别为，，，则，令，则，当且仅当，即时取得最小值，此时的最小值为.故选：B.2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数m的值为（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性求出参数，在利用换元法把问题转化为含参的二次函数问题，再通过讨论参数来处理二次函数轴动区间定的问题进行求解.【详解】因为函数是偶函数，所以，即，所以，其中，所以，解得，所以，所以，故函数的最小值为．令，则，故函数的最小值为等价于的最小值为，等价于或，解得．故A，C，D错误.故选：B．3．（2022·福建漳州·高二期末）已知，，，则，，的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用对数的性质以及不等式放缩进行大小比较.【详解】故A，C，D错误.故选：B.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则在同一个坐标系下函数与的图像不可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，由奇偶性的定义及性质可得是R上的奇函数，且是R上的增函数，然后分、和三种情况讨论即可求解.【详解】解：设，因为，所以是R上的奇函数，又时，在上单调递增，所以在R上单调递增，且有唯一零点0，所以的图像一定经过原点，当时，与的图像相同，不符合题意．当时，是R上的奇函数，且在上单调递增，所以与的图像可能为选项C；当时，若，所以与的图像可能为选项A或B.故选：D．5．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三开学考试（理））已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断的奇偶性与单调性，由题意列不等式后求解【详解】由得定义域为，，故为偶函数，而，在上单调递增，故在上单调递增，则可化为，得解得故选：D.6．（2021·江苏·高一专题练习）对不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】原不等式整理为，令，，在上单调递增，分，，三种情况讨论，最后得出交集即为所求．【详解】，即，令，，因为在上单调递增，①时，，即：恒成立，需要在上恒成立，而二次函数开口向下，所以需要，解得；②当时原不等式显然恒成立；③时，恒成立，即恒成立，在上恒成立，又开口向下且对称轴为，由及可知，所以在上单调递减，时，，所以需要，解得，综上可得，的取值范围是，故选：A．7．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，直线OB与对数函数的图象交于两点，经过E的线段AC垂直于y轴，垂足为C，若四边形OABC是平行四边形，且平行四边形OABC的面积为4，则实数a的值为（

）A． B．2 C．3 D．【答案】B【分析】先利用平行四边形以及平行关系，得到E和B点的坐标，再利用四边形面积，求出a即可.【详解】设，由题意，轴，从而，而OABC是平行四边形，从而，故，又E为AC中点，从而有，而EBO三点共线，即，即解得，即，从而，，从而四边形面积，故故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则使得不等式成立的t的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断函数的图象的对称轴以及函数的单调性，由此列出相应的不等式，解得答案.【详解】函数的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称，故函数的图象关于直线对称，当时，函数函数单调递增，函数单调递增，故单调递减，当时，单调递增，故由不等式成立可得：，整理得：且，故且，故选：D.二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据函数新定义，结合各选项中函数的单调性判断a、b的存在性，即可得答案.【详解】A：为增函数，若存在“3倍值区间”，则，结合及的图象知，方程无解，故不存在“3倍值区间”，A错误；B：为减函数，若存在“3倍值区间”，则有，得，又，，所以可取，，所以存在“3倍值区间”，B正确；C：为增函数，若存在“3倍值区间”，则，得，所以存在“3倍值区间”，C正确；D：当时，；当时，，从而可得在上单调递增，若存在“3倍值区间”且，则有，解得，不符合题意，所以不存在“3倍值区间”，D错误．故选：BC.10．（2022·广东·珠海市第一中学高三阶段练习）已知函数的定义域为，且满足，当时，，为非零常数，则（

）A．当时，B．当时，在区间内单调递减C．当时，在区间内的最大值为D．当时，若函数的图像与的图像在区间内的个交点记为，且，则的取值范围为【答案】BD【分析】利用函数的周期性变化，结合函数图像进行分析.【详解】对于A，当时，，则，当时，，所以，故A错误；对于B，当时，，则，当时，，所以在区间内单调性与在区间内的单调性相同，当时，，所以在区间内单调性与在区间内的单调性相反，故B正确；对于C，当时，当，，即当，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以在区间内的最大值为4.故C错误；对于D，当时，当，，即当，，由图像有：若函数的图像与的图像在区间内的个交点记为，且，则的取值范围为，故D正确.故选：BD.11．（2021·辽宁·高一阶段练习）已知函数在区间I上连续，若对于任意，，且，都有，则称函数为区间I上的下凸函数，下列函数在定义域上为下凸函数的是（

）A．B．C．，D．【答案】ACD【分析】利用下凸函数的定义逐项分析即得.【详解】对于A，由，可知，任意，，且，则，故A正确；对于B，，，函数在定义域上不连续，故B错误；对于C，，，任意，，且，∴，∵，∴，即，故C正确；对于D，，可知，任意，，且，∵，，，∴，故D正确．故选：ACD．12．（2021·江苏省镇江中学高一期末）给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是（

）A．“”是“”的充分不必要条件B．函数过定点C．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为D．函数的定义域为D，若满足：（1）在D内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”．若函数是“梦想函数”，则t的取值范围是【答案】AC【分析】A选项，求出的解集为，结合得到充分不必要条件；B选项，求出对数复合函数恒过定点；C选项，构造新函数，利用单调性解不等式；D选项，根据题意把问题转化为与是方程的两个不相等的实数根，换元后转化为一元二次方程问题，进而利用二次函数图象进行求解.【详解】对于A，，解得：，所以，但，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确；对于B，恒过点，B错误；对于C，定义在上的函数满足，不妨设，则，即，令，，则，故单调递减，因为，所以，由（）变形为（），即，根据单调递减，所以，C选项正确；对于D，函数，根据复合函数单调性可知：单调递增，结合题意可得：即，化简得：，则与是方程的两个根，令，则与是一元二次方程的两个不相等的正实根，令，故满足：，解得：，D选项错误.故选：AC.三、填空题13．（2022·上海静安·二模）已知函数，若对任意，当时，总有成立，则实数的最大值为__________.【答案】1【分析】分、、、依次讨论的范围，进而判断是否恒成立，即可求解.【详解】当时，，则不成立；当，，取，，此时不成立；当时，，则，对于任意，有，当时取等号，所以总有成立；当时，，当取最大值1，当时取最小值0，则，对于任意，有，当时取等号，所以总有成立；综上可得，故实数的最大值为1.故答案为：1.14．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为____________．【答案】【分析】恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式即可.【详解】根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：.故答案为：.15．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数m的取值范围为__________．【答案】【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解【详解】，，由题意得故答案为：.16．（2022·四川省隆昌市第一中学高三开学考试）已知函数，若（且），则a的取值范围为__________．【答案】【分析】根据奇偶性定义判断为偶函数，由解析式判断的单调性，再讨论a的范围，并利用偶函数和单调性求参数的范围.【详解】由且定义域为R，所以为偶函数，当时为增函数，故在上为减函数，综上，由，即或，当时，则；当时，则，所以a的取值范围为.故答案为：.四、解答题17．（2022·四川泸州·高一期末）已知函数.(1)若函数的定义域为，值域为，求的值；(2)若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据已知，利用函数的单调性建立方程组求解.（2）根据已知对式子进行变形，转化为含参的一元二次方程问题，分类讨论进行求解.（1）由题意可得，的定义域为，对任意且满足，则，则，故在定义域上单调递减.因为在上的值域为，所以，所以；（2）因为，即，所以，且，①所以，即，②当时，方程②的解为，代入①成立；当时，①当，即时，方程②的解为，代入①不成立：②当，且时，方程②的解为或，将代入①得：，且，所以且，将代入①得：，且，所以且，要使方程有且仅有一个解，则.综上，的取值范围为.18．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知函数为偶函数.(1)求实数的值;(2)解关于的不等式;(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；（3）由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.（1）函数的定义或为，函数为偶函数.，即，，；（2），当时，，单调递增，在上单调递增，又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；，，解得或，所以所求不等式的解集为；（3）函数与图象有个公共点，，即，，设，则，即，又在上单调递增，所以方程有两个不等的正根；，解得，即的取值范围为.19．（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）对于函数．(1)若，且为奇函数，求的值；(2)设，，若对任意实数，当时，满足，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用奇函数的定义可得恒成立，从而得到对定义域内任意恒成立，则，进而解得的值；（2）易知函数在上为减函数，当时，满足，即，再构造函数，利用单调性即可求解．（1）解：，，又为奇函数，，对定义域内任意恒成立，，解得或或（舍去）或（舍去），当时，，定义域为，符合奇函数的条件，当时，，与定义域为，符合奇函数的条件，综上；（2）解：令，则在上为减函数，又在上为增函数，函数在上为减函数，当时，满足，则，，即对任意的恒成立．设，又，对称轴为，所以函数在上单调递增，所以，，即．20．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知函数.(1)判定并证明的奇偶性和单调性；(2)求不等式的解集；(3)函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)为减函数，且为奇函数；(2)；(3)【分析】（1）根据对数函数的定义域求得的定义域，再根据单调性与奇偶性的定义判断即可（2）根据的定义域与奇偶性，化简原不等式可得，再解不等式即可得到所求范围；（3）求得当时，的值域；以及讨论，时，的值域，由题意可得和的值域存在交集，即可得到所求范围；(1)因为函数，由，可得，又，所以为奇函数.设，则，因为，且与均大于0，故，故，即，故为减函数.综上有为减函数，且为奇函数(2)由（1），又的值域为R，不等式，即为，则，即，即为，因为，故，，解得：，则原不等式的解集为；(3)函数，若存在，使得成立，当，的值域为，当时，在递减，可得的值域为，由题意可得和的值域存在交集，即有，即；若，则在递增，可得的值域为，由题意可得和的值域不存在交集，综上可得a的范围是.21．（2022·湖南·周南中学高一阶段练习）定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的一个上界，已知函数，奇函数；(1)求函数在区间上的所有上界构成的集合；(2)若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据复合函数单调性的性质，结合题中所给的定义进行求解即可；（2）根据题中的定义，根据绝对值的性质，