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文档简介

重积分的应用教学目的：学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力．教学内容：曲面面积的计算公式；物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式；引力的计算公式．基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式．曲面的面积质心转动惯量引力求由方程所确定的曲面S

的面积对区域D

作分割T,一、曲面和面积曲面面积的计算公式先计算Ai

的面积.所以若曲面方程为则该曲面的面积S

为说明:

则曲面面积S

：如果曲面方程为如果曲面方程为则有公式：例1求圆锥在圆柱体内那一部分的面积.解所求面积的曲面的方程为所以例2xyzo11xyzo1.例2xyzo11DS.......例2aaxz

y0设圆柱面为考虑第一卦限例3Daa..xz

y0aaxoyD.....设圆柱面为.例3ayxzo例4xyzoDS=共同的D:..例42xzyo例5xzy2问题：曲面向哪个坐标面投影？.o只能向xoz平面投影例5xzy2得z=2.Dxz..o其中，例5xzy2Dxz....得z=2.o.其中，例5设空间有n个质点,由力学知,分别位于其质量分别为该质点组的质心坐标为二、质心设空间物体V,有连续密度函数采用“分割,近似代替,求和,取极限”可导出其质心坐标公式.求V

的质心坐标.将V

分成

n

小块,将第k块看作质量集中于点的质心坐标.例如,此质点组的质心坐标就近似该物体的质点,其质量为在第i块上任取一点令各小区域的最大直径即得其中m

为物体V

的质量，同理可得

则其中V

表示区域V

的体积若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(SD

为D

的面积)则则它的重心坐标为其面密度为

例6.求位于两圆

和之间均匀薄片的质心.解:

利用对称性可知而质点A

对于轴l

的转动惯量J

惯量可用积分计算.质点组的转动惯量等于各质点和A

与转动轴l

的距离r

的平方的乘积,即

三、转动惯量的转动惯量之和,故连续体的转动等于A

的质量m

设在该物体位于(x,y,z)处取一微元，因此该物体对z轴的转动惯量:对z

轴的转动惯量为其体积记为dV

，质量为

到z

轴的距离为从而为空间物体V

的密度函数，求V

对

z

轴的转动惯量.类似可得:对x

轴的转动惯量对y

轴的转动惯量对原点的转动惯量一般说来，若V

中的点(x,y,z)到转动轴l

的距离为则转动惯量为对坐标平面的转动惯量分别为对xy

平面的转动惯量对yz

平面的转动惯量对xz

平面的转动惯量如果物体D

是平面薄片,

面密度为

则转动惯量的表达式是二重积分.一般说来，若D

中的点(x,y)到转动轴l

的距离为则转动惯量为例7求密度均匀的圆环D

对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量解设圆环D

为密度为ρ，则D

中任一点(x,y)与转轴的距离为于是转动惯量例8.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.设薄片的密度为ρ，则求密度为的物体V

对物体外质量为1的的单位质点A

的引力在该物体位于(x,y,z)处取一微元，其体积记为dV

，质量为

对质点A

的引力为设A

点的坐标为四、引力该引力在坐标轴上的投影

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