专题08 立体几何（原卷版）

专题08立体几何一、单选题1．（2021·广东高三期中）在正方体中，下列直线与成60°角的是（）A． B． C． D．2．（2021·广东龙岗·高三期中）如图，在中，，，为的中点，将沿折起到的位置，使得二面角为，则三棱锥的体积为（）A． B．4 C． D．23．（2021·广东高三期中）中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，弧AD长度为弧BC长度的3倍，且，则该曲池的体积为（）A． B． C． D．4．（2021·广东江门·高三阶段练习）已知三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且，分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则两点间距离的最小值为（）A． B． C． D．5．（2021·广东·高三阶段练习）已知异面直线、所成的角为，其公垂线段的长度为，长度为的线段的两端点分别在直线、上运动，则中点的轨迹为（）（注：公垂线段指与异面直线垂直且相交的线段）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线6．（2021·广东东莞·高三阶段练习）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（）A． B． C． D．二、多选题7．（2021·广东·高三阶段练习）如图，等腰直角三角形的斜边为正四面体的侧棱，，直角边绕斜边旋转一周，在旋转的过程中，下列说法正确的是（）A．三棱锥体积的最大值为B．三棱锥体积的最小值为C．存在某个位置，使得D．设二面角的平面角为，且，则8．（2021·广东惠州·高三阶段练习）如图所示，从一个半径为（单位：）的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面（舍弃阴影部分）折叠成一个正四棱锥，则以下说法正确的是（）A．四棱锥的体积是B．四棱锥的外接球的表面积是C．异面直线与所成角的大小为D．二面角所成角的余弦值为9．（2021·广东·金山中学高三期中）已知直三棱柱中，，，为的中点．点满足，其中，则（）A．对时，都有B．当时，直线与所成的角是30°C．当时，直线与平面所成的角的正切值D．当时，直线与相交于一点，则10．（2021·广东福田·高三阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（）A．三棱锥的体积为2B．平面C．异面直线EF与AG所成的角的余弦值为D．过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是11．（2021·广东顺德·高三阶段练习）如图，在正方体中，点E，F分别为，BC的中点，设过点E，F，的平面为，则下列说法正确的是（）A．为等边三角形；B．平面交正方体的截面为五边形；C．在正方体中，存在棱与平面平行；D．在正方体中，不存在棱与平面垂直；12．（2021·广东广雅中学高三阶段练习）已知正方体的棱长为2，动点在正方形内，则（）A．若，则三棱锥的的外接球表面积为B．若平面，则不可能垂直C．若平面，则点的位置唯一D．若点为中点，则三棱锥的体积是三棱锥体积的一半13．（2021·广东·高三阶段练习）已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，M为AC的中点，，，且，则（）A．平面ACD B．平面ABCC．O到AC的距离为 D．二面角的正切值为14．（2021·广东·高三阶段练习）为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②.则下列结论正确的是（）A．经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为B．平面平面ADEC．直线AD与平面DEF所成的角为D．球面上的点离球托底面DEF的最小距离为15．（2021·广东·高三阶段练习）在长方体中，，，是线段上的一动点，则下列说法中正确的是（）A．平面B．与平面所成角的正切值的最大值是C．的最小值为D．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长是16．（2021·广东·高三阶段练习）在正方体中，下列直线或平面与平面平行的是（）A．直线 B．直线 C．平面 D．平面17．（2021·广东化州·高三阶段练习）如图1，直角梯形ABCD中，，，，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使二面角A-BE-C是直二面角，并连接AC，AD得到四棱锥A-BCDE，如图2.M，N分别是图2中BC，AD的中点则下列四个结论中正确的是（）A．平面BCDE B．平面ABEC． D．18．（2021·广东·高三阶段练习）如图的正方体中，棱长为2，点是棱的中点，点在正方体表面上运动.以下命题正确的有（）A．侧面上不存在点，使得B．点到面的距离与点到面的距离之比为C．若点满足平面，则动点的轨迹长度为D．若点到点的距离为，则动点的轨迹长度为19．（2021·广东·高三阶段练习）设是给定的平面，、是不在内的任意两点，则（）A．在内存在直线与直线平行 B．在内存在直线与直线相交C．在内存在直线与直线垂直 D．存在过直线的平面与垂直20．（2021·广东·华南师大附中高三阶段练习）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则下列结论正确的是（）A．直线DB1与平面AEF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．三棱锥A1−AEF的体积等于21．（2021·广东东莞·高三阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，下列说法正确的是（）A．对任意点P，平面B．三棱锥的体积为C．线段DP长度的最小值为D．存在点P，使得DP与平面所成角的大小为22．（2021·广东·顺德一中高三阶段练习）如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是（）A．平面PB1D⊥平面ACD1B．A1P∥平面ACD1C．异面直线A1P与AD1所成角的范围是D．三棱锥D1­APC的体积不变三、填空题23．（2021·广东·高三阶段练习）已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的内切球的体积为_______24．（2021·广东·金山中学高三期中）正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为__________．25．（2021·广东龙岗·高三期中）已知正方体的棱长为，点为中点，点､在四边形内（包括边界），点到平面的距离等于它到点的距离，直线平面，则的最小值为___________.26．（2021·广东·高三阶段练习）在三棱锥中，和都是边长为的正三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为____________.27．（2021·广东·高三阶段练习）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为______．28．（2021·广东江门·高三阶段练习）已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图的面积为，则该圆锥的高为___________.29．（2021·广东·高三阶段练习）已知正四面体的棱长为4，点为该四面体表面上的动点，若是该四面体的内切球的一条动直径，则的取值范围是________.30．（2021·广东·华南师大附中高三阶段练习）在正三棱锥V—ABC内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于__________．31．（2021·广东·顺德一中高三阶段练习）等腰三角形ABC腰长为3，底边BC长为4，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为2，此时四面体ABCD外接球表面积为____.四、解答题32．（2021·广东湛江·高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，点是棱的中点.（1）证明：平面平面.（2）若求二面角的余弦值.33．（2021·广东惠州·高三阶段练习）如图所示的多面体是由一个直四棱柱被平面所截后得到的，其中，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.34．（2021·广东·湛江二十一中高三阶段练习）如图，在三棱柱中，平面，为的中点，交于点，，.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.35．（2021·广东·高三阶段练习）如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥.（1）求证：平面平面；（2）若为的中点，求二面角的余弦值.36．（2021·广东·金山中学高三期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，．点为棱的中点．

（1）证明：平面；（2）若为棱上一点，满足，求二面角的正弦值．37．（2021·广东·高三阶段练习）如图所示的几何体由三棱锥和正四棱锥拼接而成，平面，，，，，O为四边形对角线的交点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．38．（2021·广东·高三阶段练习）已知四边形满足，，是的中点，将沿着翻折成，使平面平面，为的中点．（1）求四棱锥的体积；（2）求平面与平面所成角的正弦值．39．（2021·广东龙岗·高三期中）已知矩形满足，，点为的中点，连接､，交于点.将沿折起，点翻折到新的位置，得到一个四棱锥.（1）证明：平面；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.40．（2021·广东·高三阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，M为AB的中点，N为的中点，P是与的交点．（1）证明：；（2）在线段上是否存在点Q，使得∥平面？若存在，请确定Q的位置；若不存在，请说明理由．41．（2021·广东顺德·高三阶段练习）某商品的包装纸如图1，其中菱形的边长为3，且，，，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．（1）证明底面；（2）设点T为BC上的点，且二面角的正弦值为，试求PC与平面PAT所成角的正弦值．42．（2021·广东实验中学高三阶段练习）如图，在长方体中，点分别在棱上，且，.（1）证明:在同一个平面上;（2）设直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，判断与的大小关系，并说明理由.43．（2021·广东广雅中学高三阶段练习）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，E为的中点．（1）在侧棱上找一点F，使平面，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值．44．（2021·广东·高三阶段练习）如图，在棱长为3的正方体中，E，F分别为棱AB，CD上一点，且.（1）证明：平面C1DE.（2）求BC1与平面C1DE所成角的正弦值.45．（2021·广东·高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点.（1）若，求证：平面；（2）当直线与平面所成角最大时，求三棱锥的体积.46．（2021·广东·高三阶段练习）如图1，在平面五边形中，，且，，，，将沿折起，使点到的位置，且，得到如图2所示的四棱锥.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.47．（2021·广东·高三阶段练习）如图，在四棱锥中，二面角是直二面角，为等腰直角三角形的斜边，，，，为线段上的动点.（1）当时，证明：平面；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.48．（2021·广东化州·高三阶段练习）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：平面MND⊥平面PCD；（2）求点P到平面MND的距离．49．（2021·广东江门·高三阶段练习）如图1，已知五边形，其中是边长为2的等边三角形，为等腰梯形，且，现沿着其中一条对角线将向上翻折成四棱锥，设为棱的中点.（1）如图2，当点在底面的射影恰好在线段上时，求证：平面EAB；（2）如图3，当四棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.50．（2021·广东·高三阶段练习）如图，已知四边形为正方形，平面，，，，为线段上的动点，为的中点.（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值的取值范围.51．（2021·广东·高三阶段练习）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形﹒再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并做答：（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值﹒条件①：；条件②：；条件③：平面平面﹒注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分﹒52．（2021·广东·华南师大附中高三阶段练习）如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为矩形，SAD为等腰直角三角形，SA=SD=，AB=2，F是BC的中点，二面角S−AD−B的大小等于120°.（1）在AD上是否存在点E，使得平面SEF⊥平面ABCD，若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由.（2）求直线SA与平面SB