随机数学课件：第4章 数学期望

一、随机变量的数学期望三、数学期望的性质二、随机变量函数的数学期望四、小结第一节数学期望引例1

分赌本问题(产生背景)

A,B两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部200元.由于出现意外情况,在A胜2局B胜1局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?1.1数学期望的概念

A胜2局B胜1局前三局:后二局:把已赌过的三局(A胜2局B胜1局)与上述结果相结合,即A、B赌完五局,AAAB

BABBA胜B胜分析假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:AAA

B

BABB因此,A能“期望”得到的数目应为故有,在赌技相同的情况下,A,B最终获胜的可能性大小之比为即A应获得赌金的而B只能获得赌金的因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于X

的可能值与其概率之积的累加.即为若设随机变量X为:在A胜2局B胜1局的前提下,继续赌下去A最终所得的赌金.则X所取可能值为:其概率分别为:

设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下引例2

射击问题试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?命中环数k命中次数频率解平均射中环数设射手命中的环数为随机变量Y.平均射中环数频率随机波动随机波动随机波动稳定值“平均射中环数”的稳定值“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加1.离散型随机变量的数学期望分赌本问题A期望所得的赌金即为X的数学期望射击问题

“平均射中环数”应为随机变量Y的数学期望关于定义的几点说明

(3)随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同.

(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.

(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.随机变量X的算术平均值为假设它从本质上体现了随机变量X取可能值的平均值.当随机变量X取各个可能值是等概率分布时,X的期望值与算术平均值相等.试问哪个射手技术较好?例1

谁的技术比较好?乙射手甲射手解故甲射手的技术比较好.例2

如何确定投资决策方向?

某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为30%，可得利润8万元，失败的机会为70%，将损失2万元．若存入银行，同期间的利率为5%，问是否作此项投资?解设X为投资利润，则存入银行的利息:故应选择投资.例3

商店的销售策略解到站时刻概率例4解:（1）二项分布则有

设随机变量X服从参数为n,p二项分布,其分布律为常见离散型分布的期望:则两点分布b(1,p)的数学期望为p.=np(2)

泊松分布

则有(3)几何分布

2.连续型随机变量数学期望的定义定义1.2（1）指数分布

则有常见连续型分布的数学期望:（2）

均匀分布则有结论

均匀分布的数学期望位于区间的中点.（3）正态分布则有

设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间

X(以分计)服从指数分布,其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间?解：因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.例5

顾客平均等待多长时间?注意：不是所有的随机变量都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在!若X为离散型随机变量，分布律为Y=g(X)为X的函数则Y的期望为（1）离散型随机变量函数的数学期望1.2随机变量函数的数学期望

1.一维随机变量函数的数学期望解:例

6

求:（2）连续型随机变量函数的数学期望若X是连续型的,它的分布密度为f(x)则例7(教材P106例1.9，记住结论!)

称为

概率积分。另外2.二维随机变量函数的数学期望解:例8

设(X,Y)的分布律为由于例9

设X～N(0,1),Y～N(0,1),X与Y相互独立,求解:

市场上对某种产品每年需求量为X吨，X~U[2000,4000],每出售一吨可赚3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这种商品多少吨,才能使平均利润最大？解:设每年生产Y吨的利润为T显然，2000<Y<4000例10显然，故y=3500时,E(T)最大,E(T)=8250万元得y=3500

设由自动线加工的某种零件的内径

X(mm)~N(,1).已知销售每个零件的利润T(元)与销售零件的内径X有如下的关系：问平均直径

为何值时,销售一个零件的平均利润最大？例11解：即可以验证，零件的平均利润最大.故时,销售一个1.3

数学期望的性质(1)设C为常数，则有(2)设X是一个随机变量，C为常数，则有（3）设X1，X2,

…,Xn

是n个随机变量，为实数，则有一般地，有

（4）设X，Y是相互独立的随机变量，则有

且有解：例12(教材P124第21题)小结数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值.2.数学期望的性质3.常见离散型随机变量的数学期望(教材P317附表8)4.常见连续型随机变量的数学期望一、随机变量方差的概念及性质三、例题讲解二、重要概率分布的方差四、小结第二节方差1.概念的引入方差(variance,dispersion)是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量.实例有两批灯泡,其平均寿命都是E(X)=1000小时.

1.1方差及其计算公式

2.方差的定义

方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.3.方差的意义离散型随机变量的方差连续型随机变量的方差4.随机变量方差的计算

(1)

利用定义计算

证明:(2)利用公式计算证明:2.2方差的性质(1)设C是常数,则有(2)设X

是一个随机变量,C是常数,则有证明:(3)设X,Y相互独立,D(X),D(Y)存在,则证明:推广:

举例说明：设X为连续的随机变量，则有现在，令随机变量，则有由此可见，概率为1的事件不一定为必然事件。（5）柯西—许瓦兹（Cauchy-Schwarz)不等式：（证明过程请大家阅读书P108性质5）1.

两点分布已知随机变量X

的分布律为则有重要概率分布的方差:2.

二项分布则有设随机变量X服从参数为n,p二项分布,其分布律为3.

泊松分布

则有所以4.

均匀分布则有结论

均匀分布的数学期望位于区间的中点.5.

指数分布

则有6.

正态分布则有分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布(教材P317附表8)解例题讲解例1于是解例2解例3例4解例5

已知X,Y相互独立,且都服从

N(0,0.5),求E(|X–Y|).解：故

例6

设随机变量X和Y的概率密度分别为解:据题意有(教材123页第14题)故有例7

设随机变量X和Y相互独立,它们的概率密度分别为求:解:由题意知因X和Y相互独立,故有(教材123页第13题)例8

将编号分别为1~n的n

个球随机地放入编号分别为1~n的n

只盒子中,每盒一球.若球的号码与盒子的号码一致，则称为一个配对.求配对个数X的期望与方差.解:则不相互独立，但P

10P10P

10(教材124页(B)第1题）在数轴上的区间(0,a)(a>0)内任取两点M和N，求线段MN长度的数学期望与方差。解：设M和N的坐标分别为X和Y，由题设有X与Y相互独立，且同服从U（0，a)，于是有而MN的长度|MN|=|Y-X|,其数学期望为所以MN长度的方差为2.3随机变量的标准化设随机变量X具有数学期望及方差则称为X的标准化随机变量.显然,契比雪夫不等式证明取连续型随机变量的情况来证明.

切比雪夫不等式得例９在每次实验中,事件A发生的概率为0.5,利用切比雪夫不等式估计1000次独立实验中,事件A发生次数在400到600之内的概率.解：

设X表示在1000次独立实验中事件A发生的次数,则X~B(1000,0.5)从而依题意证明：例10小结1.方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.2.方差的计算公式3.方差的性质4.契比雪夫不等式一、协方差与相关系数的概念及性质二、相关系数的意义三、小结第三节协方差及相关系数1.问题的提出一、协方差与相关系数的概念及性质

协方差2.定义3.说明4.协方差的计算公式证明:5.性质

(C为常数)求cov(X,Y),XY

10

pqXP例1

已知

X,Y的联合分布为XYpij

1010

p0

0q0<p<1p+q=1解:

10

pqY

P

10

pqXY

P

解:例2结论:解:例31.问题的提出二、相关系数的意义解得2.相关系数的意义(1)不相关与相互独立的关系3.注意相互独立不相关(2)不相关的充要条件4.相关系数的性质证明:由方差性质知故有例4

解:例5

设随机变量(X,Y)在圆域上服从均匀分布.(1)求X和Y之间的相关系数;(2)问X和Y是否相互独立.=解(1)同理，所以Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0从而(2)即X与Y不相关.例6

设(X,Y)~N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,求

XZ解：三、小结相关系数的意义一、基本概念二、n维正态变量的性质三、小结第四节矩4.1原点矩和中心矩1.定义2.说明4.2协方差矩阵协方差矩阵的应用协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度，从而可通过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究引入矩阵4.3n维正态分布由此可得由于推广:n维正态变量的性质线性变换不变性三、小结2.正态变量是最重要的随机变量，其性质一定要熟练掌握.习题课四一、重点与难点1.重点数学期望的性质和计算2.难点数字特征的计算方差的性质和计算相关系数的性质和计算二、主要内容数学期望方差离散型连续型性质协方差与相关系数二维随机变量的数学期望定义计算性质随