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文档简介

第七节方向导数与梯度

一、问题的提出二、方向导数的定义三、梯度的概念四、小结重点：方向导数与梯度的计算难点：方向导数与相关概念的关系实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．一、问题的提出讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．二、方向导数的定义（如图）当沿着趋于时，是否存在？记为定义证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到故有方向导数解例1解由方向导数的计算公式知例2故推广可得三元函数方向导数的定义解令故方向余弦为例3故三、梯度的概念结论在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图等高线梯度为等高线上的法向量等高线的画法播放例如,梯度与等高线的关系：类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数解由梯度计算公式得故1、方向导数的概念2、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）（注意梯度是一个向量）四、小结思考题思考题解答作业P55:2—5,6(2,3),7.等高线的画法等高线的画法等高线的画法

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