第4章 正弦交流电路

第4章

正弦交流电路

重点：正弦交流电的三要素及其相量表示单一参数正弦交流电路的分析方法阻抗的串联与并联RLC串联、并联电路的分析串联谐振、并联谐振的知识三相正弦电路的分析方法正弦电流电路激励和响应均为正弦量的电路称为正弦电路或交流电路。4.1正弦交流电的表示方法

（1）正弦量瞬时值表达式：i(t)=Imcos(w

t+i)波形：tiO/T周期T(period)和频率f(frequency):频率f

：每秒重复变化的次数。周期T

：重复变化一次所需的时间。单位：Hz，赫(兹)单位：s，秒4.1正弦交流电的表示方法

1.正弦交流电的三要素

幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im(2)角频率(angularfrequency)w

（2）正弦量的三要素tiOT(3)初相位(initialphaseangle)iIm2t单位：rad/s

，弧度/秒反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。反映正弦量的计时起点。i(t)=Imcos(w

t+i)同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。tiO一般规定：|i|。i=0i=/2i=－/2例已知正弦电流波形如图，＝103rad/s，（1）写出i(t)表达式；（2）求最大值发生的时间t1ti010050t1解由于最大值发生在计时起点之后（3）同频率正弦量的相位差

设u(t)=Umcos(w

t+

u),i(t)=Imcos(w

t+

i)则相位差：

=(wt+

u)-(wt+

i)=

u-

i

>0，u超前i角，或i落后u

角(u比i先到达最大值)；

<0，

i超前

u

角，或u滞后

i

角,i比

u先到达最大值。tu,iu

i

u

iO等于初相位之差规定：|

|(180°)。

＝0，同相：j=(180o)

，反相：特殊相位关系：tu,iu

i0tu,iu

i0

=p/2：u领先ip/2,不说u落后i3p/2；i落后up/2,不说

i领先

u3p/2。tu,iu

i0同样可比较两个电压或两个电流的相位差。例计算下列两正弦量的相位差。解不能比较相位差两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。2.正弦交流电量的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。

周期电流、电压有效值定义R直流IR交流i电流有效值定义为有效值也称均方根值物理意义同样，可定义电压有效值：正弦电流、电压的有效值设

i(t)=Imcos(t+)同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；U=380V，

Um537V。（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。（2）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。注复数F的表示形式AbReIma0A=a+jbAbReIma0r（1）复数及运算3.正弦交流电的相量表示复数运算则A±B=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加减运算——采用代数形式若A=a1+jb1，B=a2+jb2F1F2ReIm0图解法(2)乘除运算——采用极坐标形式若A

=r1

1，B

=r2

2除法：模相除，角相减。乘法：模相乘，角相加。则:（2）正弦量的相量表示i1I1I2Iwwwi1+i2ii2

123角频率：有效值：初相位：因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，比较：对于任意一个正弦量都有唯一与其对应的复数，所以可用这个复数表示此正弦量-----相量。A包含了三要素中的两个：I、

。正弦量复数正弦量复数注同一正弦电路中，频率不变称为正弦量i(t)

对应的相量。相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知例1试用相量表示i,u.解例2（1）求两电压之和的瞬时值u(t)（2）画出相量图解相量图相量法的优点：（1）把时域问题变为复数问题；（3）把微积分方程的运算变为复数方程运算；（4）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；注②相量法只适用于激励为同频正弦量的线性电路。③相量法用来分析正弦稳态电路。（2）把微积分运算变为复数线性运算；

相量是表示正弦量而不是等于正弦量。上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。4.KCL、KVL的相量形式1.电阻元件交流电路时域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值（大小）关系相位关系R+-URu相量关系：UR=RI

u=

i4.2单一参数正弦交流电路

波形图及相量图：

itOuRu=i同相位瞬时功率：时域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量模型jL+-相量关系：有效值关系：U=wLI相位关系：

u=

i+90°

2.电感元件交流电路感抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；(2)感抗和频率成正比；相量表达式:XL=L=2fL，称为感抗，单位为(欧姆)

感抗:相位关系：

u=

i+90°

有效值关系：

U=wLI=XLIt

iOuLi波形图及相量图：电压超前电流900瞬时功率

：时域形式：相量形式：相量模型iC(t)u(t)C+-+-有效值关系：IC=wCU相位关系：

i=

u+90°

相量关系：3.电容元件VCR的相量形式XC=-1/wC，

称为容抗，单位为

(欧姆)频率和容抗成反比,0，|XC|

直流开路(隔直)w，|XC|0高频短路(旁路作用)容抗相量表达式:t

iCOuu波形图及相量图：电流超前电压900瞬时功率

：例1试判断下列表达式的正、误：例1试判断下列表达式的正、误：L1.阻抗的串联与并联4.3正弦交流电路分析

（1）阻抗Z+-无源线性+-单位：阻抗模阻抗角欧姆定律的相量形式Z—复阻抗；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)；

|Z|—复阻抗的模；

—阻抗角。或R=|Z|cosX=|Z|sin阻抗三角形|Z|RXj（2）阻抗的性质j<0，电路为容性，电压落后电流；j=0，电路为电阻性，电压与电流同相。j>0，电路为感性，电压领先电流；（3）阻抗的串联与并联

阻抗的串联：阻抗的并联：瞬时功率无源+ui_第一种分解方法；第二种分解方法。（4）正弦交流电路的功率有功功率

P和功率因数=u-i：功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。cos

：功率因数。P的单位：W（瓦）一般地,有0cosj1X>0,j>0,

感性X<0,j<0,

容性cosj1,纯电阻0，纯电抗平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关，而且与cos有关，这是交流和直流的很大区别,主要由于电压、电流存在相位差。视在功率S反映电气设备的容量。无功功率

Q表示交换功率的最大值，单位：var(乏)。Q>0，表示网络吸收无功功率；Q<0，表示网络发出无功功率Q的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件L、C的性质决定的有功，无功，视在功率的关系：有功功率:

P=UIcosj

单位：W无功功率:

Q=UIsinj

单位：var视在功率:

S=UI

单位：VAjSPQjZRXjUURUXRX+_+_ºº+_功率三角形阻抗三角形电压三角形（1）RLC串联电路由KVL：LCRuuLuCi+-+-+-+-uRjLR+-+-+-+-2.正弦交流电路的分析

分析R、L、C串联电路得出：（1）Z=R+j(wL-1/wC)=R+jX=|Z|∠j为复数，故称复阻抗（2）电路性质wL<1/wC，

X<0，j<0，电路为容性，电压落后电流；wL=1/wC

，X=0，j=0，电路为电阻性，电压与电流同相。

wL>1/wC

，X>0，j>0，电路为感性，电压领先电流；选电流为参考向量，设wL>1/wC

（3）电压关系

设：

相量图：

例已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求i,uR,uL,uC.解其相量模型为：LCRuuLuCi+-+-+-+-uRjLR+-+-+-+-则UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。-3.4°相量图注（2）RLC并联电路

所以由于电阻电路与正弦电流电路的分析比较：可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中。（3）正弦交流电路的相量分析法结论1.引入相量法，把求正弦稳态电路微分方程的特解问题转化为求解复数代数方程问题。2.引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程，而直接列写相量形式的代数方程。3.引入阻抗以后，可将所有网络定理和方法都应用于交流，直流（f=0)是一个特例。4.4电路的谐振含有R、L、C的一端口电路，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。（1）谐振的定义R,L,C电路发生谐振1.串联谐振RjL+_（2）串联谐振的条件谐振角频率谐振频率谐振条件仅与电路参数有关（3）RLC串联电路谐振时的特点输入端阻抗Z为纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值|Z|最小。（2）串联谐振时，回路电抗X=0，感抗与容抗相等并等于电路的特性阻抗ρ

特性阻抗品质因数（3）串联谐振时，电路中的电流为最大值且与外加电压同相。I0称为串联谐振电流。

（5）谐振时，能量只在R上消耗，电容和电感之间进行磁场能量和电场能量的转换，电源和电路之间没有能量转换。（4）串联谐振时，电感及电容两端电压模值相等，且等于外加电压的Q倍。即2.并联谐振，CLR谐振条件谐振时相量图(2)

电流一定时，总电压达最大值：(3)

支路电流是总电流的Q倍(1)

电路发