函数与导数-公开课教学设计

函数与导数一、单选题1．（2022·河南高二期末（理））中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期或战国初年.算筹记数的方法是：个位､百位､万位､…上的数按纵式的数码摆出；十位､千位､十万位､…上的数按横式的数码摆出，如可用算筹表示为.这个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则的运算结果用算筹表示为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用指数和对数运算化简，再利用算筹表示法判断.【详解】因为，用算筹记数表示为，故选：.2．（2022·山东日照·高三开学考试）国棋起源于中国，春秋战国时期已有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，后流传到欧美各国.围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现.围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各19条线段形成361个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜.围棋状态空间的复杂度上限为，据资料显示字宙中可观测物质原子总数约为，则下列数中最接近数值的是（）（参考数据：）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用对数的运算法则计算后可得．【详解】，，因此最接近于．故选：D．3．（2022·全国（理））圆的内接正方形的边长与圆的半径的比例称为白银比例，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”．山西应县释迦塔（即著名的应县木塔），是中国现存较为古老的木构塔式建筑．该木塔总高度与顶层檐柱柱头以下部分的高度之比与白银比例高度吻合．已知木塔顶层檐柱柱头以下部分的高度为米，则应县木塔的总高度大约是（）（参考数据：）A．米 B．米C．米 D．米【答案】C【分析】由题意，木塔总高度与顶层檐柱柱头以下部分的高度之比为，又，可估计【详解】设正方形的边长为，圆的半径为，则，易知白银比例为．因为，，所以，故排除A，B，D．故选：C4．（2022·湖南省邵东市第三中学高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，现有以下四个对函数的命题：①是偶函数②是周期函数③的值域为［0，1］④当时，其中正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】将表示为分段函数的形式，画出函数图像，由此判断出正确选项.【详解】由于，所以，由此画出函数图像如下图所示，由图可知，是非奇非偶函数，是周期为的周期函数，且值域为，当时，.故选项②④正确故选：C【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查新定义函数概念的理解和运用，属于中档题.5．（2022·江苏省震泽中学高二月考）有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当很大时，其中称为欧拉—马歇罗尼常数，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在很大时才成立，故当较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定的误差的，已知，用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题中所给的近似公式，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】而，与实际的的误差绝对值近似为：，故选：B6．（2022·山西祁县中学高三月考（理））2022年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln≈－，ln≈－（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，再根据题意列出不等式求解即可【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝100×－1.由100×－1<60，得－1<，则(n－1)ln<ln，即n－1>≈≈，则n>，故至少需要“打水漂”的次数为6.故选：C7．（2022·黑龙江齐齐哈尔市教育局高二期末（文））对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即，即可得到结论．【详解】解：因为，所以，，由，得，解得，而，故函数关于点对称，故，所以，所以故选：D8．（2022·江苏省震泽中学高二月考）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意逐个解方程判断即可【详解】解：对于A，由，得，即，方程无解，所以A不符合题意，对于B，由，得，即，方程无解，所以B不符合题意，对于C，由，得当时，，即，解得或，所以此函数为“不动点函数”，所以C正确，对于D，由，得，即，方程无解，所以D不符合题意，，故选：C二、多选题9．（2022·全国高二课时练习）（多选）材料：函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次的有理运算及有限次的复合所产生的，且能用一个解析式表示的函数，如函数（），我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即（）为初等函数．根据以上材料，对于初等函数（）的说法正确的是（）A．无极小值 B．有极小值1 C．无极大值 D．有极大值【答案】AD【分析】根据给定信息，对函数变形并求导，进而判断其极值情况即可得解.【详解】依题意，，，求导得：，由，得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以有极大值，无极小值.故选：AD10．（2022·全国高三）德国数学家狄里克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，我们称函数，为狄里克雷函数．记，则下列的叙述中正确的是（）A．的值域为B．是周期函数C．是奇函数D．是单调函数【答案】BC【分析】函数的值域为，可判断A；根据函数的周期性和定义和函数的定义可判断B；由函数的奇偶性的定义可判断C；取特殊函数值可判断D．【详解】函数的值域为，故A错误；对于任意的有理数，当为有理数时，也是有理数，则，当为无理数时，也是无理数，则，即函数是周期函数，故B正确；的定义域为，当为有理数时，是有理数，则，当为无理数时，是无理数，则，即为偶函数，故，故C正确；，，，显然不是单调函数，故D错误，故选：BC．11．（2022·江苏省前黄高级中学）意大利著名画家列奥纳多·达芬奇（—）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，有人曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其表达式为（其中为自然对数的底数，下同），相应地，双曲正弦函数的表达式为．若直线与双曲余弦函数和双曲正弦函数分别相交于，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则下列结论中正确的是（）A． B．C．随的增大而减小 D．的面积随的增大而减小【答案】BD【分析】利用指数幂的运算性质进行计算并比较结果可判断A，B；写出点A，B坐标，求出曲线在A，B处切线方程，再求出及面积即可判断C，D作答.【详解】对于A，，当且仅当时取“=”，A不正确；对于B，，B正确；对于C，D，点，对双曲余弦函数求导得，对双曲正弦函数求导得，切线PA：，切线PB：，联立两条切线方程，解得点，，因函数在上随x的增大先减小再增大，于是得随m的增大先减小再增大，C不正确；面积随m的增大而减小，D正确.故选：BD12．（2022·重庆市杨家坪中学高三）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代平法，做法如下：如图，设r是的根，选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，则l与x轴的交点的横坐标，称是r的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中，称是r的n+1次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则（）A．若取初始近似值为1，则该方程解的二次近似值为B．若取初始近似值为2，则该方程解的二次近似值为C．D．【答案】ABC【分析】构造函数，并求得导数，然后按照题干的定义依次代值计算结合排除法可得结果.【详解】构造函数，则，取初始近似值，则，，则A正确；取初始近似值，则，，则B正确；根据题意，可知，，，，上述四式相加，得，则D不正确，C正确，故选：ABC.三、填空题13．（2022·福建）被誉为“数学之神”之称的阿基米德最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之于二，这个结论就是著名的阿基米德定理，在平面直角坐标系中，已知直线：与抛物线：交于，两点，则弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为___________.【答案】【分析】利用积分的几何意义，进行求积分即可得解.【详解】联立，得，.所以弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为.故答案为：.14．（2022·山西祁县中学高三月考（理））声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sinx＋sin2x，则下列结论正确的是________．(填序号)①2π是f(x)的一个周期；②f(x)在[0，2π]上有3个零点；③f(x)的最大值为；④f(x)在上是增函数．【答案】①②③【分析】对①，根据正弦函数的周期判断即可；对②，根据正弦的二倍角公式化简，再求解零点即可；对③④，求导分析f(x)的单调性，再求最值即可【详解】y＝sinx的最小正周期是2π，y＝sin2x的最小正周期是＝π，所以f(x)＝sinx＋sin2x的最小正周期是2π，故①正确；当f(x)＝sinx＋sin2x＝0，x∈[0，2π]时，sinx＋sinxcosx＝0，即sinx(1＋cosx)＝0，即sinx＝0或1＋cosx＝0，解得x＝0或x＝π或x＝2π，所以f(x)在[0，2π]上有3个零点，故②正确；f(x)＝sinx＋sin2x＝sinx＋sinxcosx，f′(x)＝cosx＋cos2x－sin2x＝2cos2x＋cosx－1，令f′(x)＝0，解得cosx＝或cosx＝－1，当x∈或x∈时，<cosx<1，此时f′(x)>0，则f(x)在，上单调递增，当x∈时，－1≤cosx<，此时f′(x)≤0但不恒为0，则f(x)在上单调递减，则当x＝时，函数f(x)取得最大值，为f＝sin＋sin＝＋＝，故③正确，④错误．故答案为：①②③15．（2022·江苏淮安·）在18世纪，法国著名数学家拉格日在他的《解析函数论》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下，如果函数f（x）区间[a，b]上连续不断，在开区间（a，b）内可导（存在导函数），在区间（a，b）内至少存在一个点x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝（b﹣a），则x＝x0称为函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的中值点，则关于x的f（x）＝ex+mx在区间[﹣1，1]上的中值点x0的值为__________________.【答案】【分析】由拉格朗日中值定理可得,求导函数，代入计算即可得出结果.【详解】解：当x∈[﹣1，1]时，由拉格朗日中值定理可得＝，∵f'（x）＝ex+m，∴+m，即，∴.故答案为：.16．（2022·河北保定·高三月考（理））如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，则下列有关说法中：①函数是圆O：的一个太极函数；②函数是圆O：的一个太极函数；③函数是圆O：的一个太极函数；④函数是圆O：的一个太极函数．所有正确的是_________．【答案】①②③④【分析】建立平面直角坐标系，作出每个函数的图像，探讨每个函数的对称性，进而得到答案.【详解】①两曲线的对称中心均为点，且两曲线交于两点，所以能把圆一分为二，如图，故正确；②函数关于点对称，经过圆的圆心，且两曲线交于两点，如图：所以函数是圆的一个太极函数，故正确；③函数为奇函数，如图：所以函数是圆的一个太极函数，故正确；④函数为奇函数，且单调递增，如图，所以函数是圆的一个太极函数，故正确．故答案为：①②③④.四、解答题17．（2022·全国）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体．“刍薨”字面意思为茅草屋顶，图1是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图2，屋顶五面体为刍薨”，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形，点在平面和上射影分别为，，已知m，m，梯形的面积是面积的倍．设．（1）求屋顶面积关于的函数关系式．（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为．现欲造一栋总高度为m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？【答案】（1）；（2）当为时，该别墅总造价最低．【分析】（1）先求得,进而求得屋顶面积关于的函数关系式.（2）首先求得别墅总造价，利用导数求得当时，总造价最低.【详解】（1）由题意，知平面，因为平面，所以．在中，，，所以．所以的面积为．所以屋顶面积．所以关于的函数关系式为．（2）在，，所以下部主体高度为．所以别墅总造价为．设，，则，令，得，又，所以．与随的变化情况如下表：0所以当时，在上有最小值．所以当为时，该别墅总造价最低．18．（2022·湖南衡阳市八中高一期末）若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，．（1）求的解析式；（2）求函数在内的“倒域区间”；（3）若函数在定义域内所有“倒域区间”上的图象作为函数的图象，是否存在实数，使集合恰含有2个元素？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在；．【分析】（1）运用奇函数的性质即可求得函数的解析式；（2）根据题意列出方程组，从而求解；（3）分析题意得出，从而只需考虑或两种情况；再根据（2）的结论求出，从而根据方程思想求的值.【详解】（1）当时，．所以．（2）设，因为在上递减，所以，整理得，解得．所以在内的“倒域区间”为．（3）因为在时，函数值的取值区间恰为，其中，，所以，即，同号，所以只需考虑或，当时，根据的图象知，最大值为1，，，所以，由（2）知在内的“倒域区间”为；当，最小值为，，，所以，同理知在内的“倒域区间”为．所以．依题意：抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．因此，应当使方程在内恰有一个实数根，并且使方程在内恰有一个实数．由方程在内恰有一根知；由方程在内恰有一根知，综上知：．19．（2022·全国高二课时练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．（1）若曲线与在处的曲率分别为，比较大小；（2）求正弦曲线曲率的最大值．【答案】（1）；（2）1．【分析】（1）求出导函数及导函数的导数，根据曲率定义直接计算，然后比较．（2）求，再求，然后曲率，用换元法，函数的单调性求得最大值．【详解】（1），，所以，，，，所以；（2），，所以，，令，则，设，则，显然当时，，递减，所以．最大值为1，所以的最大值为1．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义“曲率”，解题关键是理解曲率的定义，实质就是对导函数再求导得，然后根据所给公式求出的曲率．20．（2022·蚌埠田家炳中学高二月考（文））定义在D上的函数，若满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界．（1）设，判断在上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由；（2）若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）是有界函数，理由见解析，；（2）.【分析】（1）分离常数后,根据函数的单调性,在区间内求得最大值与最小值,即可根据有界函数的定义求得的取值范围.（2）根据有界函数定义,可得的值域，代入解析式可分离得的不等式组，利用换元法转化为二次不等式形式,结合恒成立条件,即可求得的取值范围.【详解】，则在上是增函数；故；即，故，故是有界函数；故的所有上界的值的集合是；由题意知，对恒成立．即：，令，，所以，对恒成立，，设，，由由于在上递增，在上递减，在上的最大值为，在上的最小值为，实数a的取值范围为．【点睛】关键点点睛：根据新定义有界函数，函数的上界，函数在上是以4为上界的有界函数转化为对恒成立是解题关键，然后分离参数，求函数的最大值与最小值是难点，属于中档题.21．（2022·上海市控江中学高一期末）若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的-增长函数.(1)已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由；(2)已知函数，且是区间上的-增长函数，求正整数的最小值；(3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围.【答案】(1)是，不是，理由见解析；(2)；(3).【分析】(1)利用给定定义推理判断或者反例判断而得；(2)把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解；(3)根据题设条件，写出函数f(x)的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求.【详解】(1)g(x)定义域R，，g(x)是，取x=-1，，h(x)不是，函数是区间上的增长函数，函数不是；(2)依题意，，而n>0，关于x的一次函数是增函数，x=-4时，所以n2-8n>0得n>8，从而正整数n的最小值为9；(3)依题意，，而，f(x)在区间[-a2,a2]上是递减的，则x，x+4不能同在区间[-a2,a2]上，4>a2-(-a2)=2a2，又x∈[-2a2，0]时，f(x)≥0，x∈[0，2a2]时，f(x)≤0，若2a2<4≤4a2，当x=-2a2时，x+4∈[0，2a2]，f(x+4)≤f(x)不符合要求，所以4a2<4，即-1<a<1.因为：当4a2<4时，①x