第4章流体动力学微分形式的基本方程课件

第4章流体动力学微分形式的基本方程4.1连续性方程与流函数4.2运动微分方程及有关概念4.3N－S方程组求解的分析4.4层流精确解举例4.5蠕动流方程4.6雷诺方程4.7欧拉方程及其积分第4章流体动力学微分形式的基本方程14.1连续性方程与流函数1.连续性方程（1）方程的推导4.1连续性方程与流函数1.连续性方程2液体三元流动的连续性方程液体三元流动的连续性方程3液体三元流动的连续性方程液体三元流动的连续性方程4

依据质量守恒定律：

x向质量净通率：y、z向质量净通率分别为：和依据质量守恒定律：y、z向质量净通率分别为：和5

体积内的质量减少率：则有：体积内的质量减少率：则有：6

除以体积ΔxΔyΔz，并令Δx→0,Δy→0,Δz→0取极限，得到直角坐标下的连续性方程：或除以体积ΔxΔyΔz，并令Δx→0,Δy→0,Δz→0取极7

或

柱坐标下的不可压缩流体连续性方程：对于不可压缩流体：（2）方程的简化

对于恒定流动：或柱坐标下的不可压缩流体连续性方程：对于不可压缩流8

（3）连续性方程的应用

判别流动能否发生。求解某一未知速度分量。

与运动微分方程联立求解。（3）连续性方程的应用92.流函数ψ(1)定义二维不可压缩流体连续性方程为：当定义和，连续性方程自然满足。称ψ为流函数。2.流函数ψ(1)定义二维不可压缩流体连续性方程为：当定10

(2)物理意义常数时，则得到不同流线。为流线，当取不同

两条流线的流函数数值之差等于这两条流线间所通过的单宽流量。(2)物理意义常数时，则得到不同流线。为流线，当取不同11

公式表明，两条流线间所通过的单宽流量等于两个流函数数值之差。且，引入ψ后可将求ux，uy的问题化为求ψ的问题。

12

4.2运动微分方程1.应力形式的运动微分方程（1）运动流体一点处的应力状态4.2运动微分方程13

双下标含义：

第一个下标：作用面的外法线方向，

第二个下标：应力的方向。

正的应力：正面、正力或负面、负力。

负的应力：正面、负力或负面、正力。双下标含义：正的应力：正面、正力或负面、负力。14

15

依据牛顿第二定律。六面体流体元中心点M的坐标为x，y，z，应力状态为σ，可求出各面中心点的应力。（2）方程的推导外力的x

向分量Fx

：

质量力的x向分量：以x方向为例：依据牛顿第二定律。（2）方程的推导外力的x16

表面力的x

向分量：加速度的x

向分量ax：质量m：表面力的x向分量：加速度的x向分量a17

除以ΔxΔyΔz，并令Δx→0,Δy→0,Δz→0取极限，得出同理可得y、z向方程。除以ΔxΔyΔz，并令同理可得y、z向方程。18

应力形式的运动微分方程为存在问题：方程组不闭合（4个方程，9个未知量）。应力形式的运动微分方程为存在问题：19

2.不可压缩流体的应力与应变率关系2.不可压缩流体的应力与应变率关系20

3.纳维－斯托克斯方程（N－S方程）3.纳维－斯托克斯方程（N－S方程）21写成矢量形式：方程各项的含义：左端：惯性力右端：质量力、压力（压强梯度力）、粘性力写成矢量形式：方程各项的含义：224.3N－S

方程组求解的分析1.

N－S方程组矢量式：4.3N－S方程组求解的分析1.N－S方程组矢量式23分量式：分量式：24给出定解条件初始条件边界条件理论上，方程组可解。给出定解条件初始条件理论上，方程组可解。252.

N－S方程组的特点

非线性

二阶偏微分方程组一般情况下，N－S方程组难于求解。2.N－S方程组的特点非线性一般情况下，N263.主要解法

（1）层流精确解对于某些简单流动，非线性项为零，可求得精确解。例如：①平行平板间的二维恒定层流运动3.主要解法（1）层流精确解①平行平板间的二维恒定27②斜面上具有等深自由面的二维恒定层流运动②斜面上具有等深自由面的二维恒定28③等直径圆管恒定层流运动③等直径圆管恒定层流运动29（2）近似解为什么要求近似解？由于仅在少数简单流动情况下才能得到精确解，为此求近似解。仅在两种极端雷诺数情形下，通过略去N－S方程中的个别项，才能求得近似解。（2）近似解为什么要求近似解？30①小雷诺数流动－蠕动流

Re<<

1惯性力<<

粘性力斯托克斯解：全部略去惯性力，得出斯托克斯阻力公式。奥森解：部分略去惯性力，得出奥森解。两个解成为低雷诺数流体动力学的基础。①小雷诺数流动－蠕动流斯托克斯解：全部略去惯性力，得出斯31蠕动流的例子：小球在极粘流体中的沉降蠕动流的例子：小球在极粘流体中的沉降32②大雷诺数流动

Re>>

1惯性力>>

粘性力当全部略去粘性项，会出现什么样的结果呢？

N－S方程组欧拉方程组（理想流体）计算结果不适用于固体壁面附近适用于远离固体壁面的流场②大雷诺数流动当全部略去粘性项，会出现什么样的结果呢？33为什么不适用于固体壁面附近？计算结果与实际不符合：边界条件不符合阻力规律不符合流型不符合为什么不适用于固体壁面附近？34

1904年，普朗特提出边界层概念，将微粘流体的广大流场划分为边界层和外流区，分别用边界层理论和势流理论求解。1904年，普朗特提出边界层概念，将微粘流体的广35（3）数值解属于计算流体力学范畴。（4）实验解属于实验流体力学范畴。（3）数值解（4）实验解364.4层流精确解举例1.平行平板间的二维恒定层流运动重力作用下的两无限宽水平平行平板间的二维恒定不可压缩流体的层流运动。平板间距为a，流体的密度为ρ，动力粘度为μ，上板沿x

方向移动的速度U为常量，试求平板间流体的速度分布。4.4层流精确解举例1.平行平板间的二维恒定层流运动重37求解步骤：

绘图并选取坐标系及坐标取向。

依据题中条件，简化N－S方程组。依据题意，给出边界条件。解方程组。求解步骤：绘图并选取坐标系及坐标取向。38（1）选直角坐标系取x轴沿下板，z轴垂直于平板。（2）简化N－S方程组①由二维流动可知uy＝0，且各量与y无关；

②由流体作平行于x轴的流动，可知uz＝0，故仅有ux；③由恒定流可知；（1）选直角坐标系（2）简化N－S方程组①由二维流动可知39④

由不可压缩流体的连续性方程和即ux仅是z的函数；可知和④由不可压缩流体的连续性方程和即ux仅是z的函数；40⑤由重力场可知单位质量力即X=

Y=

0，Z=

-g。于是N－S方程组简化为（1）（2）⑤由重力场可知单位质量力于是N－S41（3）边界条件z＝0，ux＝0；z＝a，ux＝U（3）（4）（4）解方程组先解（2）式，得（5）求得（6）表明与z无关，对z积分解（1）式时，可作为常量看待。（3）边界条件z＝0，ux＝0；（3）（4）（4）解方程42对（1）式积分二次得到则流速分布为利用边界条件（3）、（4）求得（8）（7）对（1）式积分二次得到则流速分布为利用边界条件（3）、（43（5）讨论①当，得出

，为科耶特流动。（5）讨论①当，得出，为科耶特流动。44，为泊肃叶流动。②当得出U=0，为泊肃叶流动。②当得出U=045最大流速

：单宽流量:断面平均流速与最大流速之比：断面平均流速：最大流速：单宽流量:断面平均流速与最大流速之比462.斜面上具有等深自由面的二维恒定层流运动重力作用下的无限宽斜面上具有等深自由面的二维恒定不可压缩流体的层流运动。若深度H为常量，斜面倾角为α，流体的密度为ρ，动力粘度为μ，液面压强pa为常量，且不计液面与空气之间的粘性切应力，试求流体的压强分布、速度分布、断面平均流速及作用于斜面上的粘性切应力。2.斜面上具有等深自由面的二维恒定层流运动重力作用下的无限47第4章流体动力学微分形式的基本方程课件48（1）选直角坐标系取x轴沿斜面，z轴垂直于斜面。（2）简化N－S方程组（1）（2）得出（1）选直角坐标系（2）简化N－S方程组（1）（2）得出49（3）边界条件z＝0，ux＝0；（3）（5）（4）（3）边界条件z＝0，ux＝0；（3）（5）（4）50（4）解方程组先解（2）式，得出利用边界条件（5）式，确定，得出压强分布：（6）（4）解方程组先解（2）式，得出利用边界条件（5）51则流速分布为：利用边界条件（3）、（4）求得（7）该式表明：p与z成线性关系，与x无关。对（1）式积分二次，得到则流速分布为：利用边界条件（3）、（4）求得（7）该式表52（10）最大流速（z=H）：（8）单宽流量:（9）断面平均流速：进而，求得：U断面平均流速与最大流速之比：（11）U（10）最大流速（z=H）：（8）单宽流量:（9）断面平均53（12）粘性切应力分布：斜面上的粘性切应力：（13）需要指出，在实际应用中，对于宽浅河道，由于河宽B远远大于水深H，可按二维明渠水流计算。当水流为二维明渠均匀层流时，可直接应用本例计算结果。（12）粘性切应力分布：斜面上的粘性切应力：（13）需要指出543.

等直径圆管恒定层流运动重力作用下的等直径圆管中的恒定不可压缩流体的层流运动。若圆管半径为r0

，流体的密度为ρ，动力粘度为μ，试求流体的速度分布、断面平均流速及作用于管壁上的粘性切应力。3.等直径圆管恒定层流运动重力作用下的等直径圆管中的恒定不55第4章流体动力学微分形式的基本方程课件56（1）选用圆柱坐标系取z轴与管轴重合，r垂直于管轴和管壁，θ沿周向，h表示铅直方向。（2）简化N－S方程组得出：（1）（1）选用圆柱坐标系（2）简化N－S方程组（1）57（3）边界条件（4）解方程组将（1）式化为：r＝0，uz＝有限值；r＝r0，uz＝0（2）（3）（4）（3）边界条件（4）解方程组将（1）式化为：r＝0，58（5）利用边界条件（2）、（3）求得由（4）式可知（p

+ρgh）与r和θ无关，仅为z

的函数，对r积分求uz时，可将作为常量看待，则得出（5）利用边界条件（2）、（3）求得由（4）式可知（p59则流速分布为：（6）进而，求得：最大流速（r＝0）：（7）则流速分布为：（6）进而，求得：最大流速（r＝0）：（760流量:（8）断面平均流速与最大流速之比：（10）U断面平均流速：（9）U流量:（8）断面平均流速与最大流速之比：（10）U断面平均流61管壁上的粘性切应力：（12）粘性切应力分布：（11）需要说明：上述计算结果只适用于充分发展的均匀流动区，对于管道进口段则不适用。管壁上的粘性切应力：（12）粘性切应力分布：（11）需要说明621.

蠕动流概念当惯性力可被完全忽略而雷诺数趋近于零时，就会出现层流运动的极端情况，即蠕动流。小球在极粘流体中沉降以及液体穿过孔隙介质的流动（即渗流）均可作为蠕动流处理。4.5

蠕动流方程1.蠕动流概念当惯性力可被完全忽略而雷诺数趋近于零时，就会63忽略惯性力的条件意味着运动非常缓慢，迁移加速度没有明显的惯性作用及非恒定性可以忽略不计。忽略惯性力的条件意味着运动非常缓慢，迁移加速度没有明显的惯性642.

蠕动流方程略去惯性项后，重力场中不可压缩流体的N－S方程化为（1）或（2）2.蠕动流方程略去惯性项后，重力场中不可压缩流体的N－S65对（2）式两端取散度，并考虑到：对于不可压缩流体蠕动流问题可化为：在一定边界条件下求解拉普拉斯方程的问题。得出（3）及对（2）式两端取散度，并考虑到：对于不可压缩流体蠕动流问题可661.层流与紊流

粘性流动中的两种流态：层流与紊流（湍流）1839年哈根通过圆管试验首次发现这两种流态。1883年雷诺通过圆管流动试验，清楚地演示这两种流态，如图所示。4.6

紊流基本概念1.层流与紊流粘性流动中的两种流态：层流与紊流（湍流）67圆管流动的临界雷诺数：U（a）层流（b）紊流圆管流动的临界雷诺数：U（a）层流（b）紊流682.雷诺方程（1）

求时均的规则紊流为相当复杂的流动型态。流体质点激烈混掺，导致运动要素随时间作随机变化。2.雷诺方程（1）求时均的规则紊流为相当复杂的流动型态。69大量的实验表明：无论瞬时值如何变化，只要取足够长的时段，其时间平均值（简称时均值）就是确定的。时均值可定义为瞬时值＝时均值＋脉动值，则有大量的实验表明：无论瞬时值如何变化，只要取足够长的时段，其时70容易证明：若可利用这些关系式推导紊流基本方程。则得出容易证明：若可利用这些关系式推导紊流基本方程。则得出71（2）

雷诺方程的推导①

N－S方程组为粘性流体的基本方程组，既适用于层流，也适用于紊流的瞬时值。②

将“瞬时值”表示为“时均值＋脉动值”，并用求时均规则，可以导出雷诺方程：（2）雷诺方程的推导①N－S方程组为粘性流体的基本方程组72第4章流体动力学微分形式的基本方程课件73雷诺方程中增加了由雷诺应力：构成的附加项。雷诺应力为二阶对称张量。

由于雷诺应力分量均未知，雷诺方程组不闭合，必须补充方程后才能求解。雷诺方程中增加了由雷诺应力：构成的附加项。雷诺应力为二阶对称743.关于紊流的求解（1）

半经验理论利用部分得到证明的假设，去建立雷诺应力与时均量之间的关系，以解决紊流基本方程的封闭问题。主要有：

布辛涅斯克涡粘性系数；普朗特混和长度理论；泰勒涡量传递理论；卡门相似理论等。可归入一阶封闭模式或零方程模型范围。3.关于紊流的求解（1）半经验理论利用部分得到证明的假设75（2）

二阶封闭模式的紊流模型主要有：雷诺应力模型（微分模型，RSM）；代数应力模型（k-ε-A模型，ASM

）；二方程模型（涡粘性模型，

k-ε-E模型）；双尺度二阶紊流模型等。这些属于紊流模式理论范畴。（2）二阶封闭模式的紊流模型主要有：雷诺应力模型（微分模型76（3）

紊流的高级数值模拟①大涡模拟（largeeddysimulation，LES）②

直接数值模拟（direct

numerical

simulation）（3）紊流的高级数值模拟①大涡模拟774.7

欧拉方程及其积分1.

莱姆－葛罗米柯方程此式为莱姆－葛罗米柯方程。对于质量力有势的均质不可压缩流体，利用矢量恒等式，可将欧拉方程化为：式中，Π为力势函数,。4.7欧拉方程及其积分1.莱姆－葛罗米柯方程此式为莱姆782.

伯努利积分依据莱姆－葛罗米柯方程，对于恒定有旋流动，可以导出：（沿流线）此式为伯努利积分。该式表明：有势质量力作用下的理想、不可压缩流体的恒定有旋流动，同一流线上各点的值相等。2.伯努利积分依据莱姆－葛罗米柯方程，对于恒定有旋流动，可79对于重力场，,当取z坐标与h重合时，则有（沿流线）3.

拉格朗日积分（全流场）依据莱姆－葛罗米柯方程，对于恒定无旋流动，可以导出：对于重力场，,当取z坐标80此式为拉格朗日积分。该式表明：有势质量力作用下的理想、不可压缩流体的恒定无旋流动，全流场各点的值相等。对于重力场，,当取z坐标与h

重合时，则有（全流场）此式为拉格朗日积分。该式表明：有势质量力作用下的理想、不可压81第4章流体动力学微分形式的基本方程4.1连续性方程与流函数4.2运动微分方程及有关概念4.3N－S方程组求解的分析4.4层流精确解举例4.5蠕动流方程4.6雷诺方程4.7欧拉方程及其积分第4章流体动力学微分形式的基本方程824.1连续性方程与流函数1.连续性方程（1）方程的推导4.1连续性方程与流函数1.连续性方程83液体三元流动的连续性方程液体三元流动的连续性方程84液体三元流动的连续性方程液体三元流动的连续性方程85

依据质量守恒定律：

x向质量净通率：y、z向质量净通率分别为：和依据质量守恒定律：y、z向质量净通率分别为：和86

体积内的质量减少率：则有：体积内的质量减少率：则有：87

除以体积ΔxΔyΔz，并令Δx→0,Δy→0,Δz→0取极限，得到直角坐标下的连续性方程：或除以体积ΔxΔyΔz，并令Δx→0,Δy→0,Δz→0取极88

或

柱坐标下的不可压缩流体连续性方程：对于不可压缩流体：（2）方程的简化

对于恒定流动：或柱坐标下的不可压缩流体连续性方程：对于不可压缩流89

（3）连续性方程的应用

判别流动能否发生。求解某一未知速度分量。

与运动微分方程联立求解。（3）连续性方程的应用902.流函数ψ(1)定义二维不可压缩流体连续性方程为：当定义和，连续性方程自然满足。称ψ为流函数。2.流函数ψ(1)定义二维不可压缩流体连续性方程为：当定91

(2)物理意义常数时，则得到不同流线。为流线，当取不同

两条流线的流函数数值之差等于这两条流线间所通过的单宽流量。(2)物理意义常数时，则得到不同流线。为流线，当取不同92

公式表明，两条流线间所通过的单宽流量等于两个流函数数值之差。且，引入ψ后可将求ux，uy的问题化为求ψ的问题。

93

4.2运动微分方程1.应力形式的运动微分方程（1）运动流体一点处的应力状态4.2运动微分方程94

双下标含义：

第一个下标：作用面的外法线方向，

第二个下标：应力的方向。

正的应力：正面、正力或负面、负力。

负的应力：正面、负力或负面、正力。双下标含义：正的应力：正面、正力或负面、负力。95

96

依据牛顿第二定律。六面体流体元中心点M的坐标为x，y，z，应力状态为σ，可求出各面中心点的应力。（2）方程的推导外力的x

向分量Fx

：

质量力的x向分量：以x方向为例：依据牛顿第二定律。（2）方程的推导外力的x97

表面力的x

向分量：加速度的x

向分量ax：质量m：表面力的x向分量：加速度的x向分量a98

除以ΔxΔyΔz，并令Δx→0,Δy→0,Δz→0取极限，得出同理可得y、z向方程。除以ΔxΔyΔz，并令同理可得y、z向方程。99

应力形式的运动微分方程为存在问题：方程组不闭合（4个方程，9个未知量）。应力形式的运动微分方程为存在问题：100

2.不可压缩流体的应力与应变率关系2.不可压缩流体的应力与应变率关系101

3.纳维－斯托克斯方程（N－S方程）3.纳维－斯托克斯方程（N－S方程）102写成矢量形式：方程各项的含义：左端：惯性力右端：质量力、压力（压强梯度力）、粘性力写成矢量形式：方程各项的含义：1034.3N－S

方程组求解的分析1.

N－S方程组矢量式：4.3N－S方程组求解的分析1.N－S方程组矢量式104分量式：分量式：105给出定解条件初始条件边界条件理论上，方程组可解。给出定解条件初始条件理论上，方程组可解。1062.

N－S方程组的特点

非线性

二阶偏微分方程组一般情况下，N－S方程组难于求解。2.N－S方程组的特点非线性一般情况下，N1073.主要解法

（1）层流精确解对于某些简单流动，非线性项为零，可求得精确解。例如：①平行平板间的二维恒定层流运动3.主要解法（1）层流精确解①平行平板间的二维恒定108②斜面上具有等深自由面的二维恒定层流运动②斜面上具有等深自由面的二维恒定109③等直径圆管恒定层流运动③等直径圆管恒定层流运动110（2）近似解为什么要求近似解？由于仅在少数简单流动情况下才能得到精确解，为此求近似解。仅在两种极端雷诺数情形下，通过略去N－S方程中的个别项，才能求得近似解。（2）近似解为什么要求近似解？111①小雷诺数流动－蠕动流

Re<<

1惯性力<<

粘性力斯托克斯解：全部略去惯性力，得出斯托克斯阻力公式。奥森解：部分略去惯性力，得出奥森解。两个解成为低雷诺数流体动力学的基础。①小雷诺数流动－蠕动流斯托克斯解：全部略去惯性力，得出斯112蠕动流的例子：小球在极粘流体中的沉降蠕动流的例子：小球在极粘流体中的沉降113②大雷诺数流动

Re>>

1惯性力>>

粘性力当全部略去粘性项，会出现什么样的结果呢？

N－S方程组欧拉方程组（理想流体）计算结果不适用于固体壁面附近适用于远离固体壁面的流场②大雷诺数流动当全部略去粘性项，会出现什么样的结果呢？114为什么不适用于固体壁面附近？计算结果与实际不符合：边界条件不符合阻力规律不符合流型不符合为什么不适用于固体壁面附近？115

1904年，普朗特提出边界层概念，将微粘流体的广大流场划分为边界层和外流区，分别用边界层理论和势流理论求解。1904年，普朗特提出边界层概念，将微粘流体的广116（3）数值解属于计算流体力学范畴。（4）实验解属于实验流体力学范畴。（3）数值解（4）实验解1174.4层流精确解举例1.平行平板间的二维恒定层流运动重力作用下的两无限宽水平平行平板间的二维恒定不可压缩流体的层流运动。平板间距为a，流体的密度为ρ，动力粘度为μ，上板沿x

方向移动的速度U为常量，试求平板间流体的速度分布。4.4层流精确解举例1.平行平板间的二维恒定层流运动重118求解步骤：

绘图并选取坐标系及坐标取向。

依据题中条件，简化N－S方程组。依据题意，给出边界条件。解方程组。求解步骤：绘图并选取坐标系及坐标取向。119（1）选直角坐标系取x轴沿下板，z轴垂直于平板。（2）简化N－S方程组①由二维流动可知uy＝0，且各量与y无关；

②由流体作平行于x轴的流动，可知uz＝0，故仅有ux；③由恒定流可知；（1）选直角坐标系（2）简化N－S方程组①由二维流动可知120④

由不可压缩流体的连续性方程和即ux仅是z的函数；可知和④由不可压缩流体的连续性方程和即ux仅是z的函数；121⑤由重力场可知单位质量力即X=

Y=

0，Z=

-g。于是N－S方程组简化为（1）（2）⑤由重力场可知单位质量力于是N－S122（3）边界条件z＝0，ux＝0；z＝a，ux＝U（3）（4）（4）解方程组先解（2）式，得（5）求得（6）表明与z无关，对z积分解（1）式时，可作为常量看待。（3）边界条件z＝0，ux＝0；（3）（4）（4）解方程123对（1）式积分二次得到则流速分布为利用边界条件（3）、（4）求得（8）（7）对（1）式积分二次得到则流速分布为利用边界条件（3）、（124（5）讨论①当，得出

，为科耶特流动。（5）讨论①当，得出，为科耶特流动。125，为泊肃叶流动。②当得出U=0，为泊肃叶流动。②当得出U=0126最大流速

：单宽流量:断面平均流速与最大流速之比：断面平均流速：最大流速：单宽流量:断面平均流速与最大流速之比1272.斜面上具有等深自由面的二维恒定层流运动重力作用下的无限宽斜面上具有等深自由面的二维恒定不可压缩流体的层流运动。若深度H为常量，斜面倾角为α，流体的密度为ρ，动力粘度为μ，液面压强pa为常量，且不计液面与空气之间的粘性切应力，试求流体的压强分布、速度分布、断面平均流速及作用于斜面上的粘性切应力。2.斜面上具有等深自由面的二维恒定层流运动重力作用下的无限128第4章流体动力学微分形式的基本方程课件129（1）选直角坐标系取x轴沿斜面，z轴垂直于斜面。（2）简化N－S方程组（1）（2）得出（1）选直角坐标系（2）简化N－S方程组（1）（2）得出130（3）边界条件z＝0，ux＝0；（3）（5）（4）（3）边界条件z＝0，ux＝0；（3）（5）（4）131（4）解方程组先解（2）式，得出利用边界条件（5）式，确定，得出压强分布：（6）（4）解方程组先解（2）式，得出利用边界条件（5）132则流速分布为：利用边界条件（3）、（4）求得（7）该式表明：p与z成线性关系，与x无关。对（1）式积分二次，得到则流速分布为：利用边界条件（3）、（4）求得（7）该式表133（10）最大流速（z=H）：（8）单宽流量:（9）断面平均流速：进而，求得：U断面平均流速与最大流速之比：（11）U（10）最大流速（z=H）：（8）单宽流量:（9）断面平均134（12）粘性切应力分布：斜面上的粘性切应力：（13）需要指出，在实际应用中，对于宽浅河道，由于河宽B远远大于水深H，可按二维明渠水流计算。当水流为二维明渠均匀层流时，可直接应用本例计算结果。（12）粘性切应力分布：斜面上的粘性切应力：（13）需要指出1353.

等直径圆管恒定层流运动重力作用下的等直径圆管中的恒定不可压缩流体的层流运动。若圆管半径为r0

，流体的密度为ρ，动力粘度为μ，试求流体的速度分布、断面平均流速及作用于管壁上的粘性切应力。3.等直径圆管恒定层流运动重力作用下的等直径圆管中的恒定不136第4章流体动力学微分形式的基本方程课件137（1）选用圆柱坐标系取z轴与管轴重合，r垂直于管轴和管壁，θ沿周向，h表示铅直方向。（2）简化N－S方程组得出：（1）（1）选用圆柱坐标系（2）简化N－S方程组（1）138（3）边界条件（4）解方程组将（1）式化为：r＝0，uz＝有限值；r＝r0，uz＝0（2）（3）（4）（3）边界条件（4）解方程组将（1）式化为：r＝0，139（5）利用边界条件（2）、（3）求得由（4）式可知（p

+ρgh）与r和θ无关，仅为z

的函数，对r积分求uz时，可将作为常量看待，则得出（5）利用边界条件（2）、（3）求得由（4）式可知（p140则流速分布为：（6）进而，求得：最大流速（r＝0）：（7）则流速分布为：（6）进而，求得：最大流速（r＝0）：（7141流量:（8）断面平均流速与最大流速之比：（10）U断面平均流速：（9）U流量:（8）断面平均流速与最大流速之比：（10）U断面平均流142管壁上的粘性切应力：（12）粘性切应力分布：（11）需要说明：上述计算结果只适用于充分发展的均匀流动区，对于管道进口段则不适用。管壁上的粘性切应力：（12）粘性切应力分布：（11）需要说明1431.

蠕动流概念当惯性力可被完全忽略而雷诺数趋近于零时，就会出现层流运动的极端情况，即蠕动流。小球在极粘流体中沉降以及液体穿过孔隙介质的流动（即渗流）均可作为蠕动流处理。4.5

蠕动流方程1.蠕动流概念当惯性力可被完全忽略而雷诺数趋近于零时，就会144忽略惯性力的条件意味着运动非常缓慢，迁移加速度没有明显的惯性作用及非恒定性可以忽略不计。忽略惯性力的条件意味着运动非常缓慢，迁移加速度没有明显的惯性1452.

蠕动流方程略去惯性项后，重力场中不可压缩流体的N－S方程化为（1）或（2）2.蠕动流方程略去惯性项后，重力场中不可压缩流体的N－S146对（2）式两端取散度，并考虑到：对于不可压缩流体蠕动流问题可化为：在一定边界条件下求解拉普拉斯方程的问题。得出（3）及对（2）式两端取散度，并考虑到：对于不可压缩流体蠕动流问题可1471.层流与紊流

粘性流动中的两种流态：层流与紊流（湍流）1839年哈根通过圆管试验首次发现这两种流态。1883年雷诺通过圆管流动试验，清楚地演示这两种流态，如图所示。4.6

紊流基本概念1