专题02 求三角形面积的范围与最值-【题型专项突破系列之解三角形】备战高考数学大题保分专练(全国通用)(解析版)

专题02解三角形之求三角形面积的范围与最值一、解答题(共40题)1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）若，求b；（2）求△ABC面积的最大值．【答案】（1）2；（2）3【分析】（1）根据题意利用正弦定理可求b的值；（2）由余弦定理和基本不等式可求bc的最大值，进而可求△ABC面积的最大值．【详解】解：（1），，由正弦定理，可得．（2），由余弦定理知，，当且仅当取“”；面积的最大值为．2．已知函数.（1）求的最大值和最小正周期T；（2）在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，且，求面积的最大值.【答案】（1）最大值为，；（2）.【分析】（1）先将函数化简整理，得到，根据正弦函数的性质，即可求出最大值与最小正周期；（2）先由，求出；再根据余弦定理与基本不等式，得到，由三角形面积公式，即可求出结果.【详解】（1）因为，所以当时，取得最大值；最小正周期；（2）因，由（1）得，即，所以；又为三角形内角，所以；因为，由余弦定理可得：，即，当且仅当时，取等号；所以；即面积的最大值为.3．已知的内角，，的对应边分别为，，，的面积为，且.（1）若，求；（2）若，求的最大值【答案】（1）（2）【分析】（1）利用面积公式，结合已知条件，即可容易求得结果；（2）利用已知条件求得角，结合余弦定理以及基本不等式，求得的最大值，即可容易求得三角形面积的最大值.【详解】（1）由题可得，即，从而得.（2）由及得，而，故可得，故，则，即，所以，即，当且仅当时取得等号.所以的面积最大值为.4．已知中，角，，的对边分别为，，，.（1）若，求的值；（2）若的平分线交于点，且，求的面积的最小值.【答案】（1）（2）【分析】（1）解法一：根据条件、及正弦定理，化为角的等式，再由正弦差角公式，展开化简即可求得的值；解法二，根据余弦定理求得、的等量关系，即可再由余弦定理求得，结合同角三角函数关系式求得，进而求得的值.（2）根据及三角形面积公式，代入即可得等式，结合基本不等式即可求得的最小值，进而得的面积的最小值.【详解】（1）解法一：由及正弦定理知，则，则，得解法二：∵，∴，则，∴，∴.（2）的平分线交于点，则，∴，则，由，得，当且仅当时等号成立，则.5．如图所示，五边形中，，，，.（1）求证：；（2）若，，求面积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）在中，利用正弦定理求出角即可求出.（2）设，，则，再利用余弦定理以及基本不等式可得，代入三角形的面积公式即可.【详解】（1）在中，由正弦定理，故，故或150°，而，故，故，故，则，故；（2）在中，，设，，则，又，即，则，当且仅当时等号成立，故，即面积的最大值为.6．如图，在四边形中，，.（1）求的长；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求解.（2）在中，利用余弦定理以及基本不等式可得，再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）由题可知，.在中，；（2）在中，，可得，又由，有，，故面积的最大值为.7．三角形中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若为的中点，且，求的最大值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据正弦定理，由题中条件，得到，进而可求出结果；（2）根据题中条件，得到，求得，根据余弦定理，以及基本不等式，求出，进而可求出三角形面积的最大值.【详解】（1）由，根据正弦定理可得，因为角，为三角形内角，所以，∴，∴，∴，（2）因为为的中点，且，所以，则，即，又由余弦定理可得，则，所以，当且仅当时，等号成立，∴，∴，即的最大值的.8．的内角、、的对边分别为、、，.（1）求；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，代入计算可得角；（2）已知边和角，余弦定理求的最大值，代入三角形面积公式可求出面积的最大值.【详解】解：（1），.，即.，..，.（2）由（1）知：，又，，.，，解得..当时，由得，.面积的最大值为.9．中，三内角，，所对的边分别为，，，已知，为锐角．（1）求的大小；（2）若为边上靠近点的三等分点，且，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用二倍角公式以及切化弦的思想化简可得，进而可得结果；（2）分别运用余弦定理结合可得，在中运用余弦定理将用表示，通过基本不等式得出的最大值，进而可得结果.【详解】（1）因为，所以，因为为锐角，，所以，所以，.（2）在中，由余弦定理可得，同理在中，，由于，化简得：，在中，由，所以，即，即，当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为.10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）设D为边AC上一点，，，求面积的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】根据正弦定理进行边角互化，再由代入可求得，由角的范围可得答案；由三角形的面积公式化简可得，再由基本不等式，得，由此可求得面积的最小值.【详解】解：由正弦定理，得,由得，由，得，，所以，由，得；由知，又，所以，所以，化简得，由基本不等式，得，即(当且仅当时取等号)．所以面积(当且仅当时取等号)，故面积的最小值为.11．在中，角所对的边分别为，已知，且．（1）求角；（2）延长至，使得，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为．【分析】（1）由正弦定理得，根据得，即可求解，再检验即可得结果；（2）利用余弦定理结合面积公式，运用二次函数最值公式求解即可．【详解】解：（1）已知，由正弦定理得，，得所以：，故，整理得，故或．由于，所以满足条件，故；（2）延长至，使得，所以，由于，所以，所以，当时，的最大值为．12．在中，分别为内角所对的边，若.（1）求A；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为.【分析】（1）由正弦定理统一为角，利用三角恒等变化即可求解；（2）由余弦定理及均值不等式求出，即可求出面积的最值.【详解】（1）∵由题意可得，，可得（2），由余弦定理，可得，，可得，当且仅当b=c时等号成立，即面积的最大值为.13．在中，角、、所对的边分别是、、，．（1）求角：（2）若的周长为10，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由，利用三角函数的基本关系和两角和的正弦公式，结合正弦定理求解；（2）由，结合余弦定理，再利用基本不等式求得的范围，再代入三角形面积公式求解．【详解】（1）由，又，所以，因为,故．（2）由已知可得，消去，可得，得（当且仅当时,取等号）解得（舍）或，故，，则面积的最大值为．14．已知函数的图象与函数的图象关于轴对称.（1）求函数的单调递减区间；（2）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先由对称性得到的解析式，要求函数的递减区间，即求的递增区间，利用整体角求解即可；（2）由解得，要求面积的最大值，先转化为求的最大值，再结合余弦定理与重要不等式求积的最值.【详解】（1）由己知可得，由，解得：，所以的单调递减区间是.（2）由，即，所以（舍）或，故，又由余弦定理可得：，即，当且仅当时取到等号，于是有，所以面积的最大值为.15．在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题设条件和利用正弦定理，化简得到，进而求得的大小.（2）由余弦定理得到，结合基本不等式，求得，利用面积公式，即可求解.【详解】（1）由题意，在中，满足，利用正弦定理得，即，即，可得，因为，可得，所以，即，又因为，所以.（2）在中，由余弦定理，可得，所以，即，当且仅当时取等号，所以的面积，所以面积的最大值为.16．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.【分析】(I)同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，解方程可得的值，结合0<A<π,可求A的值.(Ⅱ)法一；由题设及(I)利用三角形的面积公式得，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求c，由题意可求范围，利用正切函数的性质可求c的范围，进而可求△ABC面积的取值范围.法二:可以用余弦定理c用表示a,利用锐角三角形两边平方和大于第三边，可以求得c的范围，进而即可求解ABC面积的取值范围.【详解】（Ⅰ）由，可得；即，解得；由于，故.（Ⅱ）法一：由题设及（Ⅰ）知的面积.由正弦定理得.由于为锐角三角形，故，，由（Ⅰ）知，所以，故，从而，因此，面积的取值范围是.法二：可以用余弦定理用表示，利用锐角三角形两边平方和大于第三边，可以求得的范围.由余弦定理，，即，又因为三角形为锐角三角形，所以，代入可解得，此时也满足两边之和大于第三边，从而可求得面积的取值范围是.17．在中，角A，B，C的对边分别为，，点D在边AC上，且，.（1）求角B的大小；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理将化为，再利用三角函数恒等变换公式可求出角B的大小；（2）由可得，从而得，进而有，化简后利用基本不等式可求出，从而可求出面积的最大值，或设，则，，在和中利用余弦定理可得，，从而得，在中由余弦定理可得，从而可得，用基本不等式可求出，从而可求出面积的最大值【详解】解：（1）由及正弦定理，得，又，所以，即，因为，，所以，又，得.（2）方法1：因为点D在边AC上，且，所以，，即，即，由，可得，即，当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为，当且仅当，即，时等号成立.方法2.设，则，，在中，由余弦定理，得，即；①同理，在中，由余弦定理，得，②由①②消掉，得.③在中，由余弦定理，得，即，④把④代入③，得，由，可得，即，所以面积的最大值为，当且仅当，即，时等号成立.18．在中，角所对的边分别为（1）若，点在边上，，求的外接圆的面积；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为.【分析】（1）由已知得，再利用正弦定理得，可得，在中由正弦定理得可得，在中由余弦定理得，设外接圆的半径为，可得外接圆的面积；（2）由（1）和余弦定理可得，所以，利用基本不等式可得答案.【详解】（1）由得：，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，又，所以，，在中，由正弦定理得，所以，因为，所以，在中，，由余弦定理得：设外接圆的半径为，由可得：，所以外接圆的面积.（2）由（1）可知，又，由余弦定理可得：，即，因为，所以，从而（当且仅当时取等号），所以面积，从而面积的最大值为.19．如图，在平面四边形ABCD中，为正三角形，．（1）若的面积为，求AB的值；（2）当的值为多少时，四边形ABCD的面积最大？【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用面积公式可求，再结合余弦定理可求求AB的值；（2）先利用余弦定理求，结合面积公式可求四边形ABCD的面积，利用辅助角公式化简前者何时取面积的最大值.【详解】（1）因为的面积为，所以，又，所以，即，当为锐角时，，在中，由余弦定理得，，所以；当为钝角时，，在中，由余弦定理得，，所以；（2）由（1）知，，，因为为正三角形，所以，故四边形ABCD的面积为，因为，所以当，即时，四边形ABCD的面积最大．20．已知平面四边形内接于圆（1）若，求所对的圆弧AD的长；（2）求四边形面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）连接，可得，在中,由的余弦定理可解出，在中利用正弦定理可得圆的半径，则可得到弦长AD对应的圆心角，利用，即可得出所对的圆弧AD的长.（2）在中，由的余弦定理可得，再由计算即可的得出四边形面积的最大值.【详解】（1）连接又，在中由余弦定理，，即又的外接圆半径为正三角形，所对的圆弧（2）在中，由余弦定理即．又当且仅当时等号成立所以四边形面积的最大值为．21．已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）若的外接圆的直径为，且锐角满足，求面积的最大值.【答案】（1），；（2）最大值为.【分析】（1）化简得到正弦型函数，把看成一个整体，画出的图像，得到图像的增区间，反解出的范围即可.（2）根据正弦定理，；根据，可以解出；根据，只需要解出的取值范围即可.而，代入已知条件化简，再利用三角函数可求得最大值.【详解】（1）令，解得单调递增区间为，；（2），解得.又令外接圆半径为，则，所以，又因为，所以(当且仅当)所以，所以面积最大值为.22．已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，.（1）求的值；（2）若，求面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先由题中条件，结合三角恒等变换得到，再由为锐角三角形，即可求出角；（2）根据正弦定理，先得到，，再由三角形面积公式得到，利用三角恒等变换将其化简整理，结合三角函数的性质，即可求出取值范围.【详解】（1）由得，即，因为为锐角三角形，，所以，则.（2）因为，由正弦定理可得，则，，所以面积，因为为锐角三角形且，所以，则，所以，因此.23．的内角、，的对边分别为、、，，．（1）求角的大小；（2）求外接圆面积的最小值．【答案】（1）或；（2）或.【分析】（1）利用诱导公式结合二倍角的降幂公式可求得，结合角的取值范围可求得角的值；（2）求得，利用余弦定理结合基本不等式求出的最小值，进而可求得结果.【详解】（1）因为，则，所以，即，故，因为，则，所以，或，解得或；（2）设外接圆半径为，由正弦定理可得，所以外接圆面积.①当时，由余弦定理可得：因为，所以，因此外接圆面积的最小值．②当时，由勾股定理可得，因此外接圆面积的最小值．综上所述，外接圆面积的最小值为或.24．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B的大小；（2）如图，在AC边的右侧取点D，使得，若，求当为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求其最大值．【答案】（1）；（2）当时，四边形ABCD的面积取得最大值．【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后求解出的值，则的大小可求；（2）设，利用余弦定理表示出，再分别表示出，将四边形的面积表示为的函数，利用辅助角公式以及三角函数的性质求解出面积的最大值以及对应的大小.【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理得，所以，所以．因为，所以．又，故．（2）由（1）知，且，所以△ABC为等边三角形．设，则在△ACD中，由余弦定理得，所以，四边形ABCD的面积．因为，所以．当，即时，．所以当时，四边形ABCD的面积取得最大值．25．在平面四边形中，，，.（1）求的长；（2）求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由利用二倍角公式解方程可得的值，再在中，用余弦定理可求得的长；（2）在中运用余弦定理，结合基本不等式可得的最大值，进而可得面积的最大值及四边形面积的最大值.【详解】（1）由，得，解得，，在中，由余弦定理得，故；（2）在中，由余弦定理得，即，当且仅当时，等号成立，故，又，故面积的最大值为.26．在中，角所对的边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，将边化为角，然后运用两角和正弦公式逆用进行化简，即可求出角的大小；（2）运用余弦定理和不等式计算出的最值，然后运用三角形面积公式即可求出面积最大值.【详解】（1）已知，则由正弦定理可得，即，即，即，，，又，则（2）由余弦定理可得，即，即，当且仅当时，等号成立，，的面积为.的面积的最大值为.27．在中，内角所对边分别为，若.（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）先用同角三角函数的平方关系将式子进行化简，进而用正弦定理进行角化边，最后用余弦定理解得答案；（2）用面积公式，结合正弦定理即可得到答案.（1）∵，∴，∴，由正弦定理得，又由余弦定理得，∴，由于，所以.（2）∵是锐角三角形，得到.由正弦定理可知，，由三角形面积公式有：又因故故取值范围是28．在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若的周长为，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【分析】（1）在中，利用余弦定理化角为边，可得，再结合，即得解；（2）由余弦定理以及可得，再利用面积公式即得解（1）由余弦定理，得，即，则，所以又，所以．（2）由题意，，根据余弦定理，得，则，所以，当且仅当时取“＝”．所以，面积，故面积的最大值为．29．在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若边上的中线，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦的二倍角公式及降幂公式可得，再利用正弦定理边化角求解即可.（2）利用向量的中线公式得平方后化简得，即可求面积的最大值.【详解】（1）依题意有.∴，，∴，又解得，，∴.（2），，即∴，当且仅当时成立.故面积的最大值为30．在中，设所对的边分别为，，，.（1）求的值；（2）已知分别在边上，且，求面积的最大值.【答案】（1），；（2）最大值.【分析】（1）首先求出，再利用正弦定理求出，即可得解；（2）由，求出，再由正弦定理求出，即可得到，再由利用基本不等式计算可得；【详解】解：（1）因为，，所以，，由正弦定理，可化为，即解得，所以，；（2），，解得.因为，所以，的面积，当且仅当时，取得最大值.31．如图，在平面五边形中，，，．

（1）求的值；（2）求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）在中，由正弦定理求出，进而可以解；（2）先用余弦定理求出，再用面积公式即可.【详解】（1）在中，由正弦定理得所以因为所以为锐角，所以.所以，所以.（2）在中，由余弦定理得，即，当且仅当时等号成立，所以.所以.32．的内角，，的对边分别是，，，设.（1）若，求；（2）若，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，根据三角形内角和定理和正弦定理，求得，结合余弦定理，即可求解；（2）由（1）和余弦定理，求得，利用面积公式得到，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）因为，由正弦定理，可得，即即，因为，所以，可得，又因为，可得，由余弦定理，得，因为，所以.（2）由（1）知，由余弦定理，得，所以的面积，当时，取得最大值.33．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角A的大小；（2）若点D是BC的中点，且，求△ABC的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理的角化边公式化简得到，结合余弦定理解出角的大小；（2）利用两边平方得到,再利用基本不等式得出最大值.【详解】（1）由题意得（2）,当且仅当时，等号成立.故△ABC的面积的最大值是34．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知.（1）求角C；（2）若，且为锐角三角形，求面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理角花边可得，由余弦定理可得，即可得解；（2）因为是锐角三角形，由（1）知，得到，，，即可得解.【详解】（1）由正弦定理得，∴，由余弦定理可知，，又∵，∴.（2）因为是锐角三角形，由（1）知，得到，∴，∴.正弦定理得，，.三角形面积公式有：.又因，故，∴.故的取值范围是.35．中，的面积为.（1）求（2）若为的中点，分别为边上的点（不包括端点），且，求面积的最小值.【答案】（1）;（2）【分析】（1）利用求出，再利用余弦定理求即可；（2）设，在中，利用正弦定理表示出，在中，利用正弦定理表示出，再将的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值.【详解】解：（1）因为所以，又，所以，由余弦定理得：，所以；（2）设，则，在中，由正弦定理得：，即，所以，在中，由正弦定理得：，由（1）可得，则，所以，所以，当时，，故的面积的最小值为.36．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，S为的面积，．（1）证明：；（2）若，且为锐角三角形，求S的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）利用三角形面积公式表示S，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可．（2）结合三角形ABC为锐角三角形，判定tanC的范围，利用tanC表示面积，结合S的单调性，计算范围，即可．【详解】(1)证明：由，即，，，，，，，，，，，，，B，，．(2)解：，，．且，，，为锐角三角形，，，，为增函数，．37．如图，在中，角的对边分别为,.（1）求角的大小；（2）若为外一点，，求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将条件转化为角的关系再利用三角形内角关系、诱导公式及两角和正弦公