高三数学三角公式复习及重要化简技巧综合

三角公式复习及重要化简技巧综合.一、两角和与差的三角函数二、二倍角公式(升幂公式)(降次公式)sin()=sincoscossincos()=coscossinsin-+tan()=tantan

1tantan

-+asin+bcos=a2+b2sin(+)cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2sin2=2sincostan2=2tan1-tan2sin2=1-cos22cos2=1+cos22.公式选择1.从函数的名称考虑切割化弦(有时也可考虑“弦化切”),异名化同名(使函数的名称尽量统一);2.从角的特点考虑异角化同角,抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等);3.从变换的需要考虑达到分解、化简或将条件与结论挂钩等目的;4.尽量避开讨论.常用技巧与方法1.变换常数项将常数变换成三角函数;2.变角对命题中的某些角进行分拆，从而使命题中的角尽量统一;3.升幂或降次运用倍、半角公式进行升幂或降次变换,从而改变三角函数式的结构;4.运用代数变换中的常用方法因式分解、配方、凑项、添项、换元等等..三角函数式化简目标1.项数尽可能少;2.三角函数名称尽可能少;3.角尽可能小和少;4.次数尽可能低;5.分母尽可能不含三角式;6.尽可能不带根号;7.能求出值的求出值..典型例题1.求

sin220º+cos250º+sin20ºcos50º

的值.=.3412解法1原式=(sin20º+

cos50º)2+cos250º

3412=[sin(50º-30º)+

cos50º]2+cos250º

34=(sin50ºcos30º)2+cos250º

34思维精析

从角入手,化异角为同角.=.34解法2原式=sin2(50º-30º)+cos250º+sin(50º-30º)cos50º=(sin50ºcos30º-cos50ºsin30º)2+cos250º+(sin50ºcos30º-cos50ºsin30º)cos50º=

(sin250º+cos250º)34思维精析

从形入手,配成完全平方..2.已知

<<<

,cos(-)=,sin(+)=-,求

sin2

的值.2

43131235解:

∵

<<<

,2

43∴0<-<,<+<.4

23∴sin(-)=,cos(+)=-,45135∴sin2=sin[(+)+(-)]=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=-+(-)351312451356556=-.∴sin(-)>0,cos(+)<0,角的变换：把所求的角转化成已知条件给出的角！.3.已知sin+cos=2sin,

sincos=sin2,

求证:

2cos2=cos2.证:

∵sin+cos=2sin,∴(sin+cos)2=4sin2.∴1+2sincos=2(1-cos2).∵sincos=sin2,∴1+2sin2=2(1-cos2).∴1+1-cos2=2(1-cos2).∴2cos2=cos2..4.已知

sin=msin(2+),其中

m0,2+k(kZ),求证:tan(+)=tan.1-m

1+m

证:

∵sin=msin(2+),∴m=.sin

sin(2+)=tan(+).∴tan=tan1-m

1+m

sin(2+)+sin

sin(2+)-sin

=tan2sin(+)cos

2cos(+)sin

∴tan(+)=tan.1-m

1+m

.另证:

∵sin=msin(2+),∴sin[(+)-]=msin[(+)+].∴sin(+)cos-cos(+)sin

整理得

(1-m)sin(+)cos=(1+m)cos(+)sin.=m[sin(+)cos+cos(+)sin].∴tan(+)=tan.1-m

1+m

4.已知

sin=msin(2+),其中

m0,2+k(kZ),求证:tan(+)=tan.1-m

1+m

.5.已知

tan,cot

是关于

x

的方程

x2-kx+k2-3=0

的两实根,且

3<<

,求

cos(3+)+sin(+)

的值.72解:由已知

k2-3=tancot=1,

∴

k2=4.∴k=tan+cot>0.∵3<<

,

是第三象限角,72∴tan+cot=2.∴tan=1.∴=3+

.4

∴cos(3+)+sin(+)=cos

+sin4

4

=2.=cos(6+

)+sin(4+

)4

4

.6.已知

tan(-)=

,tan=-

,且

,(0,),求

2-

的值.1217解:由已知

tan=tan[(-)+]1217-1217×1+=13=

.∴tan(2-)=tan[(-)+]1213+1213×1-

==1.∵tan>0,tan<0,,(0,),∴0<<

,<<.2

2

∴-<-<0.又

tan(-)>0,∴-<-<-.2

∴-<2-<0.

2-=-.43∴由

tan(2-)=1

知注亦可由

tan<1

得0<<

.4

∴0<2<

.2

∴-<2-<0..7.计算-+64sin220º.sin220º3cos220º1sin220ºcos220º3cos220º-sin220º解:原式=

+64sin220ºsin220ºcos220º(

3cos20º+sin20º)(

3cos20º-sin20º)=+64sin220ºsin240º16sin80ºsin40º=

+64sin220º=32cos40º+64sin220º=32(1-2sin220º)+64sin220º=32..解法1

∵sin22+sin2cos-cos2=1,∴4sin2cos2+2sincos2=2cos2.1.已知

sin22+sin2cos-cos2=1,(0,),求

sin,tan

的值.2

∴cos2(2sin2+sin-1)=0cos2(2sin-1)(sin+1)=0.∵(0,),2

∴cos20,sin+10.∴2sin-1=0.∴sin=.12∴=.6

∴tan=.33故

sin,tan

的值分别为

和.3312课后练习.2.已知

cos=-,cos(+)=

,且

(,),+(,2),求

.13122617

223232323解:

∵(,),+(,2),∴(0,).267

2又由已知得

sin=-,sin(+)=-,135∴cos=cos[(+)-]=cos(+)cos+sin(+)sin

=

(-)+(-)(-/p>

2267

2=-.22∴=.43.3.已知

sin(

+2)sin(

-2)=,(

,),求

2sin2+tan

-cot-1

的值.2

4

4

144

解:由已知=sin(

+2)sin(

-2)144

4

=sin(

+2)cos(

+2)4

4

=

sin(

+4)2

12=

cos4.12∴cos4=

.12∵(

,),4

2

∴=

.125

∴2sin2+tan-cot-1=-cos

-2cot6565=-cos2-2cot2=+2332=3.52=cos+2cot6

6

.4.已知

tan(

+)=

.(1)求

tan

的值;(2)求

的值.sin2-cos2

1+cos2

124

12解:(1)∵tan(

+)=

,

且

tan(

+)=,4

4

1+tan

1-tan

1+tan

1-tan

12∴

=.解得

tan=-.13(2)原式=2sincos-cos2

1+2cos2-12sin-cos

2cos

=12=tan-13=