第一章 控制系统的状态空间表达式

第一章控制系统的状态空间表达式1/11/20231本章主要内容1.1

状态变量及状态空间表达式1.2

系统按其状态空间描述的分类1.3

状态空间表达式的建立1.4

状态向量的线性变换1.5

从状态空间表达式求传递函数阵1.6

离散时间系统的状态空间表达式1/11/202321.1状态变量及状态空间表达式1/11/20233若系统在时刻t的输出并不取决于在t之后的输入，而仅取决于时刻t和在t之前的输入，则称系统是具有因果性的。实际物理系统都是具有因果性的。简言之，过去可以影响将来，反之则不然。

一、系统描述中常用的基本概念1、因果性1/11/202342、松弛性从能量的观点看，系统在t0时刻是松弛的意味着系统在t0时刻不存储能量。例如一个RLC网络，若所有电容两端的电压和流过电感的电流在t0时刻均为零(即初始条件为零)，则称网络在t0时刻是松弛的。若网络不是松弛的，则其输出不仅由输入决定，而且与初始条件有关。传递函数是系统的输入输出描述，是在系统松弛情况下获得的。应用传递函数时，总是隐含系统在t＝0时刻松弛。若系统的输出y[t0，由输入u[t0，唯一确定，则称系统在t0时刻是松弛的。1/11/202353、线性或：则称该系统为线性，否则称为非线性。H(1u1+2u2)=1Hu1+2Hu2H(1u1)=1H(u1)齐次性H(u1+u2)=Hu1+Hu2

可加性若松弛系统具有可加性和其次性，则称该系统满足叠加原理。一个松弛系统当且仅当对于任何输入u1和u2及任何实数1，2均有：1/11/20236简言之，若系统特性不随时间而变，则系统称为定常的，否则，为时变的。

4、定常性1/11/20237例：设有如图所示的RLC网络，u为输入变量，uc为输出变量。求其数学描述。

二、状态变量1/11/20238三种形式的数学描述1/11/20239用两个一阶微分方程来描述：

用向量矩阵方程表示：

1/11/202310在此RLC网络中，若已知:

电流的初值i(t0)

电压的初值uc(t0)tt0时的输入电压u(t)则:tt0时的状态可完全确定因此，i(t)、uc(t)是这个系统的一组状态变量。

1/11/202311动力学系统的状态变量是指能完整地、确定地描述系统的时域行为的最小一组变量。如果给定了t=t0时刻这组变量的值和tt0时输入的时间函数，那么系统在tt0的任何瞬间的行为就完全确定了，这样的一组变量称为状态变量。

状态变量：1/11/202312以状态变量为元所组成的向量，称为状态向量。则状态向量就是以这组状态变量为分量的向量，即：

是系统的一组状态变量三、状态向量1/11/202313四、状态空间为坐标轴所组成的为正交空间称为状态空间。状态空间中的每一点都代表了状态向量的唯一的、确定的一组值以状态变量1/11/202314由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程。将状态变量用一般符号xi，即令：x1=uc，x2=i对应上述的RLC网络，该系统的状态方程：五、状态方程1/11/202315并写成向量矩阵的形式，则状态方程变为：1/11/202316六、输出方程y=CX这就是该系统的输出方程。y=x1y=uc在RLC网络中，指定x1=uc作为输出，则有：输出一般用y表示。矩阵表示式为：C=[10]在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。1/11/202317七、状态空间表达式状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。1/11/202318若改选uc和作为两个状态变量，即令：

从理论上说，并不要求状态变量在物理上一定是可以测量的量。但在工程实践上，仍以选取那些容易测量的量作为状态变量为宜，因为在最优控制中，往往需要将状态变量作为反馈量。1/11/202319对于r输入m输出，n个状态变量的线性定常系统，状态空间表达式的一般形式为：

x：n维状态向量u：r维输入(控制)向量y：m维输出向量A：nn维系统矩阵B：nr维输入(控制)矩阵C：mn维输出矩阵D：mr维直接传递矩阵

当r=m=1时，即单输入单输出系统的状态空间表达式为：1/11/202320单输入单输出系统的方框图

bcuyAd八、状态空间表达式的系统方框图1/11/202321多输入多输出系统的方框图bcuyAD1/11/2023221.2系统按其状态空间描述的分类1/11/202323一、线性系统和非线性系统若向量方程中f(x,u,t)和g(x,u,t)的所有元都是变量x和u的线性函数，则称相应的系统为线性系统。中，向量函数f(x,u,t)和g(x,u,t)至少包含一个元为变量x和u的非线性函数。称一个系统为非线性系统，当且仅当其状态空间描述1/11/202324当且仅当系统的状态空间描述中显含时间t时，即向量函数f和g或系数矩阵A、B、C、D是包含t的函数时，称相应的系统为时变系统。二、时变系统和时不变系统时不变系统又称为定常系统，时不变系统的特点是其状态空间描述中不显含时间t。1/11/202325连续系统的一个基本特点是，不管是作用于系统的变量，还是表征系统形态的变量，都是时间t的连续变量过程。或是一个连续系统因为采用数字计算机进行计算或控制的需要而人为地加以时间离散化而导出的模型。三、连续系统和离散系统离散系统是一类实际的离散时间问题的数学模型，如许多社会经济问题、生态问题等；当系统的各个变量取值于离散的时刻时，为离散时间系统。1/11/202326离散系统的状态空间描述中，状态方程为差分方程，输出方程为离散时间变换方程：1/11/202327确定性系统：指系统的特性和参数是按确定的规律而变化的，且各个输入变量（包括控制和扰动）也是按确定的规律而变化的。确定性系统的一个特点是，其状态和输出变量都为时间t的确定性函数，通过分析可以确定这些变量在任一时刻的值。随机系统：或者系统的特性和参数的变化不能用确定的规律来描述，或者作用于系统的变量（包括控制和扰动）是随机变量，或者两者兼而有之。随机系统的特点是，不能确定状态和输出变量的直接时间过程，只能确定其统计的规律性。

四、确定性系统和随机系统1/11/2023281.3

状态空间表达式的建立1/11/202329a+-一、从系统方块图出发建立系统状态空间表达式1/11/202330系统方块图如图。输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式。K4uy+-举例1/11/202331+-+-K4-uy1/11/2023321/11/202333uy-+1/11/202334uy-+++uy-++++-+-1/11/2023351/11/202336二、从系统的机理出发建立状态空间表达式一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律等，即可建立系统的状态方程。例：考虑人口分布问题。设某国1998年的人口分布为：城市人口为107，农村人口为9107。人口的流动情况为：每年有4％的上一年城市人口迁去农村，同时有2％的上一年农村人口迁到城市。整个国家的人口自然增长率为1％。当指定系统的输出时，也很容易写出系统的输出方程。1/11/202337确定状态变量：城市人口x1，农村人口x2

建立人口按年分布方程：取1998年为k＝0，则k＋1年时城市人口和农村人口的分布方程为：

1/11/202338由描述系统的传递函数(或高阶微分方程)出发建立状态空间表达式的问题，称为实现问题。对于具有给定传递函数矩阵的线性定常系统，维数最低的实现，称为最小实现。对于单输入单输出系统，存在着传递函数零点、极点可以对消(传递函数分子分母可约)，或是不可以对消(传递函数分子分母不可约)这样两种情况。不可约传递函数的实现称为是最小实现。这时特征方程的阶次最低，状态变量的数目最少，矩阵的维数最小。三、最小实现问题1/11/202339考虑一个单输入单输出线性定常系统：单输入单输出线性定常系统的状态空间描述为：

实现问题就归结为选取适当的状态变量与确定各个系数矩阵。(一)、单输入单输出系统1/11/202340当m=n时有理分式是真的，m<n时这个有理分式是严格真的。

1、相变量标准型微分算子能控标准型1/11/202341当m<n时：1/11/2023421/11/202343例：给定系统的输入输出描述为：

则可定义出相应的一个状态空间描述为：

举例1/11/202344当m=n时：

1/11/202345在同样的状态变量的选取下，状态方程等同于m<n的情况。不同在于输出方程。1/11/202346an-1-an-2-a1a0--b0-bna0b1-bna1bn-2-bnan-2+++bn-1-bnan-1+bn+uy1/11/202347例：给定系统的输入输出描述为：

其相应的状态空间描述为：

举例1/11/202348选取不同的相变量作为状态变量，可得另一种相变量标准型：

1/11/202349an-1an-2a1a0-++++n+uy01n-2n-1+++++++++1/11/202350例：给定系统的输入输出描述为：

举例1/11/2023511/11/202352能观测标准形

1/11/2023532、对角标准型和Jordan(约当)标准型并联型的实现1/11/202354具有互异根的情况：

1/11/2023551++c12++c2…n++cn+++uy1/11/2023561++c12++c2…n++cn+++uy1/11/2023571/11/202358具有重根的情况

设只有一个特征根1为重根，其重数为q，其余q、q＋1、n为互异根，则可将其展开为如下的部分分式：1/11/202359cq+1…+++uycn…c1qc1q-1c12c11+++1/11/2023601/11/202361考虑由下式确定的系统：试求其状态空间表达式之能控标准形、能观测标准形和对角线标准形。能控标准形为：举例1/11/202362能观测标准形为：对角线标准形为：1/11/202363(二)、多输入多输出系统式中，b0，b1，

bn-1和W(s)均为mr矩阵。与单输入单输出系统相类似，设r维输入、m维输出的系统传递函数矩阵经过整理为：1/11/202364A、B、C分别为nn、n1、1n块的分块矩阵；I、0和b分别为mm、mm、mr维矩阵；u、y、x分别为r、m和nm维列向量。

1/11/202365A、B、C分别为nn、n1、1n块的分块矩阵；I、0和b分别为rr、rr、mr维矩阵；u、y、x分别维r、m和nr维列向量。

如果r=m=1，则为单输入单输出的情况。如果r>m，宜采用第一种状态空间表达式，如果r<m，宜采用第二种状态空间表达式。这两种实现还不是最小实现。对于多输入多输出的系统，计算需求是很大的。1/11/2023661.4

状态向量的线性变换1/11/202367所选取的状态向量之间，是一种矢量的线性变换(坐标变换)一、系统状态空间表达式的非唯一性即：由于T为任意非奇异阵，故状态空间表达式为非唯一的通常称T为变换矩阵。1/11/202368某系统状态空间表达式为：

①若取变换矩阵

即：即：举例1/11/2023691/11/202370②若取变换阵：

即：系统矩阵是对角线型的，因此是一种并联实现。

1/11/202371③若欲将上式状态方程中的控制矩阵B从

1/11/202372即：1/11/2023731/11/202374二、系统特征值的不变性及系统的不变量系统特征值就是系统矩阵A的特征值nn方阵A有n个特征值1、系统特征值实际物理系统中，A为实数方阵，故特征值或为实数，或为成对的共轭复数；如A为实数对称方阵，则其特征值都是实数。1/11/2023752、系统的不变量与特征值的不变性1/11/202376由于特征值全由特征多项式的系数：

唯一地确定，而特征值经非奇异变换是不变的，那么这些系数也是不变的量，所以称特征多项式的系数为系统的不变量。

1/11/2023773、特征向量

一个n维向量经过以A作为变换阵的变换，得到一个新的向量

，即：

并且这个新的向量满足：

则称为A的对应于的特征向量

1/11/202378求

的特征向量。

举例1/11/2023791/11/202380三、状态空间表达式变换为对角线型或约旦标准型当A的特征值无重根时

1/11/202381当A的特征值有重根时(设1有q重根)1/11/2023821、A阵为任意形式

证明：由于特征值互异，故特征向量线性无关，从而由它们构成的矩阵：

必为非奇异，即存在，从而有：

特征值无重根时：1/11/2023831/11/202384例：将下列状态方程变换为对角线标准型：

举例1/11/2023851/11/2023861/11/202387设只有一个特征根1为重根，其重数为q，其余q、q＋1、n为互异根，则变换阵T的计算公式如下：

是对应于(n-q)个单根的特征向量是对应于q个1重根的特征向量

显然，p1仍为对应的特征向量，其余p2，p3，pq则称之为广义特征向量。

特征值有重根时：1/11/202388例：将下列状态空间表达式化为约旦标准型：

举例1/11/2023891/11/2023901/11/2023912、A为标准型

1/11/202392

A的特征值无重根其变换阵是一个范德蒙德(Vandermonde)矩阵，为：1/11/202393以1有三重根为例：

A的特征值有重根1/11/202394

A的特征值有共轭复根以四阶系统为例，设其中有一对共轭复根1/11/2023951.5

从状态空间表达式求传递函数矩阵

1/11/202396一、传递函数(阵)取Laplace变换并设初始条件为零，有：

1/11/202397它是一个mr维矩阵函数，即：

其中各元素Wij(s)都是标量函数，它标征第j个输入对第i个输出的传递关系。当ij时，意味着不同标号的输入与输出有相互关联，称为有耦合关系，这正是多变量系统的特点。1/11/202398可以看出，W(s)的分母，就是系统矩阵A的特征多项式，W(s)的分子是一个多项式矩阵。

对应单输入单输出情形，状态空间表达式和传递函数分别为：1/11/202399同一系统尽管其状态空间表达式可以作各种非奇异变换而不是唯一的，但它的传递函数阵是不变的。1/11/2023100二、子系统在各种联结时的传递函数阵简记为：S1:(A1,B1,C1,D1)设系统2为：

简记为：S2:(A2,B2,C2,D2)实际的控制系统，往往由多个子系统组合而成，或并联，或串联，或形成反馈联结。现仅以两个子系统作各种联结为例，推导其等效的传递函数阵。设系统1为：1/11/20231011、并联联结A1,B1,C1D1＋＋＋A2,B2,C2＋yuu1u2D1＋＋y1