2021-2022学年四川省凉山市青神中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2021-2022学年四川省凉山市青神中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下面四个命题中的真命题是

A．命题“"x?R,均有x2?3x?2≥0”的否定是:“$x?R,使得x2?3x?2≤0”

B．命题“若x2=1,则x=1”的否命题为：“若x2=1,则x11”C．已知平面向量=(2,?1),=(x,3)，则//的充要条件是x=?6

D．“命题púq为真”是“命题pùq为真”的充分不必要条件参考答案：C略2.在区间上随机取一个数，则事件：“”的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，则公差d等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出公差d．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，∴，解得a1=7，d=﹣2，∴公差d等于﹣2．故选：B．4.函数的定义域是（

）A．[1，＋∞)B.

C.

D.参考答案：D略5.设函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的（

）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B不能推出是奇函数，但若是奇函数且定义域为，则，∴“”是“”为奇函数的必要不充分条件．6.已知函数f（x）=sin（ωx+）+sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π，则(

) A．f（x）为偶函数 B．f（x）在上单调递增 C．x=为f（x）的图象的一条对称轴 D．（，0）为f（x）的图象的一个对称中心参考答案：D考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和差的正弦公式将函数f（x）进行化简，利用函数的周期求出ω即可得到结论．解答： 解：f（x）=sin（ωx+）+sin（ωx﹣）=f（x）=sin（ωx+）+sin（ωx+﹣）=sin（ωx+）﹣cosωx+）=2sin（ωx+﹣）=2sinωx．∵f（x）的最小正周期为π，∴T=，解得ω=2，即f（x）=2sin2x．∵f（）=2sin（2×）=2sinπ=0，∴（，0）为f（x）的图象的一个对称中心．故选：D点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用两角和差的正弦公式求出ω是解决本题的关键．7.抛物线C1：y2=4x，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右焦点，则2a+b的最大值为(

) A． B．5 C． D．2参考答案：A考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点（1，0），即有c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα（0＜α＜），运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．解答： 解：抛物线C1：y2=4x的焦点为（1，0），即有双曲线的c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα（0＜α＜），则2a+b=2cosα+sinα=（cosα+sinα）=sin（α+θ）（其中tanθ=2，θ为锐角），当α+θ=时，2a+b取得最大值，且为．故选A．点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系，运用三角换元和正弦函数的值域是解题的关键．8.有一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．48π B．36π C．24π D．12π参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个圆锥，代入圆锥表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个圆锥，底面直径为6，底面半径r=3，母线长l=5，故其表面积S=πr（r+l）=24π，故选：C．9.设，分别为双曲线的左、右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，则此双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的xR，都有f（2+x）=－f（x），且当时x∈[0，1]时，则方程在[－1，5]的所有实根之和为

A．0

B．2

C．4

D．8参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数k,对定义域中的任意，等式＝＋恒成立．现有两个函数，，则函数、与集合的关系为

参考答案：12.函数在R上为奇函数，且，则当，

．参考答案：13.抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于,两点，若，则．参考答案：14.在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，点满足，且，则线段在轴上的投影长度的最大值为

．参考答案：，即，则三点共线，，所以与同向，∴，设与轴夹角为，设点坐标为，为点在轴的投影，则在轴上的投影长度为.当且仅当时等号成立．则线段在轴上的投影长度的最大值为．15.已知函数的图像与x轴恰有两个公共点，则实数＝_______________。参考答案：－2或2略16.的展开式中项的系数为_______.参考答案：.试题分析：由二项式定理可知中，，令，可知的系数为，令，可知的系数为，故的展开式中的系数为，故填：.考点：二项式定理.17.的展开式中项的系数为20，则实数 ．参考答案：试题分析：二项式展开式的通项为，令，解得，故展开式中项的系数为，解得.考点：二项式定理．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为，满足，且，（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积。参考答案：解：（Ⅰ）∵2cos2B＝8cosB－5，∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.∴4cos2B－8cosB＋3＝0，即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.

解得cosB＝或cosB＝(舍去)．∵0<B<π，∴B＝.（Ⅱ）法一：∵a＋c＝2b.∴，化简得a2＋c2－2ac＝0，解得a＝c.∴△ABC是边长为2的等边三角形．∴△ABC的面积等于

法二：∵a＋c＝2b，∴sinA＋sinC＝2sinB＝2sin＝.∴sinA＋sin(－A)＝，∴sinA＋sincosA－cossinA＝.

化简得sinA＋cosA＝，∴sin(A＋)＝1.∵0<A<π，∴A＋＝.∴A＝，C＝，又∵a=2∴△ABC是边长为2的等边三角形.∴△ABC的面积等于.略19.（本题满分15分）设函数.（Ⅰ）试问函数f(x)能否在x=－1时取得极值？说明理由；（Ⅱ）若a=－1，当x∈［-3,4］时，函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，求c的取值范围.参考答案：解：（1）由题意f′(x)=x2-2ax-a，假设在x=-1时f(x)取得极值，则有f′(-1)=1+2a-a=0,∴a=-1，…………4分而此时,f′(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0，函数f(x)在R上为增函数，无极值.这与f(x)在x=-1有极值矛盾，所以f(x)在x=-1处无极值.……6分（2）设f(x)=g(x)，则有x3-x2-3x-c=0，∴c=x3-x2-3x,设F(x)=x3-x2-3x,G(x)=c，令F′(x)=x2-2x-3=0,解得x1=-1或x=3.列表如下：x-3(-3,-1)-1(-1,3)3(3,4)4F′(x)

+0-0+

F(x)-9增减-9增-由此可知:F(x)在(-3,-1)、(3,4)上是增函数，在(-1,3)上是减函数.……………10分当x=-1时，F(x)取得极大值；当x=3时，F(x)取得极小值F(-3)=F(3)=-9，而.如果函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点，所以或c=-9.………………15分20.如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．（1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？（2）在条件（1）下，设输液开始后x（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为h（单位：厘米），已知当x=0时，h=13．试将h表示为x的函数．（注：1cm3=1000mm3）参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）设每分钟滴下k（k∈N*）滴，由圆柱的体积公式求出瓶内液体的体积，再求出k滴球状液体的体积，得到156分钟所滴液体体积，由体积相等得到k的值．（2）由（1）知，每分钟滴下πcm3药液，当液面高度离进气管4至13cm时，x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的底面积乘以（13﹣h），当液面高度离进气管1至4cm时，x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的体积与小圆柱底面积乘以（4﹣h）的和，由此即可得到瓶内液面与进气管的距离为h与输液时间x的函数关系．【解答】解：（1）设每分钟滴下k（k∈N*）滴，则瓶内液体的体积cm3，k滴球状液体的体积cm3，∴，解得k=75，故每分钟应滴下75滴．（2）由（1）知，每分钟滴下πcm3药液，当4≤h≤13时，xπ=π?42?（13﹣h），即，此时0≤x≤144；当1≤h＜4时，xπ=π?42?9+π?22?（4﹣h），即，此时144＜x≤156．综上可得．【点评】本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，解答的关键是对题意的理解，然后正确列出体积相等的关系式，属中档题．21.几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于

.

参考答案：

6

略22.已知函数,（1）当时,若有个零点,求的取值范围；（2）对任意,当时恒有,求的最大值,并求此时的最大值。参考