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文档简介

习题课

重积分的计算及相关问题基本内容重积分{三重积分二重积分应用{{{几何：面积、体积、曲面面积物理：质量、重心、引力、转动惯量性质计算直角坐标法极坐标法换元法性质计算直角坐标法球面坐标法柱面坐标法{重积分计算的关键:1.选择坐标系2.确定积分次序和积分限基本内容：一、积分坐标系的选择及积分顺序的确定二、积分定义及性质的应用三、换元法的使用四、对称性的利用一、积分坐标系的选择及积分顺序例1分析:由积分限先定出积分区域D，然后再交换积分顺序.解例2

证分析：从改变积分次序入手．例3证明:采用极坐标将式中r的换成x,即得证.由对称性知例4

解1

解2注记:本题的两种不同坐标系的解法难度相差不大,但对于一般的题目当积分曲域和被积函数要求用不同的坐标系时其计算法是有差别的,请多加注意.例5解采用柱坐标例6分析:体积可用定积分、二重积分和三重积分计算，选择时要根据区域而定.解:选择三重积分,并采用球面坐标.二、积分定义及性质的应用例7证同理注:本题采用的方法具有代表性,希望同学们能灵活应用.例8证例9证明例10使用换元法需注意的两个方面:方法:三、换元法的使用广义极坐标:广义球坐标:例11分析:区域的边界较复杂,考虑换元.解例12解1例2解2A例13四、对称性的利用例14解1解2

解一截面法例15

解二换元法例15作业(总习题九)P150:1(3),2(2)(3),3,4,6(1)(3),8,9*.四、对称性的利用(一)、二重积分的对称性使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标轴的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于二个积分变量的奇偶性.使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴

(三个变量)的奇偶性.(二)、三重积分的对称性例1

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