第六章多元函数微分学基础

第六章多元函数微分学基础第1页，共119页。第六章多元函数微分学基础在上学期我们讨论了一元函数的微积分.但在自然科学和工程技术中，很多问题都与多种因素有关，反映到数学上就是多元函数的问题.本篇将在一元函数的基础上讨论多元函数的微积及其应用，而本章主要介绍空间解析几何的基本知识和多元函数的微分及一些简单的应用.第2页，共119页。第一节空间解析几何简介图6-1右手系示意一、空间直角坐标系第3页，共119页。建立了空间直角坐标系后，就可以讨论间的与三个有序数之间的对应关系.第4页，共119页。6-2第5页，共119页。三个坐标面把空间分成了八部分，每部分叫做一个卦限（见图6-3）.这八个卦限次序规定如下:图6-2点P位置第6页，共119页。下面将平面上两点间的距离公式推广到空间（证明从略）图6-3八卦限示意图第7页，共119页。解第8页，共119页。1.曲面方程的概念6-4二、曲面及其方程第9页，共119页。一般地，把由三元一次方程表示的曲面叫做一次曲面，也和为平面；由三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面.下面简单介绍平面和一些常见的二次曲面方程.图6-4曲面示意第10页，共119页。2.平面方程由两点距离公式知第11页，共119页。图6-5例2示意图第12页，共119页。解第13页，共119页。解解第14页，共119页。3.球面方程图6-7球面示意图图6-6例4示意图第15页，共119页。解第16页，共119页。4.柱面方程图6-8柱面示意图第17页，共119页。第18页，共119页。解称这样的柱面为圆柱面（见图6-9）图6-9例5示意图第19页，共119页。1.空间曲线及其方程三、空间曲线及方程第20页，共119页。解第21页，共119页。第22页，共119页。2.空间曲线在坐标面上的投影第23页，共119页。解第24页，共119页。思考题答案答案答案第25页，共119页。课堂练习题答案答案第26页，共119页。第二节多元函数的概念

在第十四章中，讨论了含有一个自变时的函数，即一元函数，但在实际问题中，还会遇到含有两个或两个以上自变量的函数，这就是本节所要讨论的多元函数.在这里重点介绍二元函数.第27页，共119页。一、二元函数的定义先看下面的例子.图6-11例2示意图第28页，共119页。一般地，二元函数的定义如下.第29页，共119页。解

对于一元函数，一般假定在某个区间上有定义进行讨论.对于二元函数，类似地假定它在某平面区域内有定义进行讨论.

所谓区域（平面的）是指一条或几条曲线围成具有连通性的平面一部分（见图6-35），所谓的连通性是指如果一块部分平面内任意两点可用完全属于此部分平面的折线连结起来.第30页，共119页。图6-12区域示意若区域能延伸到无限远处，就称这区域是无界的，如图6-12(c)所示，否则，它总可以被包含在一个以原点O为中心，而半径适当大的圆内，这样的区域称为有界的，如图6-12(a)、(b)所示，围成区域的曲线叫区域的边界.第31页，共119页。闭区域：连同边界在内的区域的曲线叫区域的边界.开区域：不包括边界内的区域叫开区域.第32页，共119页。为方便使用，将开区域内的点称为内点，将区域边界上的点称为边界点.解第33页，共119页。二、二元函数的几何意义第34页，共119页。图6-15例6示意图第35页，共119页。三、二元函数的极限和连续性1.二元函数的极限

函数的极限是研究当自变量变化时，函数的变化趋势，但是二元函数的自变量有两个，所以自变量的变化过程比一元函数要复杂得多.第36页，共119页。

二元函数的极限是一元函数极限的推广，有关一元函数极限的运算法则和定理,都可以推广二元函数的极限，下面举例说明.第37页，共119页。解方法一方法二

这说明，二元函数的极限问题有时可以先转化为一元函数的极限问题，再求解.第38页，共119页。解第39页，共119页。2.二元函数的连续性函数的不连续点称为函数的间断点.第40页，共119页。第41页，共119页。思考题答案答案答案第42页，共119页。课堂练习题答案答案答案第43页，共119页。第三节偏导数与全微分一、偏导数的定义及求法第44页，共119页。第45页，共119页。第46页，共119页。解第47页，共119页。解证第48页，共119页。解第49页，共119页。二、高阶偏导数第50页，共119页。第51页，共119页。解第52页，共119页。三、全微分1.全微分的定义第53页，共119页。第54页，共119页。第55页，共119页。第56页，共119页。解第57页，共119页。解第58页，共119页。解第59页，共119页。2.全微分在近似计算中的应用第60页，共119页。解第61页，共119页。思考题答案答案答案第62页，共119页。课堂练习题答案答案第63页，共119页。第四节复合函数与隐函数微分法一、复合函数的求导法则1.复合函数的中间变量均是二元函数的情形第64页，共119页。第65页，共119页。第66页，共119页。解第67页，共119页。2.复合函数的中间变量均为一元函数的情形第68页，共119页。解第69页，共119页。解第70页，共119页。3.复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形解第71页，共119页。4.复合函数是抽象函数的情形解第72页，共119页。解第73页，共119页。二、全微分形式不变性第74页，共119页。解第75页，共119页。三、隐函数的求导法第76页，共119页。解第77页，共119页。思考题答案答案答案第78页，共119页。课堂练习题答案答案第79页，共119页。第五节多元函数极值一、多元函数极值1.极值的定义及求法第80页，共119页。第81页，共119页。第82页，共119页。第83页，共119页。解第84页，共119页。2.最大值和最小值第85页，共119页。解图6-39例4示意图第86页，共119页。第87页，共119页。第88页，共119页。二、条件极值第89页，共119页。第90页，共119页。解第91页，共119页。第92页，共119页。思考题答案答案答案第93页，共119页。课堂练习题答案答案第94页，共119页。返回第95页，共119页。返回第96页，共119页。返回第97页，共119页。返回第98页，共119页。返回第99页，共119页。返回第100页，共119页。返回第101页，共119页。返回第102页，共119页。返回第103页，共119页。返回第104页，共119页。返回第105页，共119页。返回第106页，共119页。返回第107页，共119页。返回第108页，共119页。返回第109页，共11