圆的一般方程　课件-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程一、创设情境引入新课前面我们已经讨论了圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，现将其展开可得：x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式。请大家思考一下，形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆？二、探究本质得新知探究一：圆的一般方程观察（1）与（2），回答下面的问题（1）圆心(2，3)，半径为2的圆的标准方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.（2）二元二次方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0与x2＋y2－2x＋4y＋6＝0二、探究本质得新知问题1：（1）中的圆的方程能否化为二元二次方程的形式？提示：可以，可化为：x2＋y2－4x－6y＋9＝0.探究一：圆的一般方程二、探究本质得新知提示：对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，它表示圆心为(1，－2)，半径为2的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，由于不存在点(x，y)满足这个方程，所以它不表示任何图形．探究一：圆的一般方程问题2：（2）中两个二元二次方程各表示什么图形？二、探究本质得新知探究一：圆的一般方程圆的一般方程（1）圆的一般方程的概念：当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．当D2＋E2－4F=0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点.当D2＋E2－4F<0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.二、探究本质得新知探究一：圆的一般方程（2）圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为.

三、举例应用，掌握定义例1.

（1）（多选题）下列二元二次方程表示圆的方程的是

（

）A.x2+y2-x+y+1=0

B.x2+y2-x+y-1=0C.x2+y2+2x-4y-6=0

D.x2+y2-6x-8y+15=0（2）方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆？若能，求出圆心和半径。三、举例应用，掌握定义【解析】（1）选BCD.对于A，由x2+y2-x+y+1=0，得

,所以不表示任何图形；对于B，由x2+y2-x+y-1=0，得

表示圆的方程；对于C，由x2+y2+2x-4y-6=0，得(x+1)2+(y-2)2=11表示圆的方程；对于D，由x2+y2-6x-8y+15=0，得(x-3)2+(y-4)2=10表示圆的方程.三、举例应用，掌握定义（2）由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，所以D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m＝2时，D2＋E2－4F＝0，它表示一个点，当m≠2时，D2＋E2－4F>0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝＝|m－2|.三、举例应用，掌握定义例2.圆经过A(4，2)，B(-1，3)，C(2，4)三点，求此圆的方程．三、举例应用，掌握定义【解析】设过三点的圆的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，将三点的坐标代入圆的方程得：即

，解得

，所以经过该三点的圆的方程为：.三、举例应用，掌握定义三、举例应用，掌握定义四、学生练习，加深理解1.圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为(

)A．(1，－1)

B.C．(－1,2)D.四、学生练习，加深理解【解析】选D.将圆的方程化为标准方程，得＋(y＋1)2＝，所以圆心为.四、学生练习，加深理解2.直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(

)A．－1

B．1C．3D．－3

【解析】选B.因为圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1,2)，所以3x＋y＋a＝0过点(－1,2)，即－3＋2＋a＝0，所以a＝1.四、学生练习，加深理解3.如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则有(

)A．D＋E＝0B．D＝E

C．D＝FD．E＝F【解析】选B.由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，故有－＝－，即D＝E.四、学生练习，加深理解4.若点(1,2)在圆x2＋y2－ax－2y＋2＝0外，则实数a的取值范围是

.

【解析】若x2＋y2－ax－2y＋2＝0表示圆，则(－a2)＋(－2)2－4×2＞0，解得a＜－2或a＞2.若点(1,2)在圆x2＋y2－ax－2y＋2＝0外，则12＋22－a－2×2＋2＞0，解得a＜3，所以实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2,3)．答案：(－∞，－2)∪(2,3)四、学生练习，加深理解5.求过点(－1,1)，且圆心与已知圆x2＋y2－6x－8y＋15＝0的圆心相同的圆的方程．【解析】设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又圆x2＋y2－6x－8y＋15＝0的圆心为(3,4)，依题意得解此方程组，