第五章 恒定磁场

电磁场与电磁波电子信息工程系高飞第五章恒定磁场

主要内容磁感应强度，场方程，边界条件。

1.磁感应强度、磁通及磁场线

已知磁场表现为对于运动电荷有力的作用，因此，可以根据运动电荷或电流元受到的作用力，或者根据小电流环在磁场中受到的力矩描述磁场的强弱。

实验发现，运动电荷在磁场中受到的作用力不仅与电荷量及运动速度的大小成正比，而且还与电荷的运动方向有关。电荷沿某一方向运动时受力最大，而垂直此方向运动时受力为零。我们定义，受力为零的方向为零线方向，如图所示。设最大作用力为Fm

，沿偏离零线方向

角度运动时，受力为。作用力F的大小与电荷量q

及速度大小v的乘积成正比。我们定义一个矢量B

，令其大小为，其方向为零线方向，那么矢量B与电荷量q

，运动速度v以及作用力F的关系为

矢量B称为磁感应强度，单位为T（特斯拉）。

值得注意的是，运动电荷受到的磁场力始终与电荷的运动方向垂直，因此，磁场力无法改变运动电荷速度的大小，只能改变其运动方向，磁场与运动电荷之间没有能量交换。

FBv零线方向

根据上述磁感应强度B

的定义，可以导出电流元在磁场中受到的力以及小电流环在磁场中受到的力矩。

电流元是一小段载流导线，以矢量元dl的大小表示电流元的长度，其方向表示电流I

的方向，如左下图示。FBIdl若电流元的电流为I，则那么，由前式求得电流元在磁感应强度为B的磁场中受到的力此式表明，当电流元的电流方向与磁感应强度B

平行时，受力为零；当电流元的方向与B

垂直时，受力最大。电流元在磁场中的受力方向始终垂直于电流的流动方向。

小电流环受到的力矩。设小电流环为四根长度为l

的电流元围成的平面方框，电流方向如左下图示。

cdbaFFBS

(a)如果观察距离远大于小电流环的尺寸，这种小电流环又称为磁偶极子。式中为电流环的面积。由于小环面积很小，在小环的平面内可以认为磁场是均匀的。那么当磁感应强度B

与电流环所在平面平行时，如图(a)所示，则ab及cd两条边不受力，ad及bc两条边受力方向相反，因此，使电流环受到一个力矩

T，其大小为FdcbaFFFBS

(b)dcbaFFBBnBtFFS

(c)当电流环的平面与B垂直时，如图(b)所示，各边受力方向指向外侧，相互抵消，电流环受到的力矩为零。

当B

与电流环平面的法线方向夹角为

时，如图(c)所示，则B

可分解为Bn

及Bt两个分量，其中Bn

垂直于小环平面,Bt

平行于小环平面，因此，小环受到的力矩大小为

若定义有向面S的方向与电流方向构成右旋关系，则上式可写成矢量形式

可以证明，此式适用于任何形状的小电流环。通常，乘积IS称为小电流环的磁矩，以m

表示，即

则前式又可写为此式表明，当电流环的磁矩方向与磁感应强度B的方向平行时，受到的力矩为零；当两者垂直时，受到的力矩最大。

磁感应强度也可用一系列有向曲线来表示。曲线上某点的切线方向为磁感应强度矢量的方向，这些曲线称为磁场线（磁力线）

。磁场线的矢量方程为

磁场线也不可相交。与电场线一样，若以磁场线构成磁场管，且规定相邻磁场管中的磁通相等，则磁场线的疏密程度也可表示磁场的强弱，磁场线密表示磁感应强度强。磁感应强度B

通过某一表面S

的通量称为磁通，以

表示，即磁通的单位为Wb（韦伯）。

2.真空中的恒定磁场方程式真空中恒定磁场的磁感应强度B满足下列两个方程左式称为安培环路定律，式中0

为真空磁导率，(H/m)，I

为闭合曲线包围的电流。

安培环路定律表明，真空中恒定磁场的磁感应强度沿任一闭合曲线的环量等于曲线包围的电流与真空磁导率的乘积。由此可见，与电流线一样，磁场线也是处处闭合的，没有起点与终点，这种特性称为磁通连续性原理。右式表明，真空中恒定磁场通过任一闭合面的磁通为零。

由斯托克斯定理获知再考虑到电流强度I与电流密度J

的关系那么，根据安培环路定律求得由于上式对于任何表面都成立，因此，被积函数应为零，从而求得此式表明，真空中某点恒定磁场的磁感应强度的旋度等于该点的电流密度与真空磁导率的乘积。

另外，由高斯定理获知那么，根据磁通连续性原理求得由于此式处处成立，因此被积函数应为零，即此式表明，真空中恒定磁场的磁感应强度的散度处处为零。综上所述，求得真空中恒定磁场方程的微分形式为可见，真空中恒定磁场是有旋无散的。

根据亥姆霍兹定理，磁感应强度B应为式中考虑到真空中恒定磁场方程，得那么可见，某点磁感应强度B等于该点矢量函数A的旋度，该矢量函数A

称为矢量磁位。

若已知电流分布，利用上式可以先求出任一点的矢量磁位，即可计算该点的磁感应强度。此式称为毕奥–沙伐定律。电流分类：电流可以分布在体积中，也可分布在表面上或细导线中。面分布的电流称为表面电流，表面电流密度Js的单位为

A/m。细导线中电流称为线电流，线电流无密度可言。经过演算，还可直接建立电流与磁感应强度的关系为各种电流之间的关系为那么，可以导出面电流和线电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为对于某些恒定磁场，根据安培环路定律计算磁感应强度将十分简便。为此，必须找到一条封闭曲线，曲线上各点的磁感应强度大小相等，且方向与曲线的切线方向一致，上式的矢量积分变为标量积分，且B可以由积分号移出，那么即可求出B

值。至此，我们获得了真空中恒定磁场方程的积分形式和微分形式。已知电流分布，根据矢量磁位和磁感应强度公式，即可计算恒定磁场。对于某些分布特殊的恒定磁场利用安培环路定律计算恒定磁场更为简便。例1

计算无限长的，电流为I

的线电流产生的磁感应强度。rozyxdlIr′r-r′e解取圆柱坐标系，如图示。令z

轴沿电流方向。的方向为B

的方向。那么，由图可见，这个叉积方向为圆柱坐标中的e方向。因此，磁感应强度B

的方向为e

方向，即此式表明，磁场线是以z

轴为圆心的一系列的同心圆。显然，此时磁场分布以z

轴对称，且与

无关。又因线电流为无限长，因此，场量一定与变量

z

无关，所以，以线电流为圆心的磁场线上各点磁感应强度相等。因此，沿半径为r的磁场线上磁感应强度的环量为

根据安培环路定律，求得磁感应强度的大小为此式也适用于具有一定截面，电流为I

的无限长的圆柱导线外的恒定磁场。IB例2

计算半径为a

，电流为I的小电流环产生的磁感应强度。rzyxar'r-r'e''xyOar'''e'-exeye'解取球坐标系，令坐标原点位于电流环的中心，且电流环的平面位于xy

平面内，如图示。由于结构对称，场量一定与

无关。为了计算方便起见，令所求的场点位于xz

平面，即

=0平面内。经过一系列演算，求得式中为小电流环的面积。考虑到小电流环的磁矩，上式可表示为根据，求得可见，小电流环产生的矢量磁位A与距离r

的平方成反比，磁感应强度B与距离r

的立方成反比。而且，两者均与场点所处的方位有关。

此式适用于磁矩为m，位于坐标原点的任何取向的磁偶极子。mrA(r)xzy3.矢量磁位与标量磁位已知矢量磁位A

与磁感应强度B

的关系为

矢量磁位与电位不同，它没有任何物理意义，仅是一个计算辅助量。已知，那么求得可见，矢量磁位A满足矢量泊松方程。当电流分布未知时，必须利用边界条件求解恒定电磁场的方程。为此，需要导出矢量磁位应该满足的微分方程。前述矢量磁位的积分表达式可以认为是该方程的特解——自由空间中的解。在无源区中，J

=0，则上式变为下述矢量拉普拉斯方程

已知在直角坐标系中，泊松方程及拉普拉斯方程均可分解为三个坐标分量的标量方程。因此，前述的格林函数法以及分离变量法均可用于求解矢量磁位A的各个直角坐标分量所满足的标量泊松方程及拉普拉斯方程。此外，镜像法也可适用于求解恒定磁场的边值问题。已知磁通表达式为，那么

再利用斯托克斯定理，得由此可见，利用矢量磁位A

计算磁通十分简便。

在无源区中，因J=0，得。可见，无源区中磁感应强度B是无旋的。因此，无源区中磁感应强度

B

可以表示为一个标量场的梯度，令

式中标量m

称为标量磁位。因，由上式得

可见，标量磁位满足拉普拉斯方程。这样，根据边界条件，求解标量磁位满足的拉普拉斯方程，可得标量磁位，然后即可求出磁感应强度。注意，标量磁位的应用仅限于无源区。4.媒质磁化

电子围绕原子核旋转形成一个闭合的环形电流，这种环形电流相当于一个磁偶极子。电子及原子核本身自旋也相当于形成磁偶极子。媒质合成场Ba+Bs磁化二次场Bs外加场Ba当外加磁场时，在磁场力的作用下，这些带电粒子的运动方向发生变化，甚至产生新的电流，导致各个磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这种现象称为磁化。由于热运动的结果，这些磁偶极子的排列方向杂乱无章，合成磁矩为零，对外不显示磁性。与极化现象不同，磁化结果使媒质中的合成磁场可能减弱或增强，而介质极化总是导致合成电场减弱。

根据磁化过程，媒质的磁性能分为抗磁性、顺磁性、铁磁性及亚铁磁性等。

抗磁性。在正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外加磁场时，电子除了仍然自旋及轨道运动外，轨道还要围绕外加磁场发生运动，这种运动方式称为进动。电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场的方向相反，导致媒质中合成磁场减弱。因此，这种磁性能称为抗磁性，如银、铜、铋、锌、铅及汞等。Bt顺磁性。在正常情况下，合成磁矩不为零。由于热运动结果，宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的作用下，除了引起电子进动以外，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。因此，合成磁场增强，这种磁性能称为顺磁性。如铝、锡、镁、钨、铂及钯等。铁磁性。内部存在“磁畴”，每个“磁畴”中磁矩方向相同，但是各个“磁畴”的磁矩方向杂乱无章，对外不显示磁性。在外磁场作用下，各个“磁畴”方向趋向一致，且畴界面积还会扩大，因而产生很强的磁性。例如铁、钴、镍等。这种铁磁性媒质的磁性能还具有非线性，且存在磁滞及剩磁现象。亚铁磁性。是一种金属氧化物，磁化现象比铁磁媒质稍弱一些，但剩磁小，且电导率很低，这类媒质称为亚铁磁媒质。例如铁氧体等。由于其电导率很低，高频电磁波可以进入内部，产生一些可贵的特性，使得铁氧体在微波器件中获得广泛的应用。磁化结果产生了磁矩。为了衡量磁化程度，我们定义单位体积中磁矩的矢量和称为磁化强度，以M表示，即式中为中第i个磁偶极子具有的磁矩。为物理无限小体积。

磁化后，媒质中形成新的电流，这种电流称为磁化电流。形成磁化电流的电子仍然被束缚在原子或分子周围，所以磁化电流又称为束缚电流。磁化电流密度以J'

表示。利用矢量磁位与磁矩的关系，可以导出矢量磁位与磁化强度M

的关系为xPzyrdV'OV'r'r-r'S'第一项为体分布的磁化电流产生的矢量磁位，第二项为面分布的磁化电流产生的矢量磁位，因此两种磁化电流密度与磁化强度的关系为

例

已知半径为a，长度为l的圆柱形磁性材料，沿轴线方向获得均匀磁化。若磁化强度为M，试求位于圆柱轴线上距离远大于圆柱半径P点处由磁化电流产生的磁感应强度。xyzlP(0,0,z)0a解取圆柱坐标系，令z轴与圆柱轴线一致，如图示。由于是均匀磁化，磁化强度与坐标无关，因此，，即体分布的磁化电流密度为零。又知表面磁化电流密度式中en

为表面的外法线方向上单位矢。因，所以表面磁化电流密度仅存在于圆柱侧壁，上下端面的磁化电流密度为零。因此xyzlP(0,0,z)zdz'0a显然，这种表面磁化电流在侧壁上形成环形电流。位于z处宽度为dz

的环形电流为(

dz)

，那么该环形电流在轴线上z

处(z>>a)产生的磁感应强度dB

为

那么侧壁上全部磁化电流在轴线上z处产生的合成磁感应强度为5.媒质中的恒定磁场方程式

磁化媒质内部的磁场相当于传导电流I

及磁化电流I

在真空中产生的合成磁场。这样，磁化媒质中磁感应强度B沿任一闭合曲线的环量为考虑到，求得令则式中H

称为磁场强度，其单位是A/m。上式称为媒质中安培环路定律。它表明媒质中的磁场强度沿任一闭合曲线的环量等于闭合曲线包围的传导电流。利用斯托克斯定理，由上式求得该式称为媒质中安培环路定律的微分形式。它表明媒质中某点磁场强度的旋度等于该点传导电流密度。磁化电流并不影响磁场线处处闭合的特性，媒质中磁感应强度通过任一闭合面的通量仍为零，因而磁感应强度的散度仍然处处为零，即磁场强度仅与传导电流有关，简化了媒质中磁场强度的计算，正如使用电通密度可以简化介质中静电场的计算一样。

对于大多数媒质，磁化强度M

与磁场强度

H

成正比，即式中比例常数m

称为磁化率。磁化率可以是正或负实数。

考虑到，则由上式求得令则式中称为磁导率。相对磁导率r

定义为但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此，可以认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常显著，其磁导率可以达到很高的数值。抗磁性媒质磁化后使磁场减弱，因此顺磁性媒质磁化后使磁场增强，因此媒质媒质媒质金0.9996铝1.000021

镍

250银0.9998镁1.000012

铁4000铜0.9999钛1.000180磁性合金105与介质的电性能一样，媒质的磁性能也有均匀与非均匀，线性与非线性、各向同性与各向异性等特点。若媒质的磁导率不随空间变化，则称为磁性能均匀媒质，反之，则称为磁性能非均匀媒质。若磁导率与外加磁场强度的大小及方向均无关，磁感应强度与磁场强度成正比，则称为磁性能各向同性的线性媒质。磁性能各向异性的媒质，其磁导率具有9个分量，B

与H的关系为对于磁性能均匀、线性、各向同性的媒质，由于磁导率与空间坐标无关，因此得

又知，由亥姆霍兹定理得

它所满足的微分方程式为可以认为，上式是下式的特解，即自由空间的解。上述结果表明，对于均匀、线性、各向同性媒质，只要真空磁导率0

换为媒质磁导率，各个方程即可适用。6.恒定磁场的边界条件

推导过程与静电场的情况完全类似。结果如下：

12B2H1B1H2en(1)当边界上不存在表面电流时，磁场强度的切向分量是连续的，即

对于各向同性的线性媒质，上式又可表示为(2)磁感应强度的法向分量是连续的，即

对于各向同性的线性媒质，由上式求得由上可见，边界两侧磁场强度及磁感应强度的大小及方向均要发生变化。这种不连续性是由于边界上存在的表面磁化电流引起的。考虑到回路方向与回路界定的有向面方向形成右旋关系，上式又可写成矢量形式12enet边界上磁感应强度的切向分量与磁化电流的关系为得磁导率为无限大的媒质称为理想导磁体。在理想导磁体中不可能存在磁场强度，否则，由式可见，将需要无限大的磁感应强度。产生无限大的磁感应强度需要无限大的电流，因而需要无限大的能量，显然这是不可能的。例1

在具有气隙的环形磁芯上紧密绕制N

匝线圈，如图示。当线圈中的恒定电流为I时，若忽略散逸在线圈外的漏磁通，试求磁芯及气隙中的磁感应强度及磁场强度。

边界上磁场强度的切向分量是连续的，因此，在理想导磁体表面上不可能存在磁场强度的切向分量，即磁场强度必须垂直于理想导磁体表面。H解忽略漏磁通，磁感应强度的方向沿环形圆周。由边界条件知，气隙中磁感应强度Bg等于磁芯中的磁感应强度Bf

，即围绕半径为r0的圆周，利用媒质中的安培环路定律，且考虑到r0>>