专题-圆锥曲线定值问题

PAGE5高三二轮——圆锥曲线中的“定值”问题概念与用法圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．基本解题数学思想与方法在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征．解答此类问题的基本策略有以下两种：1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关．2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关．题型示例一．证明某一代数式为定值：1、如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；解：设M（y,y0），直线ME的斜率为k(l>0)，直线MF的斜率为－k，直线ME方程为∴由，消解得；同理∴(定值)所以直线EF的斜率为定值▲利用消元法2、已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且EQ\O(AF,\S\UP8(→))＝λEQ\O(FB,\S\UP8(→))（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．证明EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))为定值解：由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由EQ\O(AF,\S\UP8(→))＝λEQ\O(FB,\S\UP8(→))，即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，所以EQ\b\lc\{(\a\al(－x\S\do(1)＝λx\S\do(2)①,1－y\S\do(1)＝λ(y\S\do(2)－1)②))将①式两边平方并把y1＝EQ\f(1,4)x12，y2＝EQ\f(1,4)x22代入得y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝EQ\f(1,λ)，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，抛物线方程为y＝EQ\f(1,4)x2，求导得y′＝EQ\f(1,2)x．所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y＝EQ\f(1,2)x1(x－x1)＋y1，y＝EQ\f(1,2)x2(x－x2)＋y2，即y＝EQ\f(1,2)x1x－EQ\f(1,4)x12，y＝EQ\f(1,2)x2x－EQ\f(1,4)x22．解出两条切线的交点M的坐标为(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，EQ\f(x\S\do(1)x\S\do(2),4))＝(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，－1)．所以EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))＝(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝EQ\f(1,2)(x22－x12)－2(EQ\f(1,4)x22－EQ\f(1,4)x12)＝0所以EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))为定值，其值为0．▲利用不变因素3、已知椭圆分别交于点。解：设。由，而为定值。▲利用辅助元解析几何中的定值问题是数学中的重要问题，求解这类问题需要综合应用解析几何和代数的相关知识与方法。以上几种思维策率是高中数学中常用到的。要注意体会。二．证明动直线过定点或动点在定直线上问题4、如图,椭圆的两焦点，与短轴两端点，构成为,面积为的菱形。（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于、两点(、不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆右顶点．求证:直线过定点,并求出该定点的坐标．解：椭圆的方程为（2）由，即设M，则有因为以为直径的圆过椭圆右顶点，所以，而代入并整得，化简整理得到均满足判别式大于0，所以当当三．探索曲线在某条件下某一代数式是否取定值5、已知一动圆M,恒过点F，且总与直线相切,（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（Ⅱ）探究在曲线C上,是否存在异于原点的两点,当时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.解：(1)因为动圆M,过点F且与直线相切,所以圆心M到F的距离等于到直线的距离。所以,点M的轨迹是以F为焦点,为准线的抛物线,且,所以所求的轨迹方程为(2)假设存在A,B在上, 所以,直线AB的方程:,即即AB的方程为:,即即:，令,得，所以,无论为何值,直线AB过定点(4,0)练兵场1、点P是椭圆上任一点，A、B是该椭圆上关于原点对称的两点，那么是否为定值？思考：把椭圆改成双曲线，结论是否仍然成立？2、过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，判断是否为定值，若是定值，求出该定值。3、已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于。求椭圆C的标准方程过椭圆的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，求证为定值