自动控制原理-第二章

第二章

控制系统的数学模型

南京航空航天大学自动控制系第二章主要内容

2-1拉普拉斯变换2-2微分方程（时域）2-3传递函数（复数域）2-4结构图与信号流图1控制是使被控对象按照我们预定方式工作控制目的：y(t)r(t)控制器被控

对象预期输出r(t)实际输出y(t)比较器测量

装置误差

e(t)控制量

u(t)被测变量测量值控制要求：快、准、稳比较器：减法器（负反馈）；加法器（正反馈）控制器被控

对象预期输出r(t)实际输出y(t)误差

e(t)控制量

u(t)+-测量装置：使系统输出y(t)可用y(t)e(t)=r(t)-y(t)研究控制系统，从研究被控对象入手被控对象:有什么共同的特点？动

数学上怎么来描述运动？

动者：变化也。数学上用微分来描述运动位置速度加速度例如：被控对象的描述：微分方程被控对象输出y(t)输入u(t)

微分方程及其解法的理论是整个控制理论的基础。第二讲：数学工具----Laplace变换

（2学时）１、定义与基本变换２、定理与技巧

3、反变换

4、求解微分方程

变换是数学中经常采用的技巧，比如，在初等数学中：令：对数变换

利用对数变换，我们可以将正数的乘积运算变为对数的加法运算。1、定义与基本变换又如，Fourier变换将时间域的实函数变换成频率域的频谱，即，正弦谐波的线性组合。对线性时不变系统而言，我们要寻求能简化微分方程求解过程的变换。一个好的变换至少要有如下2个特征：

1、它的基本函数具有很大的覆盖面，

2、变换本身具有线性叠加性。

1、定义与基本变换Fourier变换就具有上述特性，

1、它的基本函数为谐波函数，或纯虚指数函数，它们的线性组合可以表示大部分常用的函数，

2、基本函数线性组合的输入导致的响应是基本函数响应的线性组合，只是组合系数发生变化。遗憾的是，Fourier变换的收敛条件比较严格。1、定义与基本变换

历史从来都是选择性记忆的，优胜劣汰，大浪淘沙。只有好的工具才会流传后世。

Laplace变换就是这样的数学工具，它对Fourier变换加以扩展，以复指数函数为基本函数，将时间域的实函数变换成复频率域的频谱函数，将微分算子变成代数算子，非常方便。1、定义与基本变换复变量和复变函数(1)

复变量：(2)复变函数：

〉F(s)是函数，其自变量为s；s为复变量

〉F(s)函数值也是复的

〉除此之外，在一般情况下，F(s)与实函数无异1、定义与基本变换(3)复指数函数与尤拉定理：

1、定义与基本变换尤拉定理证明：有：所以：而：改写所以1、定义与基本变换函数f(t)的拉氏变换当t<0,f(t)=0拉氏积分运算符复变量

单边、线性变换不追求数学细节，如收敛条件等。1、定义与基本变换一一映射

由上式可以看出，Laplace变换是Fourier变换的推广，一些工程上重要的函数，如阶跃函数、指数增长函数等不满足Fourier变换的收敛条件，但乘上一个合适的指数衰减因子后，就可以完成变换。当s为纯虚数时，函数的Laplace变换就是它的Fourier变换；当s为复数时，函数的Laplace变换就是它与实部指数函数乘积的Fourier变换。1、定义与基本变换基本时间函数及其Laplace变换(1)指数函数(2)阶跃函数(3)斜坡函数(4)正弦函数(5)脉冲函数1、定义与基本变换例1、指数函数注意：在某一域内复变函数F(s)及其所有导数皆存在，则称该复变函数F(s)在该域内是解析的。在复平面上有一个极点1、定义与基本变换为使积分收敛，这里假设(s+a)的实部大于零例2阶跃函数注意：A=1，称其为单位阶跃函数，记为1(t)。阶跃函数在t=0处是不确定的，相当于在t=0处将一个直流信号突然加到系统上。1、定义与基本变换f(t)A0t例3斜坡函数f(t)t0A1注意：A=1，称其为单位斜坡函数。1、定义与基本变换例4、正弦、余弦函数显然，直接求取并不明智。由尤拉定理有：1、定义与基本变换例5.1脉动函数f(t)0t0tA/t01、定义与基本变换

例5脉冲函数f(t)0t注意：A=1，称其为单位脉冲函数，记为1、定义与基本变换和脉动函数相比，脉冲函数“面积”不变，时间间隔为0。２、定理与技巧

线性叠加原理是显然的。

时域位移----复域指数乘积0atf(t)的拉氏变换时域移位定理2.1时域函数平移2.2与相乘例6

时域指数乘积-----复域位移复域位移定理２、定理与技巧2.3时间比例尺定理证明２、定理与技巧

例7：已知于是：２、定理与技巧

几个重要的拉氏变换对２、定理与技巧

f(t)F(s)f(t)F(s)

2.4微分定理式中f(0)是f(t)在t=0处的初始值。同样，对于f(t)的n阶导数，则有２、定理与技巧

证：根据拉氏变换的定义有

原函数二阶导数的拉氏变换依次类推，可以得到n阶导函数的拉氏变换注意：若时，f(t)极限不存在，也就不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。2.5终值定理假定f(t)和df(t)/dt可以进行拉氏变换，存在，并且F(s)在虚轴上无极点，在原点处无多重极点，即，sF(s)在包括虚轴的右半s平面内解析，则有２、定理与技巧

证：由微分定理有：等式两边对s趋向于0取极限2.6初值定理假定f(t)和df(t)/dt可以进行拉氏变换，存在，则有2.7积分定理式中在t=0处的值。证明方法同上。只是要对取极限。２、定理与技巧证：令：由上述微分定理，有即：同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0则有即原函数f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象函数除以。

2.8卷积定理（了解）将记为，称其为卷积，则有

即：两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。２、定理与技巧证明：

定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为由F(s)，可以按下式求出式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。拉氏变换与拉氏反变换，在时域函数和复频域函数之间构成了变换对。3、拉氏反变换

对于连续的时间函数来说，它与它的拉普拉斯变换之间保持一一对应关系。一一对应f(t)F(s)3、拉氏反变换

直接按上式求原函数太过复杂！

求取拉普拉斯反变换的基本方法是，将复杂的F(s)展开成很多简单项之和，分别求取简单项的拉普拉斯反变换，再叠加得到f(t)。

3、拉氏反变换

我们遇到的F(s)通常是有理分式。若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将它展开成部分分式之和。这些部分分式的拉氏变换通常可以在表中查到。也就是：3、拉氏反变换

几个重要的拉氏变换对f(t)F(s)f(t)F(s)

3、拉氏反变换

例8

例9求的反变换。例10

最后一项用到频域平移性质。4、求解线性微分方程（1）对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，将线性微分方程变为s的代数方程，然后整理代数方程，得到有关变量的拉氏变换的表达式；（2）进行拉氏反变换，可以得到线性微分方程的解。例11求解

利用性质2.2；并查拉氏变换对照表4、求解线性微分方程

部分分式展开式的求法（1）情况一:F(s)有不同极点,这时,F(s)总能展开成如下简单的部分分式之和4、求解线性微分方程例12（2）情况2:F(s)有共轭极点例13求解微分方程同样用到了频域平移性质。注意:出现衰减震荡，ω=1（3）情况3:F(s)有重极点

假若F(s)有L重极点,而其余极点均不相同。那么例14求对应的时间函数解：两边同时乘以,有比较系数有：于是有：也用到了频域平移性质。如果不记公式,可用以下方法求解4、求解线性微分方程

在求解微分方程的过程中，可以有如下结论：

1、Laplace变换的确简化了微分方程的求解。

2、分母多项式又称为特征多项式，特征方程即特征多项式等于0，其解称为特征根或极点。

4、求解线性微分方程3、极点决定了解的结构。

2

主要内容一、数学模型二、线性系统三、微分方程的建立四、微分方程的求解五、非线性元件的线性化

作业一、数学模型1.定义控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式，称为控制系统的数学模型。数学模型是分析和设计自动控制系统的基础。2.建立数学模型的意义（1）要了解系统具体的性能指标，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。（2）许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。比如机械位移系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型。

3.表示形式a.微分方程

b.传递函数

c.频率系统

三种数学模型之间的关系线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换

同一个系统，可以选用不同的数学模型，研究时域响应时可以用传递函数，研究频域响应时则要用频率特性。4.建立方法目前工程上采用的主要方法：

a.分析计算法分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型。适用于简单的系统。b.工程实验法利用系统的输入—输出信号建立数学模型的方法。适用于对系统一无所知的情况。

但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。

c.工程实验法+分析计算法实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。黑盒输入输出1.定义定义一：如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统。

线性元件：具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。

非线性元件：不具有迭加性和齐次性的元件称为非线性元件。

设元件输入为r（t）、r1（t）、r2（t），对应的输出为c（t）、c1（t）、c2（t）。若当r（t）=r1（t）+r2（t）时，有c（t）=c1（t）+c2（t），则称该元件满足迭加性。若当r（t）=a·r1（t）时，有c（t）=a·c1（t），则称该元件满足齐次性。二、线性系统

线性系统的定义二：若组成系统的各元件均为线性元件，则系统为线性系统。

例

y=kx是线性元件。输入x1x2x1＋x2kx1

输出y1

y2y1

＋y2ky1

迭加性齐次性

2.线性系统的特点

迭加性的应用欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。齐次性表明当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析——简化了问题。

微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即得控制系统总的输入和输出的微分方程。三、微分方程的建立

求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。

mkF(t)x(t)位移阻尼系数f阻尼器弹簧例1机械位移系统首先，确定系统的输入F(t),输出x(t)其次，寻找理论依据1.牛顿第二定律物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积。2.牛顿第三定律作用力等于反作用力。现在我们单独取出m进行分析，这里不考虑重力的影响。mF1(弹簧的拉力)F(t)外力F2阻尼器的阻力

写微分方程时，习惯于把输出写在方程的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由高到低排列。整理，得机械位移系统的微分方程为：

求在输入电压ur(t)作用下，电容上电压uc(t)的变化。RLCur(t)uc(t)i(t)例2RLC电路依据：电学中的基尔霍夫定律由（3）代入（1）,消去中间变量i(t)，得

这两个例子，数学形式上完全相似，故可用电子线路来模拟机械平移系统，这也证明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统，却具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。整理成规范形式列写微分方程的步骤1)根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量；

2)分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的微分方程；

3)消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程；

4)将微分方程写为标准形式，即与输入量有关的项写在方程的有端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量的导数项按降幂排列。复习

拉普拉斯变换的微分性质根据拉普拉斯变换的微分性质，零初始条件时，有零初始条件时零初始条件时传递函数的概念定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

三要素：线性定常系统零初始条件输出与输入的拉氏变换之比

零初始条件：输入及其各阶导数在t=0-时刻均为0；输出及其各阶导数在t=0-时刻均为0。形式上记为：传递函数的性质

（1）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输入输出无关；（2）传递函数仅适用于线性定常系统；（3）传递函数是复变量s的有理真分式，即n≥m；（4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；

（5）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系。例2RLC系统传递函数为例1机械力学系统传递函数为例3直流电动机Mc总负载转矩Ua——〉ia——〉Mm分析，当电枢电感La较小时，有当电枢电阻

La、Ra、Jm都较小时，有

CeWm(s)=Ua(s)直流电动机的传递函数根据线性系统的叠加性，有以扰动转矩作为输入，有四、微分方程的求解例4RLCur(t)uc(t)i(t)已知：R=1ohm,L=1H,C=1F,i(0)=0.1A,Uc(0)=0.1,Ur(t)=1(t)求：Uc(t)I)考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程；

2)由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；

3)对输出量利用拉氏反变换，得到输出量的时域表达式,就是分方程的解。用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程1.几种常见的非线性五、非线性元件的线性化

非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下，可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。2.线性化的方法（1）

忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略）

（2）偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法）偏微法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数

忽略二次以上的各项，上式可以写成

这就是非线性元件的线性化数学模型

注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如

不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。

例5水位自动控制系统输入量为Q1,输出量为水位H，求水箱的微分方程，水箱的横截面积为C，R表示流阻。解：

dt时间中水箱内流体增加（或减少）CdH应与水总量（Q1-Q2）dt相等。即：

又据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比，则有

其中，为比例系数。于是，可得如下运动学方程

显然这个式子为非线性关系，下面考察在工作点（Q10,H0）附近的情况。

于是，省略增量符号，得水箱的线性化微分方程为六、元件作业2.22.42.52.6(1)2.8(1)2.112.132.15(a),(b)2.173

六、典型元部件的传递函数

电位器是把线位移或角位移变换为电压量的装置。（1）线位移电位器：

（2）角位移电位器：其中：E—电位器电源电压；

θmax—电位器最大工作角。

一对与上面相同的电位器可以组成误差检测器。

(3)误差检测器

（4）放大器

（5）直流电动机：(6)减速器：(7)测速发电机

（当

La、Ra、Jm都较小）反电势系数Ce七、典型环节及其传递函数环节：具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。系统传递函数可写为：

由上式可知，传递函数表达式包含六种不同的因子：

各典型环节名称：比例环节：一阶微分环节：二阶微分环节：积分环节：惯性环节：二阶振荡环节：延迟环节：惯性环节与延迟环节的区别：惯性环节从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；延迟环节从输入开始后在0~τ时间内没有输出，但t=τ之后，输出完全等于输入。第四节控制系统的结构图

控制系统的结构图是系统数学模型的图解形式，可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。一、系统结构图的组成特点：具有图示模型的直观，又有数学模型的精确。1、

信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。2、引出点（或测量点）：表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。3、比较点（综合点、相加点）：表示两个以上的信号进行加减运算。4、方框（或环节）：表示对信号进行的数学变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。方框与实际系统中的元部件并非一一对应。二、结构图的建立建立步骤：

1）列出各环节（元件）的传递函数；

2）根据各环节之间的信号流向，用图的形式连接起来。例1无源网络：将上面的各环节（元件）的部分综合有：例2电压测量装置：原理方框图：

比较电路：调制器：放大器：两相伺服电机

：绳轮传递：测量电位计：三、结构图的等效变换和简化方框图的基本连接方法只有三种：串联、并联、反馈。简化原则：变换前后变量关系保持等效。（1）串联连接：（2）并联连接：（3）反馈连接：（4）比较点后移：（5）比较点前移：（6）比较点合并：（7）引出点前移：（8）引出点后移：注意：比较点和引出点之间一般不宜交换其位置。由方框图求系统传递函数的基本思路：利用等效变换法则，移动比较点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。例1：例2：例3：四、信号流图和梅逊公式信号流图起源于梅逊（S.J.MASON）利用图示法来描述一个或一组线性代数方程式，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。节点：表示方程式中的变量或信号，是所有进入