第四章 一元一次方程（知识串讲+热考题型） 七年级数学上册

第四章一元一次方程【思维导图】【知识要点】知识点一一元一次方程的基础等式的概念：用等号表示相等关系的式子。方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。特征：它含有未知数，同时又是—个等式。一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。【特征】1.只含有一个未知数x2.未知数x的次数都是13.等式两边都是整式。方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。知识点二等式的性质（解一元一次方程的基础）等式的性质1：等式两边（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。表示为：如果a=b，则a±c=b±c等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。表示为：如果a=b，那么ac=bc

如果a=b(c≠0)，那么=【注意事项】1．等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算。2．等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。3．等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母.知识点三解一元一次方程合并同类项把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。移项把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。（依据：等式的性质1）去括号括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。去分母在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数。知识点四实际问题与一元一次方程用方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解;验：考虑求出的解是否具有实际意义;答：实际问题的答案.【考查题型】考查题型一一元一次方程的概念1．下列方程中，是关于x的一元二次方程为（

）A． B．C．（a，b为常数） D．【详解】解：A、是一元一次方程，故不符合题意；B、是分式方程，故不符合题意；C、当a=0，b≠0时，方程（a和b为常数）为一元一次方程，当a≠0时，方程（a和b为常数）为一元二次方程，故不符合题意；D、将化为一般式为，通过观察可得是一元二次方程，故符合题意；故选D．2．已知下列方程：①3x＝6y；②2x＝0；③＝4x+x﹣1；④；⑤3x＝1；⑥﹣2＝2．其中一元一次方程的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【详解】解：①3x＝6y含有两个未知数，故①不是一元一次方程；②2x＝0，含一个未知数，并且含未知数的项的次数为1，是一元一次方程，故②是一元一次方程；③＝4x+x﹣1含一个未知数，并且含未知数的项的次数为1，是一元一次方程，故③是一元一次方程；④含一个未知数，并且含未知数的项的最高次数为2，故④不是一元一次方程；⑤3x＝1含一个未知数，并且含未知数的项的次数为1，是一元一次方程，故⑤是一元一次方程；⑥﹣2＝2分母中有未知数，不是整式方程，故⑥不是一元一次方程．其中是一元一次方程的有：②③⑤，共三个．故选：B．3．已知是关于x的一元一次方程，则m的值为(

)A．-2 B． C．2 D．0【详解】解：∵是关于x的一元一次方程，∴，解得m＝−2．故选：A．4．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（

）A．2 B．－3 C． D．1【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程，∴，解得．故选B．考查题型二等式的性质5．运用等式性质进行的变形，一定正确的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【详解】解：A．根据等式性质，a＝b两边都加c，即可得到a＋c＝b＋c，故选项错误，不符合题意；B．如果，那么a+c−c=b−c-c，即a=b-2c，故选项错误，不符合题意；C．如果，那么成立的条件是c≠0，原变形错误，故选项错误，不符合题意；D．如果，那么a=b，故选项正确，符合题意；故选：D．6．如图是方程的求解过程，其中依据等式的基本性质的步骤有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤【详解】解：方程两边同时乘以4，去分母得：①，去括号得：②，移项得：③，合并同类项得：④，方程的两边同时除以-5得：⑤．∴依据等式的基本性质的步骤有①③⑤．故选：C7．根据等式的性质，下列变形中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【详解】解：A、若，则，选项说法错误，不符合题意；B、若，则，选项说法正确，符合题意；C、若，,则，选项说法错误，不符合题意；D、若，则，选项说法错误，不符合题意；故选：B．8．已知，用含x的代数式表示y，则（

）A． B． C． D．【详解】解：∵2x-y=6，∴y=2x-6，故选：B．考查题型三解一元一次方程9．若关于x的方程有一个根为1，则a的值为（）A．4 B．2 C．-4 D．-2【详解】解：∵关于x的方程有一个根为1，∴，∴，故选C．10．如果一个正数的平方根是a+3及2a﹣15，那么这个正数是(

)A．441 B．49 C．7或21 D．49或441【详解】解：∵一个正数的平方根是a+3和2a﹣15，∴a+3和2a﹣15互为相反数，即(a+3)+(2a﹣15)＝0；解得a＝4，则a+3＝﹣(2a﹣15)＝7；则这个数为＝49；故选：B．11．下列方程变形中，正确的是（

）A．，去分母，得B．，移项，得C．，去括号，得D．，两边都除以2，得【详解】解：A，，去分母，得，故本选项错误，不合题意；B，，移项，得，故本选项正确，符合题意；C，，去括号，得，故本选项错误，不合题意；D，，两边都除以2，得，故本选项错误，不合题意；故选B．12．下列解方程的步骤，正确的是（

）A．将去括号，得B．由，得C．将去分母，得D．由，得【详解】解：A、将去括号，得，故本选项错误，不符合题意；B、由，得，故本选项正确，符合题意；C、将去分母，得，故本选项错误，不符合题意；D、由，得，故本选项错误，不符合题意；故答案为：B.13．解方程时，去分母后得到的方程是（

）A． B．C． D．【详解】解：，方程两边同乘以4去分母，得，即，故选：C．14．解一元一次方程的过程中，变形正确的是（）A． B．C． D．【详解】解：由原方程得：，故选：D．15．规定，若，则x的值是（

）A．－60 B．4.8 C．24 D．－12【详解】解：由题意得：，，∵，∴，∴，故选D．考查题型四实际问题与一元一次方程常见题型一配套问题和工程问题【配套问题解题关键】配套问题的物品之间具有一定的数量关系，依次作为列方程的依据.【工程问题解题关键】常把总工作量看做1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题16．某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？【详解】解：设分配x个工人生产塑料棒，则分配个工人生产金属球，依题意得：，解得：x＝18，∴34﹣x＝34﹣18＝16．答：应分配18个工人生产塑料棒，16个工人生产金属球．17．某车间有94个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个．已知每1个甲种零件和2个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？每天能生产成多少套？（列一元一次方程求解）【详解】解：设应分配x人生产甲种零件，（94﹣x）人生产乙种零件，12x×2＝23（94﹣x）×1，解得x＝46，94﹣46＝48（人），每天生产（套）．故应分配46人生产甲种零件，48人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套，每天能生产成552套．18．某车间接到一批加工任务，计划每天加工120件，可以如期完成，实际加工时每天多加工20件，结果提前4天完成任务．问这批加工任务共有多少件？【详解】解：设计划x天完成，则实际天完成，根据题意得：，解得：，（件），答：这批加工任务共有3360件．19．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲单独完成需要4小时，乙单独完成需要6小时．(1)如果让甲、乙合作，需几小时完成这项工作任务的一半？(2)如果乙先做90分钟，然后甲、乙合作，还需多长时间才能完成这项工作？（1）解：＝＝＝（小时）．故需小时完成这项工作任务的一半；（2）解：设甲、乙合作，还需x小时才能完成这项工作，依题意有：，解得x=．故还需小时才能完成这项工作．常见题型二销售盈亏问题销售金额=售价×数量利润=商品售价-商品进价利润率=（利润÷商品进价）×100%现售价=标价×折扣售价=进价×（1+利润率）20．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？【详解】解：设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500-x）元，根据题意得：90%•（1+50%）x+90%•（1+40%）（500-x）-500=157，解得：x=300，500-x=200．答：甲服装的成本为300元、乙服装的成本为200元．21．一个手机商店，同时卖出两款手机，都卖1200元，其中一个盈利50%，另一个亏损20%，在这次买卖中，这家商店是盈利了还是亏损了？盈亏多少元？【详解】解：设盈利的进价是x元，依题意得1200﹣x＝50%x，解得x＝800，设亏本的进价是y元．则y﹣1200＝20%y，解得y＝1500，所以1200+1200﹣800﹣1500＝﹣100（元）．故这家商店是亏损了，亏了100元．22．某商店销售一种电器，先将成本价提高30%作为标价进行出售，结果每销售一件该电器可以获利60元利润．(1)求这种电器的成本价为多少？(2)因市场调整原因，商品需要下架，所以当这批电器销售出100台时，剩下的40台按照标价的五折进行销售，请问：商店是赚了还是亏了？赚了或亏了多少钱，为什么？（1）解：设这种电器的成本价为x元，由题意得：，解得，∴这种电器的成本价为200元，答：这种电器的成本价为200元；（2）解：商店赚了3200元，理由如下：元，∴商店是赚了3200元；常见题型三比赛积分问题比赛总场数=胜场数+负场数+平场数比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分23．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分，某队在15场比赛中得到24分，那么这个队胜负场数分别是多少？【详解】解：设胜了x场，那么负了场，根据题意得：解得：∴负的场数为：那么这个队的胜负场数应分别是9和6．24．聪聪同学到某校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）：校篮球赛成绩公告比赛场次胜场负场积分2212103422148362202222聪聪同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙解决：(1)从表中可以看出，负一场积分，胜一场积分；(2)某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于负场总积分吗？请说明理由．（1）由题意可得，负一场积分为：（分，胜一场的积分为：（分，故答案为：1，2；（2）设胜场，负场，由题知，解得．∴不可能胜场总积分能等于负场总积分．25．下表是中超联赛中A，B，C，D，E五支球队的积分和胜负情况：队名比赛场次胜场平场负场积分A1684428B16016016C16012412D16286aE16b82c从中可知a=_________，b=_________，c=_________．【详解】设平一场积分为x，从B队积分可得：，∴，即平一场可得1积分，设负一场积分y分，从C队积分得出，∴，即负一场得0分，设胜一场积分为z分，从A队积分得出，∴，即胜一场得3分，∴，∵总共16场，∴，∴；故答案是：14；6；26．常见题型四方案选择问题结合实际，分情况讨论，给出合理建议。26．《孙子算经》里有题，请你解答：今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？题意为：有盗贼窃去库存的绸缎，不知究竟窃去多少．有人在草丛中听到这帮盗贼分赃的情况，如果每个盗贼分6匹，就多出6匹；如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹．盗贼有几人？失窃的绸缎有几匹？【详解】解：设盗贼有人，则失窃的绸缎有匹，根据题意得：，．解得，，答：盗贼有13人，失窃的绸缎有84匹．27．这个星期周末，七年级准备组织观看电影《我和我的祖国》，每张票价60元．由各班班长负责买票，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：50人以上的团体票有两个优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有6人可以免票．(1)一班班长思考了一会儿，说我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，请问一班有几人？(2)如果二班有58人，二班应该选择哪种优惠方案更省钱．说明理由．（1）解：设一班有x人，根据题意，得60x×0.8=60(x-6)×0.9解得：x=54，答：一班有54人；（2）解：∵方案一：58×60×0.8=2784(元)，方案二：（58-6）×60×0.9=2808(元)，又∵2808元>2784元，∴选择方案二更省钱．28．某乳制品厂有鲜牛奶10吨，若直接销售，每吨可获利500元；若制成酸奶销售，每吨可获利1200元；若制成奶粉销售，每吨可获利2000元，该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工鲜牛奶3吨；若制成奶粉，每天可加工鲜牛奶1吨（两种加工方式不能同时进行）．受气温条件限制，这批鲜牛奶必须在4天内全部销售或加工完成．为此该厂设计了以下两种可行方案：方案一：4天时间全部用来生产奶粉，剩余鲜牛奶直接销售；方案二：将一部分鲜牛奶制成奶粉，剩余的制成酸奶，并恰好4天完成．你认为哪种方案获利较多，为什么？【详解】解：第二种方案获利较多，理由如下：方案一：最多生产4吨奶粉，其余的鲜奶直接销售，则其利润为：4×2000+(10-4)×500=11000（元）；方案二：设生产x天奶粉，则生产（4-x）天酸奶，根据题意得：x+3(4-x)=10，解得：x=1，∴3天生产酸奶，加工的鲜奶3×3=9吨，设生产1天奶粉，加工鲜奶1吨，则利润为：1×2000+3×3×1200=2000+10800=12800（元），∴12800-11000=1800．得到第二种方案可以多得1800元的利润．即第二种方案获利较多．题型五顺逆流问题：船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流速度船在逆水中的速度=船在静水中的速度—水流速度船顺水的行程=船逆水的行程29．轮船在静水中速度为每小时20km，水流速度为每小时4km，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用5小时（不计停留时间），求甲、乙两码头的距离．【详解】解：设甲、乙两码头的距离xkm，∴＝5，∴x＝48，答：甲、乙两码头的距离48km30．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了4h．已知水流的速度是1km/h，求甲、乙两码头之间的距离．【详解】解：设船在静水中的速度为x千米/小时，根据题意得：，解得：x=7，（千米）．答：甲乙两码头间的距离是24千米．常见题型六数字问题的应用题一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，那么这个数可表示为10a+b②一个三位数，百位数字是x,十位数字是y，个位数字是z，那么这个数可表示为100x+10y+z31．小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解，他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念：从左到右写下一个自然数，再把它按从右到左的顺序写一遍，如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”．如286的颠倒数是682．请你探究，解决下列问题：(1)请直接写出2019的“颠倒数”为____．(2)能否找到一个数字填入口，使下列由“颠倒数”构成的等式13×6口＝口6×31成立？若能，求出这个数字；不能，请说明理由．（要求列方程解）（1）解：2019的“颠倒数”为9102；故答案为：9102（2）解：能，设口中的数为x，∴