《牛吃草问题》五(1)PPT

牛吃草问题

郑航附小刘

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。牛吃草问题的公式

解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰假设定一头牛一天吃草量为“1”

1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。这四个公式是解决消长问题的基础。导入：“一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？”这道题太简单了，同学们一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题，牛吃草问题是牛顿问题的俗称。英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？

假设每头牛每天吃草1份.

10头牛20天:10×20＝200份

15头牛10天:15×10＝150份

草场每天长草：(200－150)÷﹙20－10﹚＝5份

草场原来有草：200－5×20＝100份

让5头牛吃新草，则余25-5=20头牛吃老草，100÷29＝5（天）答：25头牛,这片牧草5天正好被吃完.

在例1的解法中要注意三点：（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。

1.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周或供23头牛吃9周。那么，可供21头牛吃几周？假设1头牛一周吃的草的数量为1份27头牛6周需要吃:27×6=162（份）23头牛9周需吃:23×9=207（份）每周新长出来的草的份数为：（207－162）÷（9－6）=15（份）原有草的数量为：162－15×6=72（份）这片草地可供21头牛吃：72÷（21－15)=12（周）

2、一片牧场长满草，每天均速生长。这片牧场可供5头牛吃8天，可供14头牛吃2天，问可供10头牛吃几天？设1头牛1天吃的草为1份牧场上的草每天自然生长:（8×5-14×2）÷（8-2）=2（份）原来牧场有草:5×8-2×8=24（份）让2头牛去吃新草可供10头牛吃:24÷（10-2）=3（天）.

3、一片牧草，每天生长的速度相同，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，可供30头牛吃多少天？假设每头牛每天吃草1份.

10头牛20天:10×20＝200份

15头牛10天:15×10＝150份

草场每天长草：50÷﹙20－10﹚＝5份草场原来有草：200－5×20＝100份

让5头牛吃新草，则余30-5=25头牛吃老草，100÷25＝4（天）答：30头牛,这片牧草4天正好被吃完.

5、草场上的草匀速生长，每人每天的割草量相等．一片草若用17人去割，30天可以割完；若用19人去割，则只需24天就能割完．现在需要6天将草割完，至少要多少个人？设每人每天割草1份，

17人去割30天：17×30=510

19人去割24天：19×24=456

草每天生产量：（510-456）÷（30-24）=9（份）

原有草=510-30×9=240（份）

6天需要的人数：（240+6×9）÷6=49（人）

答：至少要49个人．6、有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？

设一头牛每天吃一份.

每天新增草量：(10×20-15×10)÷(20-10)=5份

原有草量：(10-5)×20=100份

可供25头牛吃：100÷(25-5)=5（天）7、一片牧场,24头牛,6天可以将草吃完.21头牛,8天可以吃完.若有16头牛,则几天可以将草吃完?

(草每天增长的量是相等的,每头牛吃草的量也是相等）

24头牛6天所吃的牧草为：24×6＝144

21头牛8天所吃的牧草为：21×8＝168

1天新长的草为：（168－144）÷（8－6）＝12

牧场上原有的草为：24×6－12×6＝72

每天新长的草足够12头牛吃,16头牛减去12头,剩下4头吃原牧场的草：

72÷（16－12）＝72÷4＝18（天）8、一片牧场,24头牛,6天可以将草吃完.21头牛,8天可以吃完.要使牧场草永远吃不完,至多可以放牧几头牛吃完牧草（草每天增长的量是相等的,每头牛吃草的量也是相等）

24头奶牛6天吃的草量：24×6=144（份）

21头8天吃完的草量：21×8=168（份）每天新长的草量：（168-144）÷（8-6）=12（份）要使牧场的草永远吃不完,最多放养12头奶牛.

9、假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照此测算，地球上资源可供110亿人生活90年，或90亿人生活210年，为使人类能不断繁衍，那么地球上最多能养活多少人？

设每1亿人，每年消耗资源为1份10亿人90年消耗资源：110×90=9900份90亿人210年消耗资源为：90×210=18900份

每年新生资源：（18900-9900）÷（210-90）=75份为使人类能够不断繁衍，那么每年消耗的资源数量不能超过再生的资源数量所以地球最多能养活75亿人

10、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？设1头牛1天吃的草为1份原草—5天枯萎的草：20×5=100（份）原草—6天枯萎的草：15×6=90（份）牧场1天减少的草：（100-90）÷（6-5）=10（份）“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，所以牧场原有草原草：100+10×5=150（份）几头牛吃10天：（150-10×10）÷10=5（头）或由150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃10天，寒冷占去10头牛，所以，15-10=5（头）可供5头牛吃10天13、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

分析与解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。设1个检票口1分钟检票的人数为1份。原来等待的人+30分钟新进的人：4×30=120份原来等待的人+20分钟新进的人：5×20=100份每分钟新来旅客：（120-100）÷（30-20）=2（份）。原来等待的人：120-2×30=60（份）假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出时间60÷（7-2）=12（分钟）。17、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？:设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，所以牧场原有草（20＋10）×5＝150（份）。由150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃10天，寒冷占去10头牛，所以，可供5头牛吃10天。18、陕北某村有一草地，假设每天草都均匀生长，这片草地经过测算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天，问：如果放牧250只羊可以吃多少天？放牧这么多羊对吗？为防止草地沙化，这片草地最多可以放牧多少只羊？18、根据题意可得：每只羊每天吃草量为1份；

新生草量：（100×200-150×100）÷（200-100）=50（份）；

原有草量：100×200-50×200=10000（份）；

250只羊可吃：10000÷（250-50）=50（天）；

放牧这么多羊不对．

最多放牧50只羊，因为每天新增草50份，刚好够50只羊吃．

答：如果放牧250只羊可以吃50天，放牧这么多羊不对，为防止草场沙化，这片草场最多可以放牧50只羊．

答：50，不对，50

19、有一片牧场，草地上的草每天生长速度相同，已知这片青草可供15头牛吃20天，或者供76只羊吃12天。如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么8头牛与64头羊一起吃，可以吃多少天？20、

有一片青草，每天生长的速度相同，已知这片草地可供16头牛吃20天，或者可供80头羊吃12天，如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃，可以吃多少天？20、解：一头牛一天吃的草量看作“1份‘

20天吃了的总草量是16×20=320份

12天吃了的总草量是80÷4×12=240份

草的生长速度是

（320-240）÷（20天-12天）=10份/天

（意思是每天新长出的草可供10头牛吃）

原来有的草量：320-10×20=120份

10+60÷4=25牛

10牛60羊相当于25头牛,吃草可以这样安排：

其中的10头牛吃每天新长的草,

剩下的25-10=15头牛吃原来就有的草

可以吃120÷（25-10）=8天.

答：10牛60羊可吃8天

（补充说明：8天以后,