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文档简介
2005年一般高等学校招生全国一致考试(浙江卷)数学(理工类)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每题5分,共50分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的。123n()1.limn2nA.2B.1C.1D.022.点(1,-1)到直线xy10的距离是()A.1B.3C.2D.322222|x1|2,|x|1,13.设f(x)1则f[f()]()2,1|x|1,2x14C.925A.B.5D.213414.在复平面内,复数i3i)2对应的点位于()(11iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的睁开式中,含x3的项的系数是()A.74B.121C.-74D.-1216.设α、β为两个不一样的平面,l、m为两条不一样的直线,且l,m.有以下两个命题:①若//,则l//m;②若lm,则.那么()A.①是真命题,②是假命题B.①是假命题,②是真命题C.①②都是真命题D.①②都是假命题7.设会合A{(x,y)|x,y,1xy是三角形的三边长},则A所表示的平面地区(不含边界的暗影部分)是()yyyy0.50.50.50.5o0.5xo0.5xo0.5xo0.5xA.B.C.D.8.已知k4,则函数ycos2xk(cosx1)的最小值是()A.1B.-1C.2k1D.2k19.设f(n)2n1(nN),P{1,2,3,4,5},Q{3,4,5,6,7}.记P{nN|f(n)P},Q{nN|f(n)Q},则(PQ)(QP)()A.{0,3}B.{1,2}C.{3,4,5}D.{1,2,6,7}10.已知向量a≠e,|e|=1满足:对随意tR,恒有|a-te|≥|a-e|.则()A.a⊥eB.⊥(a-)C.e⊥(a-)D.(+)⊥(a-)aeeaee第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共4小题,每题4分,共16分.把答案填在题中横线上.11.函数yxR,且x2)的反函数是.(xx212.设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点,DE⊥AB于E(如图).现将△ADE沿DE折起,使二面角A—DE—B为45°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,
DCMNAEB则M、N的连线与AE所成角的大小等于.x2y2x轴的直线与双曲线订交于M、13.过双曲线1(a0,b0)的左焦点且垂直于a2b2N两点,以MN为直径的圆恰巧过双曲线的右极点,则双曲线的离心率等于.14.从会合{O,P,Q,R,S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不可以重复).每排中字母O、Q和数字0至多只出现一个的不一样排法种数是(用数字作答).三、解答题:本大题共6小题,每题14分,共84分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.已知函数f(x)3sin2xsinxcosx.(Ⅰ)求f25)的值;(6(Ⅱ)设(0,),f( )13的值.42,求sin216.已知函数f(x)和g(x)的图象对于原点对称,且f(x)x22x.(Ⅰ)求函数g(x)的分析式;(Ⅱ)解不等式g(x)f(x)|x1|.17.如图,已知椭圆的中心在座标原点,焦点
F1、F2在
x轴上,长轴
A1A2的长为
4,左准线l与x轴的交点为M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线l1:xm(|x|1),P为l1上的动点,使F1PF2最大的点P记为Q,求点Q的坐标(用m表示).l1lyPMA1F1oF2A2x18.如图,在三棱锥P—ABC中,ABBC,ABBCkPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC.(Ⅰ)求证OD//平面PAB;1(Ⅱ)当k时,求直线PA与平面PBC所成角的大小;2(Ⅲ)当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰巧为△PBC的重心?PDAoCB19.袋子A和B中装有若干个平均的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是1,从B3中摸出一个红球的概率为p.(Ⅰ)从A中有放回地摸球,每次摸出一个,有3次摸到红球即停止.(i)求恰巧摸5次停止的概率;(ii)记5次以内(含5次)摸到红球的次数为,求随机变量的分布列及数学希望E.(Ⅱ)若A、B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A、B中的球装在一同后,从中摸出一2求p的值.个红球的概率是,520.设点An(xn,0),Pn(xn.2n1)和抛物线Cn:yx2anxbn(nN),此中an24n1,xn由以下方法获得:x11,点P2(x2,2)在抛物线2n1C1:yx2xb1上,点A(x,0)到P的距离是A到C上的最短距离,,11211点Pn1(xn1,2n)在抛物线上Cn:yx2anxbn上,点An(xn,0)到Pn1的距离是An到Cn上点的最短距离.(Ⅰ)求x2及C1的方程;(Ⅱ)证明{xn}是等差数列.数学试题(理科)参照答案一.选择题:此题观察基本知识和基本运算。每题5分,满分50分。1)C(2)D(3)B(4)B(5)D(6)D(7)A(8)A(9)A(10)C二.填空题:此题观察基本知识和基本运算。每题4分,满分16分。(11)y2x°(13)2(14)8424(xR,且x1)(12)901x三.解答题此题主要观察三角函数的倍角公式、两角和的公式等基础知识和基本的运算能力。满分14分。解:(I)sin2512536,cos,262f(25)22525cos2563sin6sin066(II)3312x.f(x)cos2xsin222f()31313cossin24,222224sin110解得sin13516sin8(0,),sin0,135故sin8此题主要观察函数图象的对称、中点坐标公式、解不等式等基础知识,以及运算和推理能力。满分14分。解:(I)设函数yf(x)的图象上任一点Q(x0,y0)对于原点的对称点为P(x,y),x0x0,2x0x,则即点Q(x0,y0)在函数yf(x)的图象上,x0yy0y.0,2y22x,即y22x,故g(x)=x22x.xx(II)由g(x)f(x)|x1|可得。|2x2|x1|0当x1时,2x2x10此时不等式无解。当x1时2x2x101x12所以,原不等式的解集为[-1,1].2(17)此题主要观察椭圆的几何性质、椭圆方程,两条直线的夹角、点的坐标等基础知识,观察分析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。解:(I)设椭圆方程为x2y21(ab0),半焦距为c,则|MA1|a2a2b2a,c2aa2(ac),c|A1F1|ac由题意,得2a4,a2,b3,c1.222abc.22故椭圆方程为xy143(II)设P(m,y0),|m|1,当y00时,F1PF20,当y00时,0F1PF2PF1M,只要求tanF1PF2的最大值即可.2设直线PF1的斜率k1y0,直线PF2的斜率k2y0,m1m1tanF1PF2|k2k1|2|y0|2|y0|1.2221k1k2m1y02m211|y0|m当且仅当21|y0|时,F1PF2最大,Q(m,21),|m|1.mm此题主要观察空间线面关系、空间线面关系、空间向量的看法与运算等基础知识,同时观察空间想象能力和推理运算能力。满分14分。解:方法一:(I)O、D分别为AC、PC的中点。OD//PA又PA平面PAB.OD//平面PAB.(Ⅱ)ABBC,OAOCOAOBOC,又OP平面ABCPAPBPC.取BC中点E,连接PE,则BC平面POE.作OFPE于F,连接DF,则OF平面PBC,ODF是OD与平面PBC所成的角。又OD//PA,PA与平面PBC所成角的大小等于ODF。在RtODF中,sinODFOF210OD30PA与平面PBC所成的角为arcsin210.30(Ⅲ)由(Ⅱ)知,OF⊥平面PBC,∴F是O在平面PBC内的射影。D是PC的中点,若点F是PBC的重心,则B、F、D三点共线,直线OB在平面PBC内的射影为直线BD。OBPCPCBDPBBC,即K1。反之,当K1时,三棱锥OPBC为正三棱锥,在平面PBC内的射影为PBC的重心。方法二:OP平面ABC,OAOC,ABBC,OAOB,OAOP,OBOP.以O为原点,射线OP为非负z轴,成立空间直角坐标系Oxyz(如图),设ABa,则A(222a,0,0),B(0,a,0),C(a,0,0).222设OPh,则P(0,0,h)D为PC的中点,(21PA2a,0,h)a,0,h)(OD=42,又2,OD1OD//PAOD//平面PAB.PA2(Ⅱ)k12ah7,即PAa227PA(a,0,a),22可求得平面PBC的法向量n(1,1,1PAn),cosPA,n7|PA||n|设PA与平面PBC所成的角为,则sin|cos210PA,n|30PA与平面PBC所成的角为arcsin210
210.3030(Ⅲ)PBC2a,21OG(221的重心G(a,h),a,a,h)663663OG平面PBC.OGPB.又PB(0,2a,h)2OGPB1a21h20.h2a.PAOA2h2a,即k1.632反之,当k1时,三棱椎OPBC为正三棱锥,在平面PBC内的射影为PBC的重心。(19)此题主要观察互相独立事件同时发生的概率和随机变量的分布列、数学希望等看法,同时观察学生的逻辑思想能力。满分14分。解:(I)(i)C42(1)2(2)218.33381(ii)随机变量的取值为0,1,2,3.由n次独立重复试验概率公式P(k)Ckpk(1p)nk得nnP(0)C0(11)532,P(1)111)480,5243C53(124333P(2)C212(11)380,P(3)32802175( )32431243.381随机变量的分布列是0123P3280801724324324381的数学希望是E3208018021713124324324381381(Ⅱ)设袋子A有m个球,则袋子B中有2m个球。1m2mp由32,13得p.3m530(20)此题主要观察二次函数的求导、导数的应用、等差数列、数学概括法等基础知识,以及综合运用所学知识和解决问题的能力。满分14分。解:(I)由题意,得A1(1,0),C1:y27xb1x设点P(x,y)是C1是上任意一点,则|AP|(x1)2y2(x1)2(x27xb)211令f(x)(x1)2(x27xb)2,1则f'(x)2(x1)2(x27xb1)(2x7).'即2(x22由题意,得f(x2)0,1)2(x27x2b1)(2x27)0.又1上,2解得x23,b114.P2(x2,2)在C27x2b1x22故C1方程为yx7x14.设点P(x,y)是Cn上随意一点,令g(x)(xxn)2g'(x)2(xxn)2(x2anxbn)(2x由题意得g(xn1)0,即2(xn1
则|AnP|(xxn)2(x2anxbn)2an).xn
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