与圆有关的比例线段九年级数学课件 华东师大版

与圆有关的比例线段

要点、考点聚焦课前热身典型例题解析课时训练要点、考点聚焦1.本课时重点是相交弦定理与切割线定理的应用.

2.相交弦定理及其推论(写出图示的结果，如图8-3-1).定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等(PA·PB=PC·PD).推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项(PC2=PD2=PA·PB).图8-3-1定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 (PA2=PB·PC或PA2=PD·PE).推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到两条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 (PB·PC=PD·PE).3.切割线定理及推论(写出如图8-3-2的结论).图8-3-24.中考命题方向及题型设置.与圆有关的比例线段的定理及推论是中考的必考内容，常用于计算或证明比例式，出现于各类题型中.1.如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，若PA=6，PB=4，则⊙O的半径为( )

A. B.C.2 D.5课前热身B2.(2004年·北京海淀)如图所示，在⊙O中，AB=AC=CD,AB=3，AE·ED=5，则EC=

.2课前热身3.(2004年·天津市)如图，⊙O的两条弦AB、CD相交于E,AC与DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（）A.CE·CD=BE·BAB.CE·

AE=BE·

DEC.PC·

CA=PB·

BDD.PC·

PA=PB·

PDD4.(2004年·天津市)如图，正ΔABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA=PB+PC②1/PA+1/PB=1/PC③PA·PE=PB·PC其中，正确结论的个数为( )

A.3个B.2个C.1个D.0个

B课前热身5.(2004年·陕西省)如图所示，⊙O1与⊙O2内切，它们的半径分别为3和1，过O1作⊙O2的切线，切点为A，则O1A的长为( )

A.2B.4C.D.

C课前热身典型例题解析【例1】已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，P为BA延长线上的点，连结PC，交⊙O于F，如果PF=7，FC=13，且PA∶AE∶EB=2∶4∶1，求CD的长.【解析】涉及圆中有关切割线，相交弦定理的应用问题时，要注意寻找应用定理的基本图形，如PFC与PAB是割线，得到PF·PC=PA·PB，CD与AB是⊙O中两条互相垂直的弦.得到CE2=AE·BE由PA∶AE∶EB=2∶4∶K1可设PA=2k，AE=4k，EB=k，则PB=7k则7(7+13)=2k×7kk=由CE2=AE·BE=>CE2=4k·k=4k2CE=2CD=2CE=4【例2】(2003年·山东省)如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠AGD=∠ADG(1)求证：AD是⊙O的切线(2)如果AB=2，AD=4，EG=2，求⊙O的半径.

典型例题解析【解析】(1)证切线两条思路：一是过圆心作垂线段，证明d=r，二是连结半径，证半径OD⊥AD(这种思路是已知直线和圆有交点时)此题当然是连结OD，证OD⊥AD.(1)证明：由E是弧BC的中点OE⊥BC于F点，∠ADG+∠ODE=90°即AD⊥OD∴AD是⊙O的切线(2)计算题，在圆中通常用两个定理：相交弦定理和切割线定理.由AD=4，AB=2AD2=AB·ACAC=8GB=2，GC=4(切割线定理)再由相交弦定理：CG·BG=EG·DGDG=4△ADG为等边三角形∠ADG=60°，下面根据垂径定理求⊙O的半径.过O作OH⊥ED于H，则∠EOH=60°EH=3，OE=【例3】如图(1)，已知⊙O的弦AB、CD交于圆内的一点E，过E作EF∥BC交DA的延长线于F，FG切⊙O于G.(1)求证：EF=FG

图(1)(2)若AB与CD的交点在⊙O外，上述结论是否成立，请证明你的猜想.典型例题解析(2)这是一道探索性问题，首先要根据题意画出图形，如图(2)，利用已知条件来探求结论是否成立，此题很容易探求出 FG=EF证明同(1)【解析】(1)要证两线段相等，方法很多但这题应该用等积式证EF=FG，很明显FG2=FA·FD，若再能得到EF2=FA·FD即可.ΔFAE∽ΔFED图(2)1.相交弦定理和切割线定理可以看作与圆有公共点的两条相交直线，当交点在圆内时得相交弦定理，当交点在圆外便有切割线定理及切线长定理.2.在圆的有关证明和计算中，若有相交弦和切割线的基本图形时，通常要想到用相交弦定理和切割线定理.方法小结：课时训练1.如图，PAB是⊙O的割线，PO交⊙O于C，若⊙O的半径为R，PO=d，则PA·PB=( )

A.2R-2d B.2R+2dC.R2-d2 D.d2-R2DB2.(2004·沈阳)如图已知PAC为⊙O的割线，连接PO交⊙O于B,PB＝2,PO=7,PA=AC,则PA的长为( )

A.B.C.D.课时训练A3.在Rt△ABC中，∠BCA=90°，以A为圆心.AC为半径的圆交AB于F，交BA延长线于E，CD⊥AB于D，给出四个等式①BC2=BF·BA②CD2=AD·AB③CD2=DF·DE④BF·BE=BD·BA，其中能够成立的是()A.1个B.2个 C.3个D.4个B课时训练4.如图，PA切⊙O于A点，PA=6，PCB是割线，交⊙O于C、B，且PC=4，AD⊥BC于，∠ABC=α，∠ACB=β，连结AB、AC，则的值等于( )

A.B.C.D.4C课时训练7.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是切线，PB交AC于E，交⊙O于D