2021-2022年高中数学第二章推理与证明3数学归纳法二作业含解析新人教版选修2-220220413113

PAGEPAGE7数学归纳法基本练习夯基一、选择题1．(2015·海南市文昌中学高二期中)用数学归纳法证明eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)>1(n∈N＋)，在验证n＝1时，左边的代数式为()A.eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．1[答案]A[解析]在eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)>1(n∈N＋)中，当n＝1时，3n＋1＝4，故n＝1时，等式左边的项为：eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)，故选A.2．(2015·郑州市登封高二期中)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f(1－an＋2,1－a)(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为()A．1 B．1＋a＋a2C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3[答案]B[解析]因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.3．(2015·承德市存瑞中学高二期中)用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝eq\f(1,3)n(4n2－1)过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式左边增加的项为()A．(2k)2 B．(2k＋3)2C．(2k＋2)2 D．(2k＋1)2[答案]D[解析]用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝eq\f(1,3)n(4n2－1)的过程中，第二步，假设n＝k时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝eq\f(1,3)k(4k2－1)，那么，当n＝k＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2＝eq\f(1,3)k(4k2－1)＋(2k＋1)2，等式左边增加的项是(2k＋1)2，故选D.4．对于不等式eq\r(n2＋n)≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，eq\r(12＋1)≤1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即eq\r(k2＋k)<k＋1，则n＝k＋1时，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2)＝eq\r(k＋22)＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案]D[解析]n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立[答案]C[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2[答案]C[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.7．(2014～2015·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为()A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.eq\f(2k＋1,k＋1) D．eq\f(2k＋3,k＋1)[答案]B[解析]n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，n＝k＋1时，等式左边为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)，右边为2k＋1·1·3·…·(2k－1)(2k＋1)．左边需增乘2(2k＋1)，故选B.二、填空题8．(2015·长春外国语学校高二期中)观察下列等式，照此规律，第n个等式为________________________．1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…[答案]n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2[解析]将原等式变形如下：1＝1＝122＋3＋4＝9＝323＋4＋5＋6＋7＝25＝524＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72…由图知，第n个等式的左边有2n－1项，第一个数是n，是2n－1个连续整数的和，则最后一个数为n＋(2n－1)－1＝3n－2，右边是左边项数2n－1的平方，故有n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…(3n－2)＝(2n－1)2.9．用数学归纳法证明：1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)，第一步应验证的等式是________________．[答案]1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)[解析]当n＝1时，等式的左边为1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，右边＝eq\f(1,2)，∴左边＝右边．三、解答题10．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．[证明](1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝eq\f(3,2)；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝eq\f(7,4).由此猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1)(n∈N*)(2)证明：①当n＝1时，a1＝1结论成立，②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时结论成立，即ak＝eq\f(2k－1,2k－1)，当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak∴ak＋1＝eq\f(2＋ak,2)＝eq\f(2k＋1－1,2k)，∴当n＝k＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n∈N*，an＝eq\f(2n－1,2n－1)成立．拓展应用提能一、选择题11．(2015·吉林市实验中学高二期中)当n＝1,2,3,4,5,6时，比较2n和n2的大小并猜想()A．n≥1时，2n>n2 B．n≥3时，2n>n2C．n≥4时，2n>n2 D．n≥5时，2n>n2[答案]D[解析]当n＝1时，21>12，即2n>n2；当n＝2时，22＝22，即2n＝n2；当n＝3时，23<32，即2n<n2；当n＝4时，24＝42，即2n＝n2；当n＝5时，25>52，即2n>n2；当n＝6时，26>62，即2n>n2；…猜想当n≥5时，2n>n2；下面我们用数学归纳法证明猜测成立，(1)当n＝5时，由以上可知猜想成立，(2)设n＝k(k≥5)时，命题成立，即2k>k2，当n＝k＋1时，2k＋1＝2·2k>2k2＝k2＋k2>k2＋(2k＋1)＝(k＋1)2，即n＝k＋1时，命题成立，由(1)和(2)可得n≥5时，2n>n2；故当n＝2或4时，2n＝n2；n＝3时，2n<n2；n＝1及n取大于4的正整数时，都有2n>n2.故选D.[点评]此题考查的知识点是整数问题的综合应用，解答此题的关键是从特例入手猜测探究，然后用数学归纳法证明猜测成立．12．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.()A．2π B．πC.eq\f(π,2) D．eq\f(π,3)[答案]B[解析]将k＋1边形A1A2…AkAk＋1的顶点A1与Ak相连，则原多边形被分割为k边形A1A2…Ak与三角形A1AkAk＋1，其内角和f(k＋1)是k边形的内角和f(k)与△A1AkAk13．(2014～2015·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3 B．(k＋2)3C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3[答案]A[解析]因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．14．(2014·合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝()A．26 B．27C．28 D．29[答案]D[解析]观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.二、填空题15．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为__________．[答案]当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析]当n＝1时，左≥右，不等式成立，∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．16．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________________.[答案]5[解析]当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.三、解答题17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n条直线将它们所在的平面分成eq\f(n2＋n＋2,2)个区域．[证明](1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成eq\f(k2＋k＋2,2)块不同的区域，命题成立．当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成eq\f(k2＋k＋2,2)块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．从而k＋1条直线将平面分成eq\f(k2＋k＋2,2)＋k＋1＝eq\f(k＋12＋k＋1＋2,2)块区域．所以n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．(1)用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·eq\f(nn＋1,2)(n∈N*)．(2)求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．[解析](1)①当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×eq\f(1×1＋1,2)＝1，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·eq\f(kk＋1,2).则当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·eq\f(kk＋1,2)＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k(k＋1)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(k＋1－\f(k,2)))＝(－1)k·eq\f(k＋1[k＋1＋1],2).∴当n＝k＋1时，等式也成