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文档简介

三、其他未定式二、型未定式一、型未定式第二节洛必达法则微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限

转化(或型)本节研究:洛必达法则洛必达(1661–1704)法国数学家,他著有《无穷小分析》(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法,后人将其命名为“洛必达法的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降线”问题,在他去世后的1720年出版了他的关于圆锥曲线的书.则”.他在15岁时就解决了帕斯卡提出一、存在(或为)定理1.型未定式(洛必达法则)(

在x,a

之间)证:无妨假设在指出的邻域内任取则在以x,a为端点的区间上满足柯故定理条件:西定理条件,存在(或为)推论1.定理1中换为之一,推论2.若理1条件,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.洛必达法则例1.求解:原式Remark:

不是未定式不能用洛必达法则!例2.求解:原式思考:

如何求(n

为正整数)?例3.求解:注意到～原式二、型未定式存在(或为∞)定理2.证:仅就极限存在的情形加以证明.(洛必达法则)1)的情形从而2)的情形.取常数可用1)中结论3)时,结论仍然成立.(证明略)Note:

定理中换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.例4.求解:原式例5.求解:(1)n

为正整数的情形.原式例5.求(2)n

不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则存在正整数

k,使当x>1

时,例3.例4.注意(Note):1)例4,例5表明时,后者比前者趋于更快.例如,而Hospital’sRule2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.3)若例如,极限不存在三、其他未定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化例6.求解:

原式解:原式例7.求通分转化取倒数转化取对数转化步骤:例8解例9解例10解例11解极限不存在洛必达法则失效。注意：洛必达法则的使用条件．例12.求分析:

为用洛必达法则,必须改求法1用洛必达法则但对本题用此法计算很繁!法2原式Conclusion洛必达法则令取对数思考与练习1.设是未定式极限,如果不存在,是否的极限也不存在?举例说明.极限原式～分析:分析:3.原式～～则4.求解:令原式求下列

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