概率论基础-第二章1-1

概率论基础

曹刚

2009-08趣味题玛丽莲问题

有三扇门可供选择，其中一扇门后面是汽车，另两扇门后面是山羊。你当然想选中汽车。主持人让你随便选。比如，你选中了一号门。于是，主持人打开了后面是山羊的一扇门，比如是三号门。现在主持人问你：“为了以较大的概率选中汽车，你是坚持选一号门，还是愿意换选二号门？一乘客问空姐，一个恐怖分子带炸弹上飞机的概率是多少？空姐答：百万分之一。乘客

又问，那正巧两个恐怖分子带炸弹上飞机的概率是多少？空姐答：那可要千万分之一了。

次日，这位乘客携炸弹上飞机。被警察抓住，询问。乘客问答：为了减低被炸死的概率。

莫泽（1921-1970），加拿大数学家，他曾提出如下一道有趣的数学问题。一位数学家与他的妻子、儿子都喜欢下棋。一天，儿子为了周末与女朋友约会，向父亲要100元钱。父亲想了一会儿说：“今天是星期三，你在今天、明天和后天3天中，每天下一盘棋，要选择我与你妈妈轮流作你的对手。如果你能连胜2局(当然也包括连胜3局)，就可以得到钱。”显然，因为3天中要轮流与父母下，因此年轻人可选择的顺序只能是父亲-母亲-父亲，或者母亲-父亲-母亲。年轻人还知道，父亲的棋艺比母亲要高。问题是：这位年轻人应选择哪种顺序，才能使连胜2局的可能性更大？常理推断：要连赢两局，因此必赢第2局，所以这一局要和棋力较弱的母亲下。而对棋力较高的父亲，有两次机会交手，只要赢1局就可达到目的。数学解决所需工具：关于可能性（概率）的乘法规则（举例来说，每次掷硬币国徽朝上的概率是1/2，那么两次掷硬币国徽都朝上的概率就是（1/2）*（1/2）=1/4，N次掷硬币国徽都朝上的概率就是N个1/2相乘，即（1/2）的N次方；可见当N越大时，国徽均朝上的可能性越来越小。）莫则问题数学解答：不妨设儿子赢父亲的概率（通俗地说，就是可能性）是（1/2），赢母亲的概率是（2/3）；要连胜2局，因此其战绩应为：赢赢赢、赢赢输或输赢赢。当采取策略A：父亲－母亲－父亲时，三种战绩的可能性赢赢赢：（1/2）*（2/3）*（1/2）=1/6赢赢输：（1/2）*（2/3）*[1-(1/2)]=1/6输赢赢：[1-(1/2)]*（2/3）*（1/2）=1/6因此连胜两局的可能性就是1/6+1/6+1/6=1/2.同理，如果采取策略B：母亲—父亲—母亲时，三种战绩的可能性为赢赢赢：(2/3）*(1/2)*(2/3)=2/9赢赢输：(2/3)*(1/2)*[1-(2/3)]=1/9输赢赢：[1-(2/3)]*(1/2)*(2/3)=1/9因此连胜两局的可能性就是2/9+1/9+1/9=4/9，它小于1/2，因此最佳策略是（A）。以上利用了特殊化的技巧，如果一般地假设儿子赢父亲的概率是p，赢母亲的概率是q，你可类似推得（A）和（B）策略对应的取胜可能性分别为pq(2-p)与pq(2-q)。因为p<q,所以应选择策略（A）。第一章随机事件及其概率

第二章随机变量第三章随机向量

第四章数字特征

第五章极限定理

内容提要第二章随机变量及其分布2.1随机变量的定义2.2离散型随机变量2.3连续型随机变量及其分布函数2.4随机变量函数的分布第一章随机变量及其分布§1随机变量§2离散型随机变量§3随机变量的分布函数§4连续型随机变量及其密度函数§5随机变量的函数的分布非等可能事件的概率怎么计算？在概率论中怎么应用微积分理论？··········设为随机试验

的概率空间问题一样本空间

中的元素与试验有关,从数学角度看,希望

是抽象的集合问题二问题三问题四抛一枚硬币，考察正、反面出现的情况，则这样就把原来有具体含意的样本空间化为直线上的抽象点集如果令则在上述映射下，新的“样本空间”为例，而样本点对应关系为设为概率空间是定义在上的单值实函数，若有定义则称为随机变量注一：自变量是实数自变量是样本点因变量是确定的实数因变量是不确定的实数普通函数随机变量注二：是随机变量是事件随机变量的引入使得所有试验的样本空间都是直线上的集合事件直线上的集合利用微积分来研究随机现象随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).2.说明(1)随机变量与普通的函数不同实例

掷一个硬币,观察出现的结果,共有两种情况:若用X表示掷一个硬币出现正面的次数,则有即X(e)是一个随机变量.若用X表示该家女孩子的个数时,则有可得随机变量X(e),实例

在有两个孩子的家庭中,考虑其性别,共有4个样本点:

将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情况，则样本空间为考虑事件例定义随机变量正面出现的次数则很多试验产生的结果本身就是随机变量

考察某地区的日平均气温

日平均降水量都是随机变量例例电子产品的寿命

是随机变量

从一大批产品中随机抽取

件进行测试，其测得的次品数

是一随机变量例例某城市的日耗电量

是一随机变量注一：通常用大写字母

等表示随机变量,或希腊字母,,η,ζ,….等表示。用小写字母

等表示实数注二：随机变量简记为随机变量X的含义是把样本点（具体的内容）映射到实数轴上。随机变量所取的可能值是有限多个的或无限多个的(可列个的)或连续的,它们对应实数轴上形成的离散点.是事件

随机变量的分类离散型(1)离散型随机变量所取的可能值是有限多个或无限多个(可列个),叫做离散型随机变量.观察掷一个骰子出现的点数.随机变量X

的可能值是:随机变量连续型实例

1,2,3,4,5,6.非离散型其它实例2

若随机变量X记为“连续射击,直至命中时的射击次数”,则X

的可能值是:实例3设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则随机变量X记为“击中目标的次数”,则X

的所有可能取值为:电子产品的寿命

是否是离散型

r.v问？实例

随机变量X为“测量某零件尺寸时的测误差”.则X的取值范围为(a,b)内的任一值.实例

随机变量X为“灯泡的寿命”.(2)连续型

随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.则X的取值范围为

则X的取值范围为

离散随机变量且r.v的所有可能的取值设

为离散型

r.v,设所有可能的取值为易知的统计规律完全由数列确定定义称为离散型的概率函数，或概率分布．分布律。离散型随机变量的分布律包括两方面①②r.v取各个值的概率

将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情况，记为正面出现的次数,求的分布律的取值为故的分布律为例解,其样本空间为问分布律有什么特点？全部和为1所有样本点遍历一次分布律的基本性质：①②证②分布律的本质特征本质特征的含义：离散型r.v的分布律必满足性质①②满足性质的数列必是某离散型r.v的分布律①②注：当X取有限个可能值时，表示有限项和；当X取可列无穷多个可能值时，表示收敛级数的和．离散型r.v的概率分布规律相当于向位于处的“盒子”中扔球分布律的几种表示方法解析式法列表法矩阵法想象扔进第

个“盒子”的可能性是.记解

一球队要经过四轮比赛才能出线.设球队每轮被淘汰的概率为

记

表示球队结束比赛时的比赛次数，求

的分布律.例可能的取值为通过第轮比赛则代入

求得

的分布律为例

：袋中有２个白球和３个黑球，每次从其中任取１个球直到取得白球为止，求取球次数的概率分布,假定：（１）每次取出的黑球不再放回去；（２）每次取出的黑球仍放回去．解：（１）设随机变量X是取球次数，因每次取出的球不放回去，所以X的可能值是1,2,3,4．易知（２）设随机变量Y是取球次数，因为每次取出的黑球仍放回去，所以Y的可能值是一切正整数．易知几何分布：一次试验中只考虑事件A出现或不出现．做独立重复试验直到事件A出现为止，设试验次数为X,则X的可能取值为1,2,3,……,其概率分布为：

严格说单点分布并不具有“随机性”,视为随机变量完全是理论上的需要几种重要的离散型随机变量（0）单点分布如果

的分布律为则称服从，其中

为常数单点分布注单点分布也称为退化分布某事件发生的概率为则称该事件“几乎处处”发生例如记为或记为或a.e.为almosteverywhere,几乎处处含义下相一门课程的考试是“及格”还是“不及格”刚出生的新生儿是“男”还是“女”产品检验的结果是“合格”还是“不合格”射击结果是“击中目标”还是“没有击中目标”（一）（0-1）两点分布如果

的分布律为则称服从两点分布,其中为常数(0-1)分布的实际背景若一个试验只产生两个结果，则可以用服从(0-1)分布的r.v来描述例例例例实例1“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.随机变量X服从(0-1)分布.其分布律为则称X服从(0-1)分布或两点分布.记为X~b(1,p)

两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明超几何分布设X的分布律为

超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到.说明例

：设一批产品中有N件，其中M件次品，现从中任取n件（n≤N),则此n件产品中的次品数X是一离散随机变量X的可能值是0,1,2,….,min(n,M),其概率分布为：（二）伯努利试验与二项分布伯努利试验：只产生两个结果的试验伯努利试验产生什么样的随机变量？重伯努利试验：n将伯努利试验独立重复进行

次的试验例某战士用步枪对目标进行射击，记击中目标没击中目标每射击一次就是一个伯努利试验,如果对目标进行

次射击,则是一个

重伯努利试验.例从一批产品中随机抽取一个产品进行检验，记合格不合格每检验一个产品就是一个伯努利试验.

独立地抽件产品进行检验,是否是重伯努利试验？要求概率保持不变如果产品批量很大,可近似看作重伯努利试验人物介绍伯努利问问在伯努利试验中，令“独立”是指各次试验的结果互不影响令注“重复”是指在每次试验中概率保持不变记第次试验结果有重伯努利试验中事件

发生的次数则

是一个离散型

r.vquestion问题的分布律是什么？①②的取值为发生次发生次次独立试验中重伯努利试验中事件

发生的次数从选个数组合相互独立事件组互不相容记从而

的分布律为易知①②定义若的分布律为则称

服从参数为

的二项分布,记为特别当时就是(0-1)两点分布，即重伯努利试验中事件

发生的次数

的分布律刚好是牛顿二项展开式的通项二项分布的图形例如在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X服从B(5,0.6)的二项分布.

因为元件的数量很大，所以取20只元件可看作是有放回抽样一大批电子元件有10%已损坏,若从这批元件中随机选取20只来组成一个线路,问这线路能正常工作的概率是多少？实际背景：二项分布产生于n重伯努利试验解例,记

表示20只元件中好品的数量，则线路正常分析

这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.例解图示概率分布

保险业是最早应用概率论的行业之一.保险公司为了估计企业的利润，需要计算各种各样的概率.

若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等于0.005，现有10000个人参加这类人寿保险，试求在未来一年中在这些保险者里面，⑴有40个人死亡的概率;⑵死亡人数不超过70个的概率.解例记

为未来一年中在这些人中死亡的人数，则当很大时直接计算二项分布的值是很困难的n①用计算机编程计算②利用后面介绍的极限定理来计算

设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,⑴由4人维护,每人负责20台;⑵由3人共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率大小.则80台设备中发生故障而不能及时维修的概率为解例记表示同一时刻第

人维护的台设备中同①同时发生故障的台数，则例记表示80台设备中同一时刻发生故障的台数②则80台设备中发生故障而不能及时维修的概率为从两种计算结果可见，方法⑵工人的劳动强度增加了(每人平均维护约27台)，但是工作效率大大提高。解因此例注：1、一批产品N个，其中M个次品，即次品率p=M/N．进行放回抽样，连续抽取n次，则次品数服从二项分布B(n,p).2、如果不放回抽样，则连续抽取n次，次品数服从超几何分布．3、当一批产品的总数N很大，而抽取样品的个数n远远小于N，则放回抽样与不放回抽样实际上没有多大的差别．（三）泊松流与泊松分布泊松流:例随着时间的推移,在时间轴上源源不断出现的随机粒子流称为泊松流典型的泊松流：随机服务系统电话交换台在某时间段内接到的呼叫数①②公共汽车站在某时间段内来到的乘客数营业员在某时间段内接待的顾客数③114查号台在某时间段内接到的查号电话数④医院在一天内收到的急诊病人数⑤大型购物中心的停车场,轿车的到达数⑥计算机网络中数据包数⑦（三）泊松流与泊松分布泊松流:随着时间的推移,在时间轴上源源不断出现的随机粒子流称为泊松流例典型的泊松流：稀疏现象的发生119报警台在某时间段内接到的火警电话数①一本书一页中的印刷错误数某地区在一天内邮递遗失的信件数③某地区在一天发生的交通事故数④我国每年撰写“用直尺与圆规三等分任意角”的论文数⑤②电子设备在某时间内受到的干扰冲击次数⑥⑦雷达在跟踪目标时接收到的电磁干扰信号脉冲流（三）泊松流与泊松分布泊松流:随着时间的推移,在时间轴上源源不断出现的随机粒子流称为泊松流例典型的泊松流：物理学中的现象放射性分裂落到某区域的质点数①②热电子的发射数显微镜下落在某区域中的微生物数③定义设的取值为取值概率为其中为参数，则称

服从参数为的,记为泊松分布或泊松分布的性质:在泊松流中,记区间中出现的质点数为

问

服从什么分布问题从理论上可以证明:泊松流中出现的质点数服从泊松分布泊松分布是构造随机现象的“基本粒子”之一注泊松分布的图形泊松分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.泊松分布与泊松流的关系时间轴在泊松流中,记时间间隔中出现的质点数为其中参数

称为泊松强度则

即有泊松定理二项分布

泊松分布n很大,p

很小

设1000辆车通过,出事故的次数为X,则可利用泊松定理计算所求概率为解例

有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?离散型随机变量的分布两点分布二项分布泊松分布几何分布二项分布泊松分布两点分布小结超几何分布退化分布例1

从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件、一件地取产品.设每次抽取时,所面对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下,分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律.(1)每次取出的产品经检定后又放回这批产品中去在取下一件产品;(2)每次取出的产品都不放回这批产品中;(3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.附加题故X的分布律为解(1)X所取的可能值是

(2)若每次取出的产品都不放回这批产品中时,故X的分布律为X所取的可能值是

(3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.故X的分布律为X所取的可能值是例2

为了保证设备正常工作,需配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?解所需解决的问题使得合理配备维修工人问题由泊松定理得故有即个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01.故至少需配备8例3(人寿保险问题)在保险公司里有2500个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日付12元保险费,而在死亡时,家属可在公司里领取200元.问

(1)保险公司亏本的概率是多少?(2)保险公司获利不少于一万元的概率是多少?保险公司在1月1日的收入是

250012=30000元解设X表示这一年内的死亡人数,则保险公司这一年里付出200X元.假定

200X30000,即X15人时公司亏本.于是,P{公司亏本}=P{X15}=1-P{X<14}由泊松定理得P{公司亏本}(2)获利不少于一万元,即30000-200X10000即X10P{获利不少于一万元}=P{X10}随机变量的分布函数为了对离散型和连续型随机变量以及更广泛类型的随机变量给出一种统一的描述方法，下面引进了分布函数的概念.是一事件问题question

是样本点

的函数,但这个函数是“随机函数”，不能应用微积分工具.怎样将“随机函数”化为“普通函数”？对于定义称函数为

的分布函数注

r.v的分布函数是关于自变量

的普通的函数，它不再是随机的！设

X

是一个r.v，称为X

的分布函数.记作X～

F(x)或FX(x).如果将X看作数轴上随机点的坐标,则分布函数F(x)的值就表示X落在区间[-,x]的概率.

———|——>x分布函数

问：在上式中，X,x

皆为变量.二者有什么区别？x起什么作用？F(x)

是不是概率？X是随机变量,x是参变量.F(x)

是r.vX取值不大于

x

的概率.

由定义，对任意实数x1<x2，随机点落在区间（x1,x2]的概率为：P{x1<Xx2

}=P{Xx2}-P{Xx1

}=F(x2)-F(x1)因此，只要知道了随机变量X的分布函数，

它的统计特性就可以得到全面的描述.说明