2011届高考数学总复习-第2单元-函数及其性质课件(理)苏教版

第一节函数及其表示基础梳理1.函数的概念设A、B是非空的

,如果按照某种

,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有

和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数.记作

.其中,所有输入值x组成的集合A叫做函数的

;对于A中的每一个x都有一个

与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的

.数集对应法则f唯一的元素yy=f(x),x∈A定义域输出值y值域第一页，编辑于星期一：八点四十二分。2.构成函数的三要素:

、

和

。3.两个函数相等函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域B和对应关系f.定义域和对应关系为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的

和

·

都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.4.常用的函数表示法(1)

(2)

(3)

.5.分段函数若一个函数的定义域分成了若干个

,而每个

的

·

不同,这种函数称为分段函数.定义域对应法则值域定义域对应关系解析法列表法图象法子区间解析式子区间6.映射的概念一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的

元素,在集合B中都有

的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射.记作

。每一个唯一“f:A→B”第二页，编辑于星期一：八点四十二分。典例分析题型一函数的概念【例1】设函数f(x)=求f(-4);f()=8,求分析这是分段函数的变换问题，需要结合定义域作数值代换。解综上所述，学后反思本题是在已知分段函数的解析式的前提下，通过给出自变量（函数值），确定函数值（函数值）这也是在近几年高考中考查函数概念的常见题型，解决这类问题的关键是要理解函数的定义：自变量确定，有唯一的函数值与之对应，函数值确定，可能有多个自变量与之对第三页，编辑于星期一：八点四十二分。应，同时，面对分段函数一定要结合定义域分段考虑举一反三1.已知符号函数sgnx=,则不等式（x+1）sgn的解集是

。解析：不等式（x+1）sgnx>2,可化为或或解得x>1或x<-3,解集为｛x|x<-3或x>1｝答案：｛x|x<-3或x>1｝第四页，编辑于星期一：八点四十二分。题型二判断两个函数是否相同【例2】试判断以下各组函数是否表示同一函数..xxg(x),1xx(x)(4)*);N(n)x(g(x),x(x)(3)0);1(x-0),1(g(x),|x|(x)(2);xg(x),x(x)(1)21n-21n21n21n2332+=+=Î==îíì<³====-++ffxxff分析根据定义域、值域和对应关系是否相同来判断.第五页，编辑于星期一：八点四十二分。解（1）由故它们的对应关系不相同,所以它们不是同一函数.(2)由于函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而的定义域为R,所以它们不是同一函数.(3)由于当n∈N*时,2n±1为奇数,∴它们的定义域、值域及对应关系都相同,所以它们是同一函数.xxf====-1++1n-2n21n21n2)x(g(x),x(x)(4)由于函数的定义域为{x|x≥0},而的定义域为{x|x≤-1或x≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数.第六页，编辑于星期一：八点四十二分。学后反思对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应关系都相同时,y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数.若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然.对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同,则这两个函数就不可能是同一函数.2-t4-tg(t),2-x4-x(x)Z)1(x2xg(x)R),1(x-2x(x)x

g(x),)x((x)1)a0,(aag(x),alog(x)22332xlogxaa==Î-=Î===¹>==ffff④③②①举一反三2.下列四组函数,表示同一函数的是

.第七页，编辑于星期一：八点四十二分。解析①中两函数定义域不同,②中两函数定义域不同,③中两函数定义域不同,④中两函数定义域相同，对应法则也相同.答案：④f(x).3x,x1f2f(x)f(x)(3)f(x);lgx,1)2(f(2)f(x);,x1x)x1f(x(1)22求）（满足已知求已知求已知=+=++=+x题型三求函数解析式【例3】第八页，编辑于星期一：八点四十二分。分析(1)用配凑法;(2)用换元法;(3)用方程组法.解(1)①把①中的x换成第九页，编辑于星期一：八点四十二分。学后反思函数解析式的常见求法有:(1)配凑法.已知f[h(x)]=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理成或配凑成只含h(x)的式子,用x将h(x)代换.(2)待定系数法.若已知函数的类型(如一次函数、二次函数），比如二次函数可设为f(x)=+bx+c(a≠0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条件列出方程组,解出a、b、c即可.(3)换元法.已知f[h(x)]=g(x),求f(x)时，往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元，便可求解.(4)方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他未知量,如等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).第十页，编辑于星期一：八点四十二分。举一反三3.(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x);（2）已知g(x)=1-2x,.解析(1)设f(x)=ax+b(a≠0),由3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,得3［a(x+1)+b］-2［a(x-1)+b］=2x+17∴ax+5a+b=2x+17，第十一页，编辑于星期一：八点四十二分。(2)令g(x)=1-2x=,得题型四分段函数的应用【例4】我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水,某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分水费加收200%,若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应缴多少水费？第十二页，编辑于星期一：八点四十二分。分析在本题中，用水量（自变量x）属于不同范围时有不同的缴费办法，所以应分段计算水费.解用y表示本季度应交水费（单位：元）.当0＜x≤5时，=1.3x………………3′当5＜x≤6时，应把x分成两部分：5与(x-5)分别计算，第一部分收基本水费1.3×5，第二部分由基本水费与加价水费组成，即1.3(x-5)+1.3(x-5)×200%=1.3(x-5)(1+200%)，∴=1.3×5+1.3（x-5）(1+200%)=3.9x-13………7′当6＜x≤7时,同理：=1.3×5+1.3(1+200%)+1.3(x-6)(1+400%)=6.5x-28.6…………11′综上可能

第十三页，编辑于星期一：八点四十二分。学后反思对于分段函数，应分别求出各区间内的函数关系，再结合在一起，注意要使各区间的端点既不重复又不遗漏.举一反三4.为刺激消费，某商场开展让利促销活动，规定：顾客购物总金额不超过1000元，则享受一定的折扣优惠，折扣按下表累计计算：

20%超过500元的部分

10%不超过500元的部分折扣率可以享受折扣优惠的金额（购物金额超出1000元的部分）第十四页，编辑于星期一：八点四十二分。例如，某人购物1300元，则享受这口优惠的金额为（1300-1000）元，优惠额30010%=30，实际付款1270元。（1）某顾客购买了1800元的商品，它实际应付款多少元？（2）设某人购物总金额为x元，实际应付款y元，求y关于x的函数解析式解析（1）若顾客购买了1800元的商品，则实际付款为100+500（1-10%）+（1800-1500）（1-20%）=1690（元）（2）当元时，应付款x元;当元时，应付款当第十五页，编辑于星期一：八点四十二分。【例】已知

错解由已知得易错警示错解分析在使用直接配凑法或换元法求函数解析式时,没有考虑定义域的变化致错.也就是说,在采用换元法求函数解析式时一定要保持等价变换.正解由已知得第十六页，编辑于星期一：八点四十二分。10.如图,在边长为4的正方形ABCD上有一点P,沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动,设P点移动的路程为x,△ABP的面积为y=f(x).求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式.解析：由题易知函数的定义域为(0,12).

当0<x≤4时,S=f(x)=×4×x=2x;

当4<x≤8时,S=f(x)=8;

当8<x<12时,S=f(x)=×4×(12-x)=2(12-x)

=24-2x.

∴函数的解析式为考点演练第十七页，编辑于星期一：八点四十二分。11.已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为（1，3）.若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根，求f(x)的解析式.12.经市场调查得知，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g(t)=80-2t（件），价格近似满足f(t)=20-(元）。（1）是写出该种商品的日销售额y与时间（）的函数表达式；（2）球该种商品的日销售额y的最大值与最小值解析由方程f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=-(2+4a)x+3a因为方程f(x)有两个相等的实根，所以-(2+4a)x+9a=0即-4a-1=0,解得a=1或a=-易知a<0,故舍去a=1,将a=-代入得f(x)的解析式为f(x)=第十八页，编辑于星期一：八点四十二分。解析（1）y=g(t)f(t)=(80-2t)(20)=(40-t)(40-)=(2)当时，y的取值范围是，当t=5时，y取得最大值为1225；当时，y的取值范围是当t=20时,y取得最小值为600所以日销售额的最大值为1225元，最小值为600元第十九页，编辑于星期一：八点四十二分。第二节函数的定义域与值域基础梳理在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,

叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,

叫做函数的值域.2.函数的定义域的常见求法(1)分式的分母

.(2)偶次根式的被开方数

.(3)对数的真数

,底数

.x组成的集合A函数值的集{f(x)|x∈A}不为零大于或等于零大于零大于零且不等于1第二十页，编辑于星期一：八点四十二分。(4)零次幂的底数

.(5)三角函数中的正切函数

.(6)已知函数f(x)的定义域为D,求函数f[g(x)]的定义域,只需

.(7)已知函数f[g(x)]的定义域为D,求函数f(x)的定义域,只需要求

.不为零g(x)∈D.g(x)的值(x∈D).典例分析题型一函数的定义域【例1】求函数的定义域.第二十一页，编辑于星期一：八点四十二分。举一反三1.求下列函数的定义域解析（1）

定义域为{x|1<x≤2}（2）定义域为第二十二页，编辑于星期一：八点四十二分。分析只需要使解析式有意义,列不等式组求解解要使函数有意义,则只需要即解得-3<x<0或2<x<3.故函数的定义域是(-3,0)∪(2,3).学后反思求函数的定义域,先列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集,其准则一般是:(1)分式中,分母不为零;(2)偶次方根中,被开方数非负;(3)对于y=,要求x≠0;(4)对数式中,真数大于0,底数大于0且不等于1;(5)由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束.第二十三页，编辑于星期一：八点四十二分。(3)定义域为题型二函数的值域【例2】求下列函数的值域.分析(1)利用二次函数在确定的区间单调性求解;

(2)利用换元法转化为二次函数的值域问题,还可通过单调性求解;(3)利用基本不等式或利用函数的单调性求解.第二十四页，编辑于星期一：八点四十二分。解(1)∵对称轴x=∈[-1,3],∴函数在x=处取得最小值，即=结合函数的单调性知函数在x=3处取得最大值,即=26.∴函数的值域为[,26],(2)方法一:令∴∵二次函数对称轴为t=-第二十五页，编辑于星期一：八点四十二分。∴在[0,+∞)上，是减函数,∴故函数有最大值1,无最小值,其值域为(-∞,1].方法二:∵y=2x与均为定义域上的增函数,是定义域为上的增函数,∴,无最小值.∴函数的值域为(-∞,1].第二十六页，编辑于星期一：八点四十二分。当且仅当，即时等号成立，原函数的值域为学后反思求函数值域（最值）的常用方法：（1）基本函数法

对于基本函数的值域可通过它的图像性质直接求解（2）配方法

对于形如的函数的值域问题，均可用配方法求解。第二十七页，编辑于星期一：八点四十二分。（3）换元法利用代数或三角换元，将所给函数转化成易求值域的函数，形如的函数，令f(x)=t；形如y=ax+b(a,b,c,d均为常数，）的函数，令，形如含的结构的函数，可利用三角代换，令x=,或令(4)不等式法利用基本不等式：，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”。如利用“”求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①a>0,b>0②a+b(或ab)为定值；③取等号条件a=b三个条件缺一不可.(5)函数的单调性法确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域，例如，，当利用不等式法等号不能成立时，可考虑用函数的单调性。第二十八页，编辑于星期一：八点四十二分。(6)数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，形如，可联想两点与连线的斜率。(7)函数的有界性法形如y=，可用y表示出sinx，再根据，解关于y的不等式，求出y的取值范围举一反三(8)导数法设y=f(x)的导数为，由可求得极值点坐标，若函数定义域为，则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值或最小值第二十九页，编辑于星期一：八点四十二分。2.求下列函数的值域.解析(1)∵,∴定义域为［-2,8］.又∵函数为增函数,∴∴值域为第三十页，编辑于星期一：八点四十二分。(2)+(2y-1)x+2y-1=0,①当y=0时，方程有解x=-1；②当y≠0时,∵x∈R,∴Δ=(2y-1)2-4y(2y-1)≥0,即(2y-1)(-1-2y)≥0,∴(3)原式化简得，显然y>0,

即值域为（0，1）。第三十一页，编辑于星期一：八点四十二分。题型三函数的最值【例3】(14分)已知函数,x∈[1,+∞).(1)当a=4时,求f(x)的最小值;(2)当时,求f(x)的最小值;(3)若a为正常数,求f(x)的最小值.分析在解决该类型函数的最值时,首先考虑到应用基本不等式求解,但须逐一验证应用基本不等式所具备的条件.若条件不具备,应从函数单调性的角度考虑.第三十二页，编辑于星期一：八点四十二分。(3)函数在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数…………………11′若>1,即a>1时,f(x)在区间[1,+∞)上先减后增,∴f(x)min=f()=2+2；若≤1,即0<≤1时,f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,∴f(x)min=f(1)=a+3……………….14′解(1)当a=4时,易知,f(x)在[1,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数，……………….2′∴f(x)min=f(2)=6……………4′(2)当时,.易知,f(x)在[1,+∞)上为增函数,………………….……….6′∴f(x)min=f(1)=…….………….8′第三十三页，编辑于星期一：八点四十二分。学后反思求函数在某区间上的最值,通常先判断函数在该区间上的单调性,当函数或区间中含有字母时,要对字母加以讨论,以确定函数的单调性.举一反三3.已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于A、B两点,AB=2i+2j(i、j分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=-x-6.(1)求k、b的值;(2)当x满足f(x)>g(x)时,求函数的最小值.第三十四页，编辑于星期一：八点四十二分。解析(1)由已知得于是=2,b=2，∴k=1,b=2.(2)由f(x)>g(x),得x+2>-x-6,即(x+2)(x-4)<0,解得-2<x<4.

当且仅当x+2=1,即x=-1时等号成立.∴的最小值是-3.第三十五页，编辑于星期一：八点四十二分。易错警示错解分析上面的解法忽视了复合函数的定义域,误以为函数y的定义域仍为f(x)的定义域,从而导致求最大值时出错.【例】已知f(x)=2+(1≤x≤9),求函数y=的最大值.错解y==即y=

∵1≤x≤9,∴0≤≤2.故当x=9,即时,y取最大值为22.第三十六页，编辑于星期一：八点四十二分。正解∵f(x)的定义域为[1,9],∴要使函数y=有意义,必须有∴1≤x≤3,∴0≤≤1.故当x=3,即=1时,y取最大值为13.考点演练10.求下列函数的定义域（1）（2)y=；(3)第三十七页，编辑于星期一：八点四十二分。解析（1）值域为（3）第三十八页，编辑于星期一：八点四十二分。（4）显然函数为减函数，11.设函数（1）当a=-5时，求函数f(x)的定义域；（2）若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围。解析(1)由题设知：如图，在同一坐标系中作出函数和=5的图像，由图像可知的定义域为第三十九页，编辑于星期一：八点四十二分。(2)由题设知，12.设函数其中将的最小值f(x)记为g(t)（1）求g(t)的表达式；（2）若当时，恒成立，其中k为正数，求的k取值范围第四十页，编辑于星期一：八点四十二分。第三节函数的单调性基础梳理定义域局部任意1.定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间I

A.如果对于区间I内的任意两个值,当时,都有

,那么就说f(x)在区间I上是单调增函数(或单调减函数)；I称为y=f(x)的单调增区间（或单调减区间）.注意:(1)函数的单调性是在

内的某个区间上的性质,是函数的

性质;(2)必须是对于区间I内的

两个值,即当时,总有

或

.第四十一页，编辑于星期一：八点四十二分。2.如果函数y=f(x)在某个区间上是

或

,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的

.增函数减函数单调区间.增函数3.设复合函数，其中u=g(x)，A是定义域的某个区间，B是映射g：的象集。（1）若在A上是增（或减）函数，而在B上也是增（或减）函数，则函数在A上是

。（2）若在A上是增（或减）函数，而在B上是减（或增）函数，则函数在A上是

。减函数典例分析题型一函数单调性的判断与证明【例1】判断下列函数的单调性,并证明.第四十二页，编辑于星期一：八点四十二分。分析先判断单调性,再用单调性的定义证明.常用方法有：(1)采用通分进行变形,（2）采用因式分解进行变形，(3)采用分子有理化的方式进行变形.0,)f(x-)f(x

0,1)1)(x(x)x-2(x0x-x0,1x0,1x,xx-1.1)1)(x(x)x-2(x1x2-1x2)f(x-)f(x,xx1-),(-1,xx

)(-1,x+12f(x)(1)212112122121211221212121>>++\>>+>+\<<++=++=<<+¥Î+¥=即则有且、任取利用定义证明如下上为减函数在函数Q解第四十三页，编辑于星期一：八点四十二分。第四十四页，编辑于星期一：八点四十二分。学后反思对于给出具体解析式的函数,判断或证明其在某区间上的单调性问题,可以结合定义(基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断)求解.可导函数则可以利用导数求解.举一反三1.已知a>0,f(x)=是R上的偶函数。（1）求实数a的值；（2）求证：f(x)在（0，+∞）上为增函数。解析（1）依题意，对一切x∈R,有f(-x)=f(x).即不可能恒为0，∵a>0,∴a=1第四十五页，编辑于星期一：八点四十二分。(2)证明：方法一（定义法）设=，，∴f(x)在(0,+∞)上为增函数。

∴f(x)在(0,+∞)上为增函数。方法二（导法):∵a=1,x∈(0,+∞),第四十六页，编辑于星期一：八点四十二分。题型二求函数的单调区间【例2】求函数f(x)=x+的单调区间分析利用定义法或导数法.解方法一:首先确定定义域:{x|x≠0},∴在(-∞,0)和(0,+∞)两个区间上分别讨论.任取x1、x2∈(0,+∞)且x1<x2,则要确定此式的正负只要确定的正负即可.这样,又需要判断大于1还是小于1.由于x1、x2的任意性,考虑到要将(0,+∞)分为(0,1)与(1,+∞).第四十七页，编辑于星期一：八点四十二分。(1)当x1、x2∈(0,1)时,<0,∴f(x2)-f(x1)<0,f(x)为减函数；(2)当x1、x2∈(1,+∞)时,>0,∴f(x2)-f(x1)>0,f(x)为增函数.同理，(3)当x1、x2∈(-1,0)时,f(x)为减函数;(4)当x1、x2∈(-∞,-1)时,f(x)为增函数.方法二:f′(x)=1-,令f′(x)>0,得x2>1,即x>1或x<-1;令f′(x)<0,得x2<1,即-1<x<1.∴f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),单调减区间为(-1,0)和(0,1).第四十八页，编辑于星期一：八点四十二分。学后反思利用定义时,要注意的正负判断,一般可设x1=x2,再令得x1=±1,从而找到分界点.复合函数y=f[g(x)]的单调规律是“同增异减”,即f(x)与g(x)单调性相同时,f[g(x)]为增函数；单调性不同时,f[g(x)]为减函数.举一反三2.已知函数(a>b>0),求f(x)的单调区间.解析在定义域内任取则第四十九页，编辑于星期一：八点四十二分。分析根据题目中所给的关系式，通过赋值、变形、构造,寻找与的关系.解(1)证明：设,，………………2′,……………5′∴f(x2)>f(x1),即f(x)是R上的增函数……………6′第五十页，编辑于星期一：八点四十二分。∵a>b>0,∴b-a<0,,只有当时，函数才单调.当时，∴f(x)在（-∞,-b）和(-b,+∞)上是单调减函数.题型三单调性的应用【例3】（14分)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3-m-2)<3.第五十一页，编辑于星期一：八点四十二分。(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3,…………8′∴原不等式可化为……..10′∵f(x)是R上的增函数,∴………………..12′解得-1<m<,故解集为(-1,)….…14′学后反思(1)抽象函数的单调性问题一般是给出一个关于抽象函数的关系式,再给出函数的某些信息或性质.处理这种问题的关键是根据所求,利用所提供的信息,对关系式进行恰当的赋值、变形、构造,不断产生新的信息；同时,式子的形式也不断接近目标的形式.但要注意函数定义域不能扩大或缩小.第五十二页，编辑于星期一：八点四十二分。(2)第二步是利用第一步的结果,去求进一步的问题,往往是通过合理变形,根据单调性脱去“f”,得到具体的代数式,然后进行求解或论证.举一反三3.（创新题）设函数f(x)是R上的增函数，令F(x)=f(x)-f(2-x),F(x)在R上为增函数，且求证：.证明：

∵F(x)在R上是增函数，.第五十三页，编辑于星期一：八点四十二分。易错警示

【例】求函数的单调区间，并指出在每一单调区间上的单调性。错解设，则在区间上为减函数，在区间上为增函数。

错解分析由于忽略了对数函数的定义域，而求错函数的单调区间。正解由，解得函数的定义域为（-∞，1）∪（3，+∞).设，则又，故由二次函数的性质知：当时，为增函数，当时，为减函数。第五十四页，编辑于星期一：八点四十二分。因为函数定义域（-∞，1）∪（3，+∞）且为减函数，所以函数在（-∞，1）为增函数，在（3，+∞）上为减函数。考点演练10.已知是定义f(x)在上的奇函数，若时，，判断函数在上的单调性。解析任取=第五十五页，编辑于星期一：八点四十二分。∴f(x)在上是增函数解析当x≥1或x≤-1时，当-1<x<1时，有函数图像可知，函数的减区间为函数的增区间为11.作出函数的图像，并根据函数图像写出函数的单调区间。第五十六页，编辑于星期一：八点四十二分。12.已知函数（1）若，求a求的值；（2）求证：不论为何实数，f(x)总为增函数解析（1）由得，解得a=1(2)证明：∵f(x)的定义域为R，设则∴不论a为何实数，f(x)总为增函数第五十七页，编辑于星期一：八点四十二分。第四节函数的奇偶性与周期性基础梳理1.定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为A，如果对于意

,都有

,则称函数y=f(x)为奇函数;如果对于任意x∈A,都有

,则称函数y=f(x)为偶函数.x∈Af(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)2.图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象

;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象

.关于原点对称关于y轴对称第五十八页，编辑于星期一：八点四十二分。3.一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足

,那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，所有周期中存在最小的一个正数叫做f(x)的最小正周期.f(x+T)=f(x)典例分析题型一判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性.第五十九页，编辑于星期一：八点四十二分。分析先求函数的定义域,然后判断f(x)与f(-x)之间的关系.解(1)由,得定义域为[-1,1),关于原点不对称,∴f(x)为非奇非偶函数.

∴f(x)既是奇函数又是偶函数.第六十页，编辑于星期一：八点四十二分。∴f(x)为偶函数.(4)当x<0时,-x>0,则f(-x)==f(x)；当x>0时,-x<0,则f(-x)=-f(x).综上所述,对任意的x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.学后反思判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域.若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变).第六十一页，编辑于星期一：八点四十二分。举一反三1.设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，下列函数：②④必为奇函数的是

。（填写序号)解析设y=g(x)，根据奇偶函数的定义判断,②④g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x).答案②④

题型二奇偶性的应用【例4】定义在R上的函数(a＞0)为奇函数，求的值.第六十二页，编辑于星期一：八点四十二分。分析利用奇函数的定义域求出a.解方法一：由条件知f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,∴化简得，

∴a=4,

方法二：∵f(x)是奇函数且f(x)在x=0处有意义，∴f(0)=0,∴=0,即,解得a=4,∴第六十三页，编辑于星期一：八点四十二分。学后反思方法一是利用“若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)对任意x恒成立”，“对任意x恒成立”是解题关键.方法二要注意“f(x)在x=0处有意义”这个条件,这种方法很常用，需要熟练掌握.举一反三2.已知函数是奇函数,又f(1)=2,f(2)<3求a,b,c的值.解析由f(-x)=-f(x)，得-bx+c=-(bx+c),∴c=0.由f(1)=2,得a+1=2b,而f(2)<3,得,解得-1<a<2.又a∈Z,∴a=0或a=1.第六十四页，编辑于星期一：八点四十二分。若a=0,则b=Z,应舍去;若a=1,则b=1∈Z.∴a=1,b=1,c=0.题型三函数的周期性【例3】（14分)(2010·日照调研)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,对任意实数x,都有f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=.(1)求证:直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴;(2)当x∈[1,5]时,求函数f(x)的解析式.分析通过f(x+2)=-f(x),与-f(x)=f(-x)的转化,来求函数的对称轴与周期，技巧在于通过换元进行转化.求函数f(x)的解析式要利用函数的周期性进行转化,转化到知道函数解析式的区间上.第六十五页，编辑于星期一：八点四十二分。解(1)证明：因为f(x)为奇函数,所以-f(x)=f(-x),所以f(x+2)=f(-x)，……2′所以f[(x-1)+2]=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x)………………………..4′所以直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴…………….6′(2)因为f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的函数…………8′又当-1≤x≤1时,f(x)=;当x∈[1,3]时,x-2∈[-1,1],所以f(x)=f(x-2+2)=-f(x-2)=;…………..10′第六十六页，编辑于星期一：八点四十二分。当x∈(3,5]时,x-4∈(-1,1],所以f(x)=f(x-4+4)=f(x-4)=………...………...12′所以当x∈[1,5]时,f(x)的解析式为学后反思函数的奇偶性经常与函数的其他性质,如单调性、周期性、对称性结合起来考查.因此,在复习过程中应加强知识间的联系举一反三第六十七页，编辑于星期一：八点四十二分。3.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π,且当时，f(x)=sinx,求的值.解析：由题意可得易错警示【例】判断函数f(x)=x=0的奇偶性。第六十八页，编辑于星期一：八点四十二分。错解∵当x<0时，f(-x)==;当x>0时，f(x)==∴f(x)是奇函数。错误分析尽管对定义域的每一个x≠0,f(-x)=-f(x)成立，但当x=0时，f(0)=2≠0,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数。

正解f(x)既不是奇函数也不是偶函数考点演练10.（2009山东改编）定义在R上的函数f(x)满足f(x)=求f(2009)的值第六十九页，编辑于星期一：八点四十二分。解析当x>0时，∵f(x)=f(x-1)-f(x-2),

∴f(x+1)=f(x)-f(x+1),两式相加得：f(x+1)=-f(x-2)即f(x+3)=-f(x),故f(x+6)=-f(x+3)=f(x),∴f(2009)=f(6×344+5)=f(5)=f(-1)==111.已知定义在实数集R上的偶函数的最小值为3，且当x≥0时，f(x)=(a为常数）。求函数f(x)的解析式解析：因为是增函数，所以当x≥0时，也是增函数，又因为f(x)是偶函数，所以=f(0)=3+a又f(x)的最小值是3,故3+a=3，即a=0当x<0时，因为-x>0，所以f(x)=f(-x)=综上，f(x)=

第七十页，编辑于星期一：八点四十二分。12.已知函数f(x)=(1)求f(x)的定义域；（2）求证：f(x)是奇函数；（3）判断函数y=f(x)与y=2的图像是否有公共点，并说明理由。解析：（1）由，得-1<x<1

∴函数的定义域为(-1,1)(2)证明：∵f(-x)=,-f(x)==∴f(-x)=-f(x)对定义域内的一切x恒成立∴函数y=f(x)是奇函数(3)两个函数图像有公共点，设f(x)=2,即，即，即∴两个函数y=f(x)与y=2的图像有公共点.第七十一页，编辑于星期一：八点四十二分。第五节函数的图象基础梳理基本函数:一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等.对于这些函数的图象应非常清楚描点法作图:通过

、

、

三个步骤,画出函数图象.用描点法在选点时往往选取

,有时也可利用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性)画出图象图象变换法作图:一个函数的图象经过适当的变换,得到另一个与之有关的函数图象,在高考中要求学生掌握三种变换:

、

、

.函数的图象函数图象的作法列表描点连线特殊点平移变换伸缩变换对称变换第七十二页，编辑于星期一：八点四十二分。2.平移变换(1)y=f(x)的图象

得到函数y=f(x+a)的图象.(2)y=f(x-b)(b>0)的图象可由y=f(x)的图象

得到.对于左、右平移变换,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀:

.而对于上、下平移，则比较容易掌握，原则是上加下减，但要注意的是加、减指的是

.如:h>0,y=f(x)±h的图象可由y=f(x)的图象

而得到.3.对称变换(1)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于

对称;(2)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于

对称;(3)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于

对称;向左平移a(a>0)个单位向右平移b个单位左加右减.在f(x)整体上向上(下)平移h个单位y轴x轴原点第七十三页，编辑于星期一：八点四十二分。(4)与y=f(x)的图象关于

对称;(5)y=|f(x)|的图象:可将y=f(x)的图象

;(6)y=f(|x|)的图象:可先作出y=f(x),当x≥0时的图象,再利用偶函数的图象关于

对称,作出y=f(x)(x≤0)的图象.4.伸缩变换(1)y=Af(x)(A>0)的图象,可将y=f(x)的图象上所有点的纵坐标

,

不变而得到;(2)y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)的图象上所有点的横坐标

,

不变而得到.直线y=x在x轴下方的部分关于x轴翻转180°,其余部分不变y轴原来的A倍横坐标变为原来的纵坐标第七十四页，编辑于星期一：八点四十二分。典例分析题型一作图【例1】作出下列函数的图象.

分析首先将简单的复合函数化归为基本的初等函数,然后由基本初等函数图象变换得到.解(1)首先化简解析式得利用二次函数的图象作出其图象,如图①.第七十五页，编辑于星期一：八点四十二分。(2)因,先作出的图象,将其图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位,即得的图象,如图②.(3)先作出征性的图象,再将其图象向下平移一个单位,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得y=的图象,如图③.第七十六页，编辑于星期一：八点四十二分。学后反思已知函数解析式研究函数图象问题,主要是将解析式进行恰当的化简,然后与一些常见函数的图象相联系,通过各种图象变换(主要有平移变换、伸缩变换、对称变换)等得到要求的函数图象.另外,还要善于借助解析式发现函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等),以此帮助分析函数图象的特征.(4)先作出y=2x的图象,再将其图象在y轴左边的部分去掉,并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y=2|x|的图象,再将y=2|x|的图象向右平移一个单位,即得y=2|x-1|的图象,如图④.第七十七页，编辑于星期一：八点四十二分。举一反三

已知函数y=xf′(x)的图象如图所示（其中f′（x）是函数f(x)的导函数），画出y=f(x)的大致图象.答案：第七十八页，编辑于星期一：八点四十二分。题型二识图【例2】为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为(a为常数),如图所示.据图中提供的信息,回答下列问题:(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为

;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,第七十九页，编辑于星期一：八点四十二分。学生方可进教室,那么药物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教室分析根据函数图象求出函数图象所过的特殊点是求解的关键.解(1)当0≤t≤0.1时,设y=kt,由图象知y=kt过点(0.1,1),则1=k×0.1,k=10,∴y=10t(0≤t≤0.1).由过点(0.1,1)得第八十页，编辑于星期一：八点四十二分。∴a=0.1,∴(2)由，得t≥0.6,故至少需经过0.6小时.学后反思函数图象是函数的另外一种表达形式.图象可以形象地描述函数的性质,但具体到有关具体量的分析还必须借助函数的解析式以及代数的有关知识解决.第八十一页，编辑于星期一：八点四十二分。举一反三2.已知函数的图象如图,求b的取值范围解析:方法一:观察f(x)的图象,可知函数f(x)的图象过原点,即f(0)=0,得d=0,

又f(x)的图象过(1,0),∴0=a+b+c，①

又∵f(-1)<0,∴-a+b-c<0，②

①+②得b<0,故b的取值范围是(-∞,0).方法二:f(x)=0有三个根0,1,2,,∴b=-3a,第八十二页，编辑于星期一：八点四十二分。∵当x>2时,f(x)>0,从而有a>0,∴b<0.即b的取值范围是(-∞,0).题型三函数的图象变换【例3】(2008·青岛模拟改编)已知函数则下列函数的图象错误的是_____第八十三页，编辑于星期一：八点四十二分。解:f(x)的图象如图所示,f(x-1)的图象由f(x)的图象向右平移1个单位,故①正确;f(-x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,故正②确;分析先画出分段函数的图象,再根据函数图象间的变换逐一判断.第八十四页，编辑于星期一：八点四十二分。由y=f(|x|)的奇偶性可知,保留f(x)在y轴右侧的图象,左侧图象由右侧图象关于y轴对称得到,故③正确;|f(x)|的图象是将f(x)图象在x轴下方部分关于x轴翻转180°,其余部分不变,故④错.学后反思这类问题主要考查函数图象的几种变换(如平移变换、对称变换、伸缩变换等),有时也考查函数的奇偶性及互为反函数的两个函数的图象问题.复习时应加强对y=f(x)与y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)、y=f(|x|)、y=|f(x)|及y=af(x)+b的相互关系的理解.第八十五页，编辑于星期一：八点四十二分。

3.在同一平面直角坐标系中,函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于直线y=x对称,现将y=g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位再沿y轴向上平移1个单位,所得图象是由两条线段组成的折线(如图所示),求函数f(x)的表达式.

解析：设图中的函数为

则举一反三第八十六页，编辑于星期一：八点四十二分。题型四函数图象综合问题【例4】(14分)如图,点A、B、C都在函数的图象上,它们的横坐标分别是a、a+1、a+2.又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a).(1)求函数f(a)和g(a)的表达式;(2)比较f(a)与g(a)的大小,并证明你的结论.第八十七页，编辑于星期一：八点四十二分。分析(1)充分利