结构力学(本科)全册配套精品完整课件(一)

结构力学(本科)全册配套精品完整课件(一)§1-1

结构力学研究的对象及任务§1-2

荷载的分类§1-3结构的计算简图§1-5结构的分类§1-4支座和结点的类型第一章绪论钢结构88层高420m（曾名列亚洲第一、世界第三）上海金贸大厦§1-1结构力学的研究对象及任务如：房屋结构、桥梁结构、特种结构等。大坝结构、

建筑物和工程设施中承受、传递荷载而起骨架作用的部分称为工程结构，简称为结构。

1.

结构世界第一拱(钢结构跨径550m)斜拉桥长江三峡工程水利工程的拱坝中国民航飞机高速列车宇宙飞船2.结构力学的研究对象结构力学:结构+力学几门力学课程研究对象比较:

材料力学:

研究单个杆件;弹性力学:

研究杆件（更精确）、板、壳、及块体等非杆状结构。结构力学:

研究由杆件系统（FramedStructure）组成的工程结构,即杆系结构

;理论力学:

研究质点，质点系，刚体;§1-1结构力学的研究对象及任务3.结构力学的研究任务

(2)研究结构在荷载等因素作用下的内力（强度）及位移（刚度）计算。

☆强度——结构在外力作用下是否会破坏的问题。（如：桥在火车作用下的内力计算问题）。

☆刚度——结构在外力作用下变形是否满足规定值。（如：桥在火车作用下的位移、挠度、转角计算）。(3)研究结构的稳定性及动力荷载作用下的反应。

☆稳定性——受压构件在轴向压力作下，能否保持其直线平衡状态。杆件如受压后变弯——失稳

(1)研究结构的组成规则和合理形式。

§1-1结构力学的研究对象及任务

理论分析、实验研究和数值计算三方面。结构力学的计算方法众多，但所有方法都要考虑下列三方面的条件：（1）力系的平衡条件及运动条件;（2）变形的几何连续条件;（3）应力与变形间的物理条件（或称为本构方程）。4.结构力学的研究方法§1-1结构力学的研究对象及任务荷载：作用在结构上的主动力。

例如，结构的自重、水压力、土压力、风载等，

在建筑物施工和使用期间，大小、位置会发生变化的荷载。1、按作用时间的长短分类

长期作用在结构上的不变荷载（如：结构构件的自重、土压力等）。

思考：恒载和活载对结构的影响有何不同？活载：恒载：

广义荷载:还包括使结构产生内力的其他因素。例如，温度变化、基础沉陷、材料胀缩等。§1-2荷载的分类在结构上的作用位置是移动的（如：汽车荷载，吊车荷载）。2、按作用位置是否固定分类

在结构上的作用位置是固定的（如：恒载、风载、雪载）。

固定荷载：

移动荷载：§1-2荷载的分类3、按荷载作用的性质分类

数量、位置、大小等不随时间变化或变化极为缓慢，不使结构产生显著的振动，因而惯性力的影响可以忽略（如：恒载、雪载）。静力荷载：

随时间迅速变化，使结构产生显著振动，因而惯性力的影响不能忽略（如：冲击荷载、地震荷载等。车辆荷载、风荷载在通常的设计中视为静载,但在特殊情况下按动载考虑）。动力荷载：§1-2荷载的分类4、按结构与荷载接触的情况分类

荷载不是直接作用而是通过纵横梁系间接地作用于结构（主梁上的荷载）。

直接作用于结构上的荷载（纵梁上的荷载）。

直接荷载：

间接荷载（结点荷载）：

1、计算简图：将一个具体的工程结构物用一个简化的受力图形来表示。选择计算简图时，要它能反映工程结构物的如下特征：

1．受力特性（荷载的大小、方向、作用位置）；

2．几何特性（构件的轴线、形状、长度）；

3．支承特性（支座的约束反力性质、杆件连接形式）。选取计算简图的原则：（1）正确反映实际结构的受力情况和主要性能。（2）略去次要因素，便于分析和计算。选取计算简图时应考虑的因素：（1）结构的重要性；（2）设计阶段；（3）计算问题的性质；（4）计算工具。§1-3结构的计算简图

对实际结构体系主要进行如下的简化：(1)结构整体的简化（如分解为平面结构）；(2)杆件的简化（杆轴表示，荷载作用杆轴）；(3)杆件间连接的简化（铰结点、刚结点）；(4)结构与基础间连接的简化（支座表示）；(5)荷载的简化（集中荷载、分布荷载）；(6)材料性质的简化。2、简化方法§1-3结构的计算简图(1)结构整体的简化（如分解为平面结构）；

多数情况下，可以忽略一些次要的空间约束，将实际空间结构分解为平面结构。

注意：有些结构具有明显的空间特征而不宜简化成平面结构。§1-3结构的计算简图2、简化方法(2)杆件的简化（杆轴表示，荷载作用杆轴）；

由于杆件的截面尺寸通常比杆件长度小得多，因此在计算简图中，用轴线代替实际杆件。

注意：当截面尺寸增大时（如超过长度的1／4）,杆件用其轴线表示的简化，将引起较大的误差。为什么可以？请思考！§1-3结构的计算简图2、简化方法(5)荷载的简化（集中荷载、分布荷载）；(6)材料性质的简化。

在结构计算中，对组成各构件的材料一般都假设为连续的、均匀的、各向同性的、完全弹性或弹塑性的。(3)杆件间连接的简化（铰结点、刚结点等）；(4)结构与基础间连接的简化（支座表示）；§1-3结构的计算简图2、简化方法3、简化实例§1-3结构的计算简图§1-3结构的计算简图3、简化实例§1-3结构的计算简图3、简化实例§1-4

支座和结点的类型一、支座：把结构与基础联系起来的装置。1.

活动铰支座(Rollersupport)

限制一个方向的位移AVA计算简图

2.固定铰支座(Hingesupport)AVAHA§1-4

支座和结点的类型

限制两个方向位移3.固定端(Fixedsupport)AMAVAHA

限制三个方向位移§1-4

支座和结点的类型4.滑动支座(Fixedsupport)限制两个方向位移§1-4

支座和结点的类型二、结点：结构中杆件相互联结的地方。1.

铰结点(Hingejoint)

杆件间不能相对平动，但可以相对转动；结点具有x向和y向反力，但无弯矩。§1-4

支座和结点的类型2.

刚结点(Rigidjoint)

杆件间不能相对平动，也不能相对转动；结点处既有x和y向反力，也有弯矩。§1-4

支座和结点的类型3.

组合结点

同一结点处，有些杆件为刚结，有些为铰接。

组合梁（加劲梁）§1-4

支座和结点的类型

（1）杆件结构——由杆件组成的结构（杆件的几何特征是横截面尺寸比长度小很多）。如：梁、拱、桁架、刚架。

（2）板壳结构——结构的形状是平面或曲面，它的厚度比长度和宽度小得多。如：楼板、地下连续墙、壳体屋盖。1.从几何角度分类

（3）实体结构——长、宽、厚三个方向尺寸相当。如:

大坝、挡土墙。§1-5

结构的分类2.按受力特性的不同分类(1)梁(Beam)——是一种受弯杆，轴线为直线，有单跨与多跨的。

简支外伸梁多跨连续梁

简支梁

悬臂梁§1-5

结构的分类(2)拱(Arch)：轴线是曲线，竖向荷载作用下产生水平支承推力。§1-5

结构的分类(3)刚架(Frame)：由直杆组成，并具有刚结点。

(bending,shearingandtensionorcompression）主要以受弯为主。

多跨多层空间刚架§1-5

结构的分类(4)桁架(Truss):所有结点均为铰结点，各杆仅受轴力。

§1-5

结构的分类(5)组合结构(Compositestructure):桁架与梁或刚架组合在一起。部分桁架杆，部分梁式杆的结构梁式杆桁架杆§1-5

结构的分类(6)悬索结构(cable-suspendedstructure)§1-5

结构的分类3.按杆件系统的轴线是否在同一平面内分类4.按内力是否静定分类§1-5

结构的分类本章重点一、与相关课的关系1、“理力”、“材力”是“结构力学”的先修课。（1）“理力”为“结力”提供基本的力学原理。

（2）“材力”以研究单根杆件为主，“弹力”以研究实体结构与薄壁结构为主，“结构力学”研究的是杆系结构。2、“钢结构”、“钢筋混凝土结构”、“砖石结构”、“结构抗震”等是“结力”的后继课。3、“结力”的特点（1）系统性：一环套一环，连锁反应。（2）灵活性：一题多解，殊途同归。二、如何选择结构的计算简图三、各种结点，支座的计算简图形式四、通过结构力学的学习，逐步培养如下能力1.分析能力

（1）选择结构计算简图的能力

（2）力系平衡分析和变形几何分析的能力，是结构分析的两个看家本领，要在反复运用中加以融会贯通，逐步提高，力求达到正确、熟练、灵活运用的水平。

（3）选择计算方法的能力——方法众多，要了解各种方法的特点和最适用的场合，具有根据具体问题选择恰当计算方法的能力。本章重点2.计算能力（1）对各种结构进行计算或确定计算步骤的能力;（2）对计算体系进行定量校核或定性判断的能力;（3）初步具有使用结构计算程序的能力。3.自学能力

自学能力就是在没有教师指导的情况下自己获取知识的能力，它包括三个方面：

（1）复习已学的知识——即精读教材；

（2）摄取新的知识——即阅读参考书;4.表达能力

作业条理清楚，步骤整齐，计算书书写整洁。

（3）理解、分析、概括、整理、运用所学知识。本章重点本章思考题1.杆系结构、板壳结构与实体结构的主要差别是什么？5.什么是结构的计算简图?6.如何选择结构的计算简图?3.儿童在地面上跳动与在跳跳板上跳动的荷载性质相同吗？4.移动荷载与动力荷载的主要区别是什么?2.动力荷载与静力荷载的主要是什么区别？8.梁与拱的区别是什么?9.刚架与桁架的区别是什么?10.静定结构与超静定结构的区别是什么?7.将下图简化成计算简图。本章思考题第二章平面体系的机动分析§2-1

引言§2-2

平面体系的计算自由度§2-3

几何不变体系的简单组成规则§2-4

瞬变体系§2-5

机动分析示例§2-6三刚片虚铰在无穷远处的讨论§2-7几何构造与静定性的关系§2-1

引言一、几何不变体系

(geometricallystablesystem)：弹性变形几何不变P

一个杆系，在荷载作用下，若略去杆件本身的弹性变形而能保持其几何形状和位置不变的体系。可称之为结构二、几何可变体系(geometricallyunstablesystem)：P几何可变

一个杆系，在荷载作用下，即使略去杆件本身的弹性变形，它也不能保持其几何形状和位置，而发生机械运动的体系。

只能称之为机构§2-1

引言三、杆系的机动分析：

机动分析就是判断一个杆系是否是几何不变体系，同时还要研究几何不变体系的组成规律。又称:

几何组成分析几何构造分析机动分析的目的：

1、判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否作为结构。

2、区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算方法。

3、搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计算顺序。§2-1

引言形状可任意替换四、刚片：将体系中巳经肯定为几何不变的部分看作是一个刚片。一根梁、一根链杆或者支承体系的基础也可看作是一个刚片。几何不变体系几何可变体系§2-1

引言一、平面体系的自由度(degreeoffreedomofplanarsystem)1.自由度数--确定物体位置所需要的独立坐标数体系运动时可独立改变的几何参数数目n=2xy平面内一点平面内一刚片xyn=3§2-2

平面体系的计算自由度2.平面刚片系的组成§2-2

平面体系的计算自由度3.联系(constraint)1根链杆为1个联系联系（约束）--减少自由度的装置。平面内一刚片n=3n=2(1)链杆1个单铰为2个联系单铰联后n=4xyαβ1个自由刚片3个自由度2个自由刚片有6个自由度铰(2)单铰§2-2

平面体系的计算自由度五个自由度：

、

、

θ1、θ2

、θ33.联系(constraint)(1)链杆;(2)单铰;(3)复铰n个杆件组成的复铰，相当于(n－1)个单铰。复铰等于多少个单铰？§2-2

平面体系的计算自由度二、平面体系的计算自由度

计算自由度=刚片总自由度数减总约束数

m---刚片数

h---单铰数

r---单链杆数（支座链杆）W=3m-(2h+r)§2-2

平面体系的计算自由度平面链杆系的自由度(桁架):链杆(link)——仅在杆件两端用铰连接的杆件。一个链杆→一个约束即两点间加一链杆，则减少一个自由度。设一个平面链杆系：自由度：2j

约束：

b

约束：r链杆数：

b支座链杆数：r铰结点数：

j则体系自由度：W=2j-(b+r)§2-2

平面体系的计算自由度例1：计算图示体系的自由度W=3×8-(2×10+4)=0ACCDBCEEFCFDFDGFG32311有几个单铰？有几个刚片？有几个支座链杆？§2-2

平面体系的计算自由度例2：计算图示体系的自由度W=3

×9-(2×12+3)=0按刚片计算3321129根杆,9个刚片有几个单铰？3根支座链杆按铰结链杆计算W=2

×6-(9+3)=0§2-2

平面体系的计算自由度例3：计算图示体系的自由度解:§2-2

平面体系的计算自由度解:j=9,b=15,r=3例4：计算图示体系的自由度§2-2

平面体系的计算自由度自由度的讨论：

⑵W=0,具有成为几何不变所需的最少联系

几何可变⑴W>0,几何可变§2-2

平面体系的计算自由度(3)W<0几何不变(4)W<0几何可变§2-2

平面体系的计算自由度自由度的讨论：

W>0体系几何可变体系几何不变W<0因此，体系几何不变的必要条件：W≤0

W>0,缺少足够联系，体系几何可变。

W=0,具备成为几何不变体系所要求的最少联系数目。

W<0，体系具有多余联系。

如果体系不与基础相连，即r=0时，体系对基础有三个自由度，仅研究体系本身的内部可变度V。§2-2

平面体系的计算自由度(Geometricconstructionanalysis(Kinematicsanalysis）)

一、三刚片规则

三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相连，所组成的平面体系几何不变。

§2-3

几何不变体系的简单组成规则说明：

1.刚片通过支座链杆与地基相联，地基可视为一刚片。ⅡⅠ§2-3

几何不变体系的简单组成规则2.

三刚片用位于同一直线上的三个铰相联，组成瞬变体系。(几何可变)不符合三刚片规则ABCC’§2-3

几何不变体系的简单组成规则地基、AC、BC为刚片;A、B、C为单铰无多余联系的几何不变体§2-3

几何不变体系的简单组成规则二、二元体规则在刚片上增加一个二元体，是几何不变体系。

二元体:在刚片上增加由两根链杆连接而成的一个新的铰结点，这个“两杆一铰”体系，称为二元体。刚片1BDAC§2-3

几何不变体系的简单组成规则

几何不变体系中，增加或减少二元体，仍为几何不变体系。§2-3

几何不变体系的简单组成规则减二元体简化分析加二元体组成结构§2-3

几何不变体系的简单组成规则如何减二元体？§2-3

几何不变体系的简单组成规则三、两刚片规则：

两个刚片用一个铰和一个不通过该铰的链杆连接，组成几何不变体系。ⅡⅠ链杆铰§2-3

几何不变体系的简单组成规则铰刚片2刚片1DE刚片1刚片2ABCDOEFABC三、两刚片规则：

两个刚片用三根不全平行也不交于同一点的链杆相联，组成无多余联系的几何不变体系。§2-3

几何不变体系的简单组成规则IIIIIIOO是虚铰吗？有二元体吗？是什么体系？O不是有无多不变§2-3

几何不变体系的简单组成规则有虚铰吗？有二元体吗？是什么体系？无多余几何不变没有有试分析图示体系的几何组成§2-3

几何不变体系的简单组成规则瞬变体系(instantaneouslyunstablesystem)--原为几何可变，经微小位移后即转化为几何不变的体系。ABCPC1微小位移后，不能继续位移不能平衡铰结三角形规则——条件：三铰不共线§2-4

瞬变体系瞬变体系

——小荷载引起巨大内力（图1）

——工程结构不能用瞬变体系例：（图2-17）二刚片三链杆相联情况（a）三链杆交于一点；（b）三链杆完全平行（不等长）；（c）三链杆完全平行（在刚片异侧）；（d）三链杆完全平行（等长）几何可变体系:

瞬变,常变

§2-4

瞬变体系例2-1

对图示体系作几何组成分析。

方法一:从基础出发;结论:无多余联系的几何不变体.扩大刚片;反复利用两刚片规则;利用两刚片规则;方法二:加、减二元体§2-5

机动分析示例例2-2

对图示体系作几何组成分析。

1.去支座后再分析体系本身，为什么可以这样？2.有二元体吗？有瞬变体系§2-5

机动分析示例加、减二元体无多几何不变§2-5

机动分析示例找出三个刚片无多余联系的几何不变体例2-3

对图示体系作几何组成分析。

§2-5

机动分析示例行吗？它可变吗？瞬变体系找刚片、找虚铰例2-4

对图示体系作几何组成分析。

ⅠⅡⅢ行吗？无穷§2-5

机动分析示例1.可首先通过自由度的计算，检查体系是否满足几何不变的必要条件(W≤0)。对于较为简单的体系，一般都略去自由度的计算，直接应用上述规则进行分折。

3.如果体系仅通过三根既不完全平行，又不完全相交的支座链杆与基础相联接的体系，则可直接分析体系内部的几何组成。如果体系与基础相连的支座连杆数多于三根，应把基础也看成刚片作整体分析。

2.在进行分折应时，宜先判别体系中有无二元体，如有，则应先撤去，以使体系得到简化。机动分析步骤总结：§2-5

机动分析示例4.已知为几何不变的部分宜作为大刚片。

7.各杆件要么作为链杆，要么作为刚片，必须全部使用，且不可重复使用。

5.两根链杆相当于其交点处的虚铰。

6.运用三刚片规则时，如何选择三个刚片是关键，刚片选择的原则是使得三者之间彼此的连接方式是铰结。§2-5

机动分析示例DEFG唯一吗？如何变静定？§2-5

机动分析示例ABCDEF找刚片内部可变性§2-5

机动分析示例ABCDE可变吗？有多余吗？如何才能不变？ABCDE§2-5

机动分析示例加减二元体§2-5

机动分析示例§2-6三刚片虚铰在无穷远处的讨论(a)一铰无穷远情况几何不变体系不平行几何常变体系平行等长§2-6三刚片虚铰在无穷远处的讨论四杆不全平行几何不变体系(b)两铰无穷远情况§2-6三刚片虚铰在无穷远处的讨论四杆全平行几何瞬变体系§2-6三刚片虚铰在无穷远处的讨论四杆平行等长几何常变体系§2-6三刚片虚铰在无穷远处的讨论三铰无穷远如何?请大家自行分析!§2-6三刚片虚铰在无穷远处的讨论§2-7几何构造与静定性的关系静定结构FFBFAyFAx无多余联系几何不变。如何求支座反力?FFBFAyFAxFC超静定结构有多余联系几何不变。能否求全部反力?§2-7几何构造与静定性的关系体系几何不变体系几何可变体系有多余联系无多余联系常变瞬变可作为结构静定结构超静定结构不可作结构小结:§2-7几何构造与静定性的关系结论与讨论

当计算自由度W>0时，体系一定是可变的。但W≤0仅是体系几何不变的必要条件。

分析一个体系可变性时，应注意刚体形状可任意改换。按照找大刚体（或刚片）、减二元体、去支座分析内部可变性等，使体系得到最大限度简化后，再应用三角形规则分析。

超静定结构可通过合理地减少多余约束使其变成静定结构。

正确区分静定、超静定，正确判定超静定结构的多余约束数十分重要。结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。3.图示体系作几何分析时，可把A点看作杆1、杆2形成的瞬铰。一、判断题

1.瞬变体系的计算自由度一定等零。2.有多余约束的体系一定是几何不变体系。╳╳╳╳4.图示体系是几何不变体系。题3图题4图本章自测题本章自测题

3.图示结构为了受力需要一共设置了五个支座链杆，对于保持其几何不变来说有

个多余约束，其中第

个链杆是必要约束，不能由其他约束来代替。

2.三个刚片每两个刚片之间由一个铰相连接构成的体系是

。

1.体系的计算自由度W≤0是保证体系为几何不变的

条件。二、选择填空A.必要B.充分C.非必要D.

必要和充分A21A.几何可变体系B.无多余约束的几何不变体系

C.瞬变体系

D.体系的组成不确定D5.下列个简图分别有几个多余约束：图a

个约多余束图b

个多余约束图c

个多余约束图d

个多余约束4.多余约束”从哪个角度来看才是多余的?（）

A.从对体系的自由度是否有影响的角度看

B.从对体系的计算自由度是否有影响的角度看

C.从对体系的受力和变形状态是否有影响的角度看

D.从区分静定与超静定两类问题的角度看A0132本章自测题6.图a属几何

体系。

A.不变，无多余约束B.不变，有多余约束

C.可变，无多余约束D.可变，有多余约束

图b属几何

体系。

A.不变，无多余约束B.不变，有多余约束

C.可变，无多余约束D.可变，有多余约束BA本章自测题

7.图示体系与大地之间用三根链杆相连成几何

的体系。

A.不变且无多余约束B.瞬变

C.常变D.不变，有多余约束B8.图示体系为：————

A.几何不变无多余约束B.几何不变有多余约束

C.几何常变D.几何瞬变。A题7图题8图本章自测题

9.图示体系的计算自由度为

。

A.0B.1C.-1D.-2D三、考研题选解1.

三个刚片用不在同一条直线上的三个虚铰两两相连，则组成的体系是无多余约束的几何不变体系。(）（北京交通大学1999年）√

提示：规律3，其中的“铰”，可以是实铰，也可以是瞬（虚）铰。本章自测题2.图示平面体系中，试增添支承链杆，使其成为几何不变且无多余约束的体系。（6分）（浙江大学1996年）3、图示体系几何组成为：

（4分）（大连理工大学2000年）A.几何不变，无多余联系B.几何不变，有多余联系C.瞬变D.常变C

解：答案选C。提示：把刚片ABCD看成刚片I，EF看成刚片II，基础是刚片III，根据三刚片规律。解：答案如图b所示。本章自测题5.图示体系A铰可在竖直线上移动以改变等长杆AB、AC的长度，而其余结点位置不变。当图示尺寸为哪种情况时，体系为几何不变。（西南交通大学1999年）（）

A.h≠2mB.h≠4m和h≠∞C.h≠4m

D.h≠2m和h≠∞

4.图示体系是

。（3分）（浙江大学1999年）

A.无多余约束的几何不变体系B.瞬变体系

B.有无多余约束的几何不变体系D.常变体系题4图提示：体系用不交于一点的三根链杆与基础相连，只需分析体系本身。选择刚片示于图中，根据三刚片规律。A题5图

D本章自测题6.对图示结构作几何组成分析。（４分）（青岛建工学院1996年）

解：将刚片ABC做等效变换，变换成三角形，并选择刚片如图b。刚片I与基础III之间由铰A相连，刚片II与基础III之间由铰B相连，刚片I、刚片II之间由链杆1、2组成的无穷远处的瞬铰相连，由于铰A与铰B的连线与链杆1、2平行，故该体系为瞬变体系。本章自测题四、考国家一级注册结构师试题选解1.图示体系的几何组成为：

A.常变体系B.无多余约束的几何不变体系

C.瞬变体系

D.有多余约束的几何不变体系

解：先去掉二元体35、55'，刚片2367仅需3个链杆即可构成无多余约束的几何不变体系，原体系有一个多余约束，所以答案选择。D

本章自测题

解：刚片124与基础用铰1相连，刚片356与基础用铰6相连，刚片124与刚片356之间用两个平行链杆45、23相连，二铰1、6的连线不与与两个平行链杆45、23平行，原体系为无多余约束的几何不变体系，所以答案选择。2.图示体系的几何组成为：

A.常变体系B.无多余约束的几何不变体系

C.瞬变体系

D.有多余约束的几何不变体系B本章自测题第三章静定梁与静定刚架§3-1

单跨静定梁§3-2多跨静定梁§3-3

静定平面刚架§3-4

少求或不求反力绘制弯矩图§3-5静定结构的特性静定结构定义

在荷载等因素作用下，其全部支座反力和任意一截面的内力均可由静力平衡方程唯一确定的结构。

（a）静定梁（b）静定刚架§3-1

单跨静定梁静定结构的基本特征几何特征：未知力的数目=独立平衡方程式的数目。

超静定结构是有多余约束的几何不变体系,其反力和任意一截面的内力不能由静力平衡条件唯一确定。几何不变且无多余联系。静力特征：计算简图§3-1

单跨静定梁求解静定结构的方法采用截面法、应用平衡方程。容易产生的错误认识：

“静定结构内力分析无非就是选取隔离体，建立平衡方程，以前早就学过了，没有新东西”切忌：浅尝辄止§3-1

单跨静定梁

受弯构件，但在竖向荷载下不产生水平推力；其轴线通常为直线（有时也为曲线）。

梁：单跨静定梁从支承情况不同又分为：简支梁伸臂梁悬臂梁§3-1

单跨静定梁

通常先求出支座反力，采用截面法，建立平衡方程，计算控制截面的内力。

内力符号规定如下：轴力以拉力为正；剪力以绕微段隔离体顺时针转者为正；当弯矩使杆件下侧纤维受拉者为正。1.

任意截面的内力计算§3-1

单跨静定梁求所示简支梁任一截面的内力过程演示。解(1)求出支座反力。由整体平衡：§3-1

单跨静定梁

可以判定所有截面的轴力均为零,取截面Ⅰ-Ⅰ以左为隔离体。

(2)分别求截面Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ和Ⅳ-Ⅳ的内力。

由

有

由

有§3-1

单跨静定梁取截面Ⅱ-Ⅱ以左为隔离体由§3-1

单跨静定梁由

取截面Ⅲ-Ⅲ以左为隔离体§3-1

单跨静定梁计算梁上任一截面内力的规律如下：

梁上某一截面的弯矩数值上等于该截面左侧（或右侧）所有外力对该截面形心的力矩的代数和。

梁上某一截面的剪力数值上等于该截面左侧（或右侧）所有外力在沿截面的切线方向投影的代数和。

如果荷载不垂直于杆轴线，则梁的内力就会有轴力。梁上某一截面的轴力数值上等于该截面左侧（或右侧）所有外力在沿截面的法线方向投影的代数和。§3-1

单跨静定梁按照这个规律，写出截面Ⅳ-Ⅳ的内力为：也可以由截面Ⅳ-Ⅳ以截面Ⅳ-Ⅳ的内力右隔离体的平衡条件求得。§3-1

单跨静定梁2.内力图梁的内力图——弯矩图、剪力图、轴力图。弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正负号轴力和剪力图--可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号作内力图：1由内力方程式画出图形;2利用微分关系画出图形。内力图的含义？需彻底弄清，以免与后面的影响线混淆概念。§3-1

单跨静定梁3.荷载与内力的微分关系由平衡方程ΣY=0

和ΣMA=0可得合并写成在荷载连续分布的梁段上截取一微段梁

dM当某截面的剪力为零时，即———

=0。该截面的弯矩即

dx为这一梁段中的极大值（或极小值）。§3-1

单跨静定梁一般为斜直线水平线抛物线(下凸)有极值为零处有尖角(向下）

有突变(突变值=

FP)有极值如变号无变化

有突变（突变值=M）剪力图弯矩图梁上情况无外力均布力作用

(q向下)集中力作用处(FP向下)集中力偶M作用处铰处无影响为零斜直线()§3-1

单跨静定梁(1)求出梁的支座反力。（有时可不用先求出来）(2)找出梁的控制截面。(3)计算出各控制截面的内力值。(4)根据梁段上荷载的情况把各相邻控制截面点联线即成相应的剪力图和弯矩图。作内力图的步骤：控制截面选取的原则是每段梁上的荷载必须是连续的，因此梁上的集中荷载作用点，分布荷载的起始点和终点都是梁段的控制截面。§3-1

单跨静定梁FP

aFPlabABABlqql2

2应熟记常用单跨梁的弯矩图§3-1

单跨静定梁BAFlabFablBAqlql2

8§3-1

单跨静定梁mBAablml

alm

blmml§3-1

单跨静定梁4.叠加法作弯矩图（sectionsuperposition

method）叠加法要点：以梁段两端的弯矩值的连线作为基线，在此基线上迭加简支梁在此分布荷载作用下的弯矩图，即得最终的弯矩图。

如何作DE段弯矩图?§3-1

单跨静定梁叠加法作弯矩图§3-1

单跨静定梁分段叠加法作弯矩图§3-1

单跨静定梁注意:叠加是弯矩的代数值相加，也即图形纵坐标相加。M2由杆端弯矩作图叠加q弯矩图叠加ql2弯矩图实例§3-1

单跨静定梁

例3-1

试作图示简支的内力图。FA=58kNFB=12kN1.求支座反力2.控制截面及其弯矩的确定3.作弯矩图以及剪力图201826186416无荷载区域弯矩为直线EF段弯矩图如何作？MEqMFFsFFsE区段叠加法，并可求出：10如何由已知的弯矩图得到剪力图？Fs

图(kN

)M图(kNm).§3-1

单跨静定梁

例3-2

试作图示简支的内力图。（课后）解：(1)求支座反力。(3)计算各控制截面的内力值。(2)将梁分段，A、C、D、E、G、B点为控制截面点。§3-1

单跨静定梁注意：

1）集中力作用的截面其左、右两侧的剪力是不同的，两侧相差的值就是该集中力的大小。

2）集中力矩作用截面的两侧弯矩值也是不同的，其差值就是集中力矩的大小。

3）各截面的剪力等于截面左边所有各力在垂直于杆轴方向投影的代数和。§3-1

单跨静定梁

计算各控制截面的弯矩，各截面的弯矩等于该截面左边所有各力对截面形心力矩的代数和。§3-1

单跨静定梁881361127230M图(kN·m)24kN36kN44kN+_DEBCAFS图H（4）作内力图。40§3-1

单跨静定梁(5)计算分布荷载作用梁段的弯矩最大值。

DE段梁的弯矩最大截面就在剪力为零处，剪力为零的截面H的位置可由比例求出，其值为xH

=1.6m

。最大弯矩MH

为：24kN36kN44kN+_DEBCAFS图H§3-1

单跨静定梁

例3-3

简支斜梁如图所示，梁上作用沿水平向分布的均布荷载q

，试求此斜梁的M、FN和FS图。

解:(1)求支座反力。

方法步骤均与水平放置的简支梁相同。§3-1

单跨静定梁(2)取隔离体（在截面C处将梁截断，取截面以左部分为隔离体。）

由

由

由

得

得

得

§3-1

单跨静定梁(3)绘出内力图

由于这些函数的自变量为x,所以函数图形也应以沿水平方向分布为宜。§3-1

单跨静定梁受弯结构作内力图的方法总结:

材料力学中，一般是先作剪力图，再作弯矩图。而在结构力学中，对梁和刚架等受弯结构作内力图的顺序为：一般先求反力（不一定是全部反力）。利用截面法求控制截面弯矩。以便将结构用控制截面拆成为杆段（单元）。在结构图上利用区段叠加法作每一单元的弯矩图，从而得到结构的弯矩图。§3-1

单跨静定梁4.以单元为对象，对杆端取矩可以求得杆端剪力，在结构图上利用微分关系作每单元的剪力图，从而得到结构剪力图。需要指出的是，剪力图可画在杆轴的任意一侧，但必须标注正负号。以未知数个数不超过两个为原则，取结点由平衡求单元杆端轴力，在结构图上利用微分关系作每单元的轴力图，作法和剪力图一样，从而得到结构轴力图。5.综上所述，结构力学作内力图顺序为“先区段叠加作M图，再由M图作FS图，最后FS作FN图”。需要指出的是，这种作内力图的顺序对于超静定结构也是适用的。§3-1

单跨静定梁公路桥常使用多跨静定梁。一、多跨静定梁的定义计算简图层叠图二、多跨静定梁的组成及传力特征对上图所示梁进行几何组成分析:

基本部分：结构中不依赖于其它部分而独立与地基形成几何不变的部分。附属部分：结构中依赖基本部分的支承才能保持几何不变的部分。AB部分,CD部分EF部分§3-2

多跨静定梁组成例子请弄清层叠关系a)仅一个基本部分b)竖向荷载下两个基本部分c)中间一个基本部分e)竖向荷载下两个基本部分d)竖向荷载下两个基本部分§3-2

多跨静定梁三、多跨静定梁的计算原则计算的次序与构造的次序相反。内力图：将各单跨梁的内力图连在一起，就是多跨梁的内力图。对多跨静定梁进行受力分析:分析顺序：应先附属部分，后基本部分。避免解联立方程。

荷载在基本部分上，只基本部分受力，附属部分不受力；荷载在附属部分上，除附属部分受力外，基本部分也受力。§3-2

多跨静定梁例3-2试作图示多跨静定梁的内力图。解：(1)多跨梁各部分的关系:(2)对各部分进行受力分析：基本部分附属部分§3-2

多跨静定梁先附属，后基本1018105先求控制截面弯矩，再区段叠加12MG=-5*4+7.5*2=-5G§3-2

多跨静定梁如何由弯矩图到剪力图？剪力大小：由弯矩图斜率或杆段平衡条件；剪力正负：转动基线与弯矩重合，顺时针旋转则剪力为正，或由支座反力，集中荷载方向判别。§3-2

多跨静定梁例3-3：图示多跨静定梁全长受均布荷载q，各跨长度均为l。欲使梁上最大正、负弯矩的绝对值相等，试确定铰B、E的位置。(优化设计题）§3-2

多跨静定梁由MC=M1，可求得x多跨简支梁

多跨静定梁与一系列简支梁相比，材料用量可减少，但构造要复杂些。=>MC=0.0858ql2§3-2

多跨静定梁例3-4作图示多跨静定梁的内力图，并求出各支座的反力。方法：悬臂部分直接画；中间铰处的弯矩必定为零；无荷载区域弯矩为直线，剪力相同则弯矩斜率相同，叠加法(BC段)。§3-2

多跨静定梁由弯矩图到剪力图方法同前如何求支座C反力?注意:支座C左,右截面剪力方向§3-2

多跨静定梁课外例3-5试作图示多跨静定梁的内力图。不讲解：(1)作出多跨梁的关系图。(2)自上至下求各梁段的支座反力，得§3-2

多跨静定梁(↓)(↑)(↑)(↓)(↓)(↑)§3-2

多跨静定梁(3)逐段画出各跨梁的弯矩图和剪力图。

注意：中间铰处的弯矩必定为零。

+-+

总结：由弯矩图到剪力图的方法，剪力大小，正负判别。§3-2

多跨静定梁课外例3-6

图所示为一两跨梁，全长承受均布荷载q。试求铰D的位置，使负弯矩峰值与正弯矩峰值相等。解：先计算附属部分AD，再计算基本部分DC，令正负弯矩峰值彼此相等铰的位置确定后，可作出弯矩图。得§3-2

多跨静定梁

讨论：如果改用两个跨度为l的简支梁，由比较可知，静定多跨梁的弯矩蜂值比一系列简支梁的要小，二者的比值为0.084/0.125=68%。

§3-2

多跨静定梁

由若干直杆联结而成的结构，其中全部或部份结点为刚结点。

——若刚架各杆的轴线在同一平面内，而且荷载也可以简化到此平面内，即称为平面刚架。

联结于刚性结点各杆之间不能产生相对转动，各杆之间的夹角在变形过程中始终保持不变。刚性结点可以承受和传递弯矩。

平面刚架刚架：

1.刚架的特点保持角度不变§3-3

静定平面刚架2.静定平面刚架(frame)简支刚架三铰刚架悬臂刚架ABCDDE静定刚架§3-3

静定平面刚架3.静定刚架的计算方法

先求出支座反力,然后采用截面法,由平衡条件求出各杆端的内力,就可画出内力（弯矩,剪力和轴力）图。内力正负号的规定：

轴力以拉力为正；弯矩不定义正负号，只将弯矩图画在受拉纤维的一侧。剪力以对该截面有顺时针转动的趋势为正；

轴力图与剪力图可画在杆件的任一侧,须注明正负号。原则上与静定梁相同§3-3

静定平面刚架4.三铰刚架支座反力的计算

根据三铰刚架的特点，先考虑整体平衡，求出一部份未知反力，再考虑局部平衡就可以求出全部的支座反力由ΣX=0考虑整体平衡考虑D铰右侧部分平衡5.内力符号脚标第一个脚标:内力所属截面;第二个脚标:该截面所属杆件的另一端。§3-3

静定平面刚架例3-5

试作图示静定刚架的内力图。1.求反力48kN42kN22kN2.分段作弯矩图(单位：kN*m)12619248MCA如何求?14412刚结点力矩平衡条件§3-3

静定平面刚架由弯矩图=>剪力图由剪力图=>轴力图3.作剪力图4.作轴力图刚结点投影平衡条件§3-3

静定平面刚架例3-6试作图示三铰刚架的内力图整体对A、B取矩，部分对C取矩。20808020求反力只有两杆汇交的刚结点，若结点上无外力偶作用，则两杆端弯矩必大小相等，且同侧受拉。§3-3

静定平面刚架关键是注意：取斜杆对杆端取矩求剪力这样可不解联立方程§3-3

静定平面刚架例3-7试作图示刚架的弯矩图基本部分附属部分§3-3

静定平面刚架弯矩图如何?§3-3

静定平面刚架§3-3

静定平面刚架第三章作业：3-2，3-4，3-8，3-153-16，3-18，3-24要求有解题思路，步骤。§3-3

静定平面刚架例3-8

试作图示静定刚架的内力图。（不讲）

解：(1)

求支座反力。由由由得得得§3-3

静定平面刚架1)作M图取杆件AC隔离体由由得§3-3

静定平面刚架(2)

求各杆端的内力。取BD杆为隔离体§3-3

静定平面刚架

关键点：求出各杆端（各杆与结点的联结处）的内力，求内力的方法与梁的内力计算方法相同。2）作剪力图：取AC杆为隔离体或由由得§3-3

静定平面刚架取AC杆为隔离体

由§3-3

静定平面刚架取CD杆为隔离体由由得§3-3

静定平面刚架取BD杆为隔离体作出剪力图为：§3-3

静定平面刚架取刚结点D为隔离体3）作轴力图：取刚结点C为隔离体由得由得由得由得§3-3

静定平面刚架

由内力图的外观校核。杆上无分布荷载FS图为水平直线；M图为斜直线。杆上有分布荷载FS图为斜直线；M图为二次抛物线。FS图为零的截面M为极值。杆上集中荷载作用的截面,FS图上有突变；M图上有折弯。根据这些特征来检查，本题的M图、FS图均无误。作出轴力图为：(3)

内力图的校核。

首先进行定性分析。§3-3

静定平面刚架

进行定量的数值检查取CDB部分为隔离体可见平衡条件均满足，计算无误。§3-3

静定平面刚架（1）求支座反力（2）求各杆端的内力作M

图取AD杆为隔离体例3-9试作图所示刚架的内力图解：（右侧受拉）由§3-3

静定平面刚架取ADC部分为隔离体取EB杆为隔离体由，有由，有得得（右侧受拉）§3-3

静定平面刚架用叠加法做弯矩图为：由取EB杆为隔离体得（右侧受拉）§3-3

静定平面刚架取AD杆为隔离体，2）作剪力图得由§3-3

静定平面刚架取DE杆为隔离体由由得§3-3

静定平面刚架由ΣMB=0，得取EB

杆为隔离体取结点B为隔离体由于EB杆上无荷载,有由Σy′=0

，得§3-3

静定平面刚架作出剪力图为：取AD杆为隔离体3）作轴力图FS图(kN)§3-3

静定平面刚架取刚结点D为隔离体由ΣY=0得由ΣX=0得由于是上无荷载，故取EB杆为隔离体（拉）（拉）§3-3

静定平面刚架作出轴力图为：§3-3

静定平面刚架(3)

校核取CDEB部分为隔离体§3-3

静定平面刚架截取结点D隔离体

由平衡条件∑X=0,

∑Y=0及∑M=0

检查均满足，故计算无误。§3-3

静定平面刚架例3-10试作图示三铰刚架的内力图。

解根据三铰刚架的特点，先考虑整体平衡，求出一部份未知反力，再考虑局部平衡就可以求出全部的支座反力。(1)

求支座反力考虑整体平衡，由ΣX=0水平反力为：FxA=FxB，具体数值尚为未知。§3-3

静定平面刚架再由：§3-3

静定平面刚架考虑C

铰左侧部份平衡因而§3-3

静定平面刚架

(2)

作内力图，求出各杆端的内力然后连线成图。(3)校核

截取结是D

和E,可判断其满足平衡条件,计算无误。§3-3

静定平面刚架

作弯矩图的根据弯矩图的形状特征（微分关系）

无荷区段弯矩为直线，铰处弯矩为零2.刚结点力矩平衡3.外力与杆轴关系(平行,垂直,重合)4.特殊部分(悬臂部分,简支部分)5.区段叠加法作弯矩图6.利用对称性弯矩图的绘制是结构力学的基本功§3-4少求或不求反力绘制弯矩图不经计算画图示结构弯矩图FP§3-4少求或不求反力绘制弯矩图

5kN304020207545例3-8绘制图示刚架内力图其他内力图自己画§3-4少求或不求反力绘制弯矩图例3-9绘制图示刚架弯矩图FPFPFPFPaFPaFPaFPaFPaFPa2FP2FP§3-4少求或不求反力绘制弯矩图FByFAyFAx602401804040

M图kNm.§3-4少求或不求反力绘制弯矩图FPaaaaaFPaFPaFPaFPa2FPa平行2FP§3-4少求或不求反力绘制弯矩图1.静定结构的基本特性

静力特征：静定结构的全部反力和内力都可以由平衡条件完全确定而且解答是唯一的。超静定结构在同一荷载作用下，满足平衡条件的解答可以有多种，必须考虑变形条件后才能获得唯一的解答。

几何特征：静定结构是几何不变且无多余联系的体系。超静定结构是几何不变且有多余联系的体系。

静定结构的基本静力特征是满足平衡条件的解答是唯一的。§3-5静定结构的特性2.静定结构的一般特性

静定结构除上述基本特性外，还有下述几点一般的特性：(1)温度变化、支座移动以及制造误差均不引起静定结构的内力。温度变化（t2＞t1）支座移动制造误差§3-5静定结构的特性(2)若取出的结构部分（不管其可变性）能够平衡外荷载，则其他部分将不受力§3-5静定结构的特性(4)静定结构的内力与结构中各杆的截面刚度无关。

(3)在结构某几何不变部分上荷载做等效变换时，荷载变化部分之外的反力、内力不变§3-5静定结构的特性3.

结构的对称性

对称结构是指其几何形状与某一轴对称，以及结构的物理特性也与该轴对性的结构。

对称结构在正对称荷载作用下，其反力是对称的，弯矩图、轴力图是对称的，剪力图是反对称的，其位移也是对称的如图所示。§3-5静定结构的特性§3-5静定结构的特性

对称结构在反对称荷载作用下,其弯矩、轴力是反对称的，其位移也是反对称的,而其剪力图则是对称的。§3-5静定结构的特性

利用对称性可以使对称结构的计算大为简化。只需计算结构一半就行了。§3-5静定结构的特性

注意：

在超静定结构中，要求结构的几何形状、支撑和刚度分布都对称时才为对称结构。

在静定结构中，只要结构的几何形状、支撑对称即为对称结构。静定结构的内力与结构中各杆的截面刚度无关。

§3-5静定结构的特性

√

√

1.图1a和图1b两个承受相同的荷载的悬臂梁,其截面刚度不同，但内力图是一样的。一、判断题

2.图2所示结构在承受所示荷载的状态下，链杆AC和BC

均不受力。图1

图2

自测题

二、选择填空2.比较图a、图b所示两种情况：其内力_________，B支座水平位移

。1.在温度改变的影响下，静定结构将：

A.有内力、有位移B.无内力、有位移

C.有内力、无位移D.无内力、无位移(

)BAA.相同，不等B.不相同，不等

C.相同，相等D.不相同，相等

自测题3.图示刚架AD中截面C的弯矩等于（）。

A.（左拉）B.（右拉）

C.（左拉）D.（右拉）A

自测题4.图a所示结构弯矩图形状正确的是：A()

自测题5.图示结构支座A的反力（向上为正）是：

A.－F

B.－2F/3C.－F/3D.0

（）D

自测题6.图示结构MDC

（设下侧受拉为正）为()

A.－

Fa

B.

Fa

C.－

Fa／2D.Fa／2

D

提示：本题不需要求支座反力。由于原结构对称，所以，由分段叠加法得，又由于C点为铰接，故，代入上式解得。

自测题

三、考研题选解

1.（判断题）图示结构MC=0。（）（3分）（东南大学1996年）

解:

正确。根据性质（4）。

2.静定结构有变温时（）（3分）（浙江大学1997年)A.无变形，无位移，无内力

B.有变形，有位移，有内力

C.有变形，有位移，无内力

D.无变形，有位移，无内力C题1图

自测题3.图示结构内部温度上升t度，外部温度不变，则K截面剪力FSK为________。(3分)（西南交通大学2000年）

解:

答案是0。因为该结构是静定结构，根据性质(3)，静定结构在温度变化下不产生内力，故FSK=0。

自测题4.图示桁架内力为零的杆为：（）（4分）（天津大学1995年）

A.3根B.6根C.8根D.7根解:

答案是（）。见图b。C

自测题

四、考国家一级注册结构师习题选解1.图示结构1、2杆轴力为()A.压力、拉力B.拉力、拉力

C.FN1×

FN2<0D.FN1=FN2=0

D

自测题2.图示桁架结构1杆轴力一定为：()A.拉力B.压力3C.零

D.需要给出内部三个铰的位置才能确定具体受力性质

提示：ABC是附属部分，由于外荷载F作用在基本部分上，故附属部分不受力，或者由截面法（I-I截面）求解。C

自测题4.课后习题讲解修改弯矩图习题讲解习题讲解习题讲解习题讲解习题讲解习题讲解习题讲解快速作弯矩图习题讲解270160540640220210习题讲解习题讲解习题讲解习题讲解习题讲解由做出的弯矩图作剪力图MFs习题讲解第四章静定拱

§4-1

概述§4-2

三铰拱的数值解§4-3三铰拱的合理拱轴线

杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下会产生水平反力（称为推力）。

拱式结构的特点：

拱式结构又称为推力结构。§4-1

概述梁式结构在竖向荷载作用下是不会产生推力的。有拉杆的三铰拱

两铰拱

曲梁§4-1

概述三铰拱各部分名称

高跨比f/l是拱的一个重要的几何参数。工程实际中，高跨比在l~1／10之间，变化的范围很大。拱顶：拱的最高点。拱趾：支座处。跨度：两支座之间的水平距离，用l表示。矢高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用f表示。§4-1

概述

拱与其同跨度同荷载的简支梁相比其弯矩要小得多，所以拱结构适用于大跨度的建筑物。它广泛地应用房屋桥梁和水工建筑物中。由于推力的存在它要求拱的支座必须设计得足够的牢固，这是采用拱的结构形式时必须注意的。§4-1

概述一、三铰拱的反力和内力计算。

1.支座反力计算（与三铰刚架反力的求法类似）。

代梁

代梁：同跨度、同荷载的简支梁,其反力、内力记为、、、三铰拱

§4-2

三铰拱的数值解

考虑整体平衡考虑C铰左侧部分平衡由∑X=0，得由∑MA=0得由∑MB=0，得由∑MC=0，得§4-2

三铰拱的数值解

与代梁相比较有：可见：三铰拱的竖向支座反力就等于代梁的反力；水平推力就等于代梁C截面的弯矩除以矢高；

拱的矢高对水平推力影响很大（矢高愈小即拱的形状愈扁平推力愈大）。§4-2

三铰拱的数值解

2.内力计算(1)截面的内力假定：

轴力以压力为正，剪力以有使截面产生顺时针转动的趋势者为正，弯矩以拱内侧纤维受拉者为正。讨论：当拱的矢高f=0时，情况如何？§4-2

三铰拱的数值解

K截面形心的坐标为x、y，截面切线的倾斜角为θ。且左半拱的为正值，右半拱的θ为负值。考虑截面左侧部份平衡,由与代梁相比较

拱的弯矩等于相应截面代梁的弯矩再减去推力引起的弯矩。(2)内力计算

由∑MK=0可得

§4-2

三铰拱的数值解

与代梁相比较与代梁相比较由由§4-2

三铰拱的数值解

三铰拱任意截面K上的内力MK、FSK和FNK的计算公式：

拱的弯矩要比同跨度同荷载的简支梁的弯矩小很多，当跨度比较大时采用拱比用梁要更为经济合理。§4-2

三铰拱的数值解

例4-1

试求图示三铰拱截面D的内力。设拱轴线为抛物线，当坐标原点选在左支座时，它的轴线方程式为，已知D截面的坐标为:

xD=5.25m

。

解:(1)

代入数据后拱轴线方程为：当x=5.25m

时，y=3.938m，因而，故§4-2

三铰拱的数值解

得(2)

求支座反力,结果为：,(3)

求内力由水平推力§4-2

三铰拱的数值解

注意：内力微分关系不适用于拱（拱轴线为曲线）。

作拱的内力图时需计算若干个截面的内力值然后连线成图。

在本例的情况至少要计算9个截面的内力值然后连线成图才能获得满意的效果。

最终弯矩图,可以看出,它是由代梁的弯矩图M

0减去一个与拱轴线相似的抛物线图形后剩下的图形FH•y,即右下图阴影部份.可见拱的弯矩是很小的，其内力是以轴力为主。§4-2

三铰拱的数值解

三铰拱的合理拱轴线三铰拱在竖向荷载作用下任一截面的弯矩为：

拱合理拱轴线：若拱的所有截面上的弯矩都为零，这样的拱轴线为合理拱轴线。由得合理拱轴线方程(4-4)M

0——代梁在该竖向荷载作用下的弯矩方程FH

——拱支座的水平推力

由公式（3