第一节抽样推断的一般问题

第五章抽样估计教学目的：通过对本章的学习，了解抽样估计的基本原理，掌握抽样估计的基本方法。教学设计：对主要的知识点进行讲解，通过在线学习平台的“教学辅导”与“参考资料”栏目获取相关知识，从而对重要的知识点有进一步的认识，在此基础上通过练习来加深对相关问题的理解，同时通过网上实时与非实时的答疑解决疑难问题。重难点讲解：抽样误差的概念及计算；抽样估计的方法第五章抽样估计第一节抽样推断的一般问题第二节抽样误差第三节抽样估计的方法第四节抽样组织设计统计调查方法

全面调查非全面调查普查抽样调查重点调查典型调查相关知识回顾：统计报表

抽样调查:按照随机原则，从总体中抽取一部分样本单位，根据对样本单位的调查结果来推断总体的数量特征。一、抽样推断的意义

1、概念：抽样推断是在抽样调查的基础上，利用样本的实际资料计算样本指标，并据以推算总体相应数量特征的一种统计分析方法。第一节抽样推断的一般问题样本总体推断

2、特点（1）由部分推算整体的一种方法；（2）抽样推断建立在随机抽样的基础上；（3）抽样推断是运用概率估计的方法；（4）抽样推断的误差可以计算并加以控制。样本（非唯一）总体（唯一）推断二、抽样推断的内容（一）参数估计用样本的观察资料来估计所研究现象总体的水平、结构、规模等数量特征，这种推断方法称为参数估计。（二）假设检验对总体的状况作出某种假设，然后根据样本所提供的信息来判断总体未知参数事先所作的假设是否成立的统计分析方法称为假设检验。三、抽样的几个个基本概念1、总体也称全及总体体，指所要认认识的研究对对象全体，由由具有某种共共同性质许多多单位组成的的集合体，一一般用N表示示。无限总体、有有限总体2、样本又称子样，是是从全及总体体中随机抽取取出来，作为为代表这一总总体的那部分分单位组成的的集合体，一一般用n表示示。总体样本3、随机抽样样按随机原则从从总体中抽取取样本单位。。4、非随机抽抽样根据市场调查查者的主观分分析判断来选选取样本单位位。包括偶遇遇抽样、主观观抽样、定额额抽样。5、参数根据总体各单单位的标志值值或标志特征征计算的，反反映总体数量量特征的综合合指标，称为为全及指标，，由总体各单单位的标志值值或标志特征征所决定，全全及指标的指指标值是确定定的，唯一的的，称为参数数。对于总体中的的品质标志：：由于不能用数数量来表示，，总体参数通通常用成数P表示。成数：总体中中具有某种性性质的单位数数在总体全部部单位数中的比重，用用P表示。总总体中不具有有某种性质的的单位数在总体中所占的的比重，用Q表示。有P+Q=1X:表示总体体变量，有N个单位，所所以可以表示示为当某种标志，，它的标志表表现只有是非非两种，可以用“1”表表示标志表现现为“是”的的标志的标志志表现，“0”表示标志志表现为“非非”的标志的的标志表现，，在此情况下下:6、统计量根据样本各单单位标志值或或标志属性计计算的综合指指标称为统计计量。样本统统计量是用来来估计总体参参数的。反映映样本的数量量特征。参数总体统计量样本例题：某批产产品共500件，合格品品480件，，不合格品20件，要求计计算成数合格格品率、7、样本容量量指一个样本所所包含的单位位数。8、样本个数数又称样本可能能数目，是指指从一个总体体中可能抽取取的样本个数数。9、重复抽样样从总体N个单单位中随机抽抽取样本容量量为n的样本本，每次从总总体中抽取一一个，连续进进行n次实验验构成抽样样样本。每次抽抽出一个单位位把结果登记记下来又放回回，重新参加加下一次的抽抽选。共可抽抽取容量为n的样本个个。10、不重复复抽样从总体N个单单位中随机抽抽取容量为n的样本，每每次从总体中中抽取一个，，连续进行n次实验构成成抽样样本。。但每次抽选选出的单位就就不再放回参参加下一次抽抽选。共可抽抽取容量为n的样本N(N-1)(N-2)…….(N-n+1)个。。结论：总体单单位数一致，，在相同样本本容量的情况况下，重复抽抽样的样本个个数大于不重重复抽样的样样本个数。第二节抽抽样误差差一、抽样误差差的概念概念：指由由于随机抽样样的偶然因素素使样本各单单位的结构不足足以代表总体体各单位的结结构，而引起起抽样指标和全全及指标之间间的绝对离差差。系统偏误与登登记性误差可可以防止或避避免，抽样误误差不可避免免，只能加以以控制。影响抽样误差差大小的因素素：（1）总体各各单位标志值值的差异程度度；（2）样本单单位数；（3）抽样方方法；（4）抽样组组织形式。二、抽样平均均误差(抽样指标的的标准差)反映抽样误差差一般水平的的指标。是所所有可能出现的样本指指标和总体指指标的平均离离差。1、抽样平均均数的平均误误差，也可称称为抽样平均数的的标准差(表明各样本本均值与总体体均值离差的的一般水平））（1）重复抽抽样情况下例：设有三个个数8、10、12，这这一总体的均均值、标准差差分别为：用重复抽样的的方法，从8、10、12三个数中中抽两个数构构成样本，求求样本的平均均值，用以代代表三个数的的一般水平，，所有可能的的样本以及样样本的平均值值列表如下：：样本个数样本变量样本均值平均数离差离差平方

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888108121010101210812121281210891010119121011-2-1001201-1410014011

合计90012抽样平均数的的标准差：现在按重复抽抽样误差公式式计算抽样平平均误差几个基本关系系：a.样本平均均数的平均数数等于总体平平均数；b.抽样平均均误差实质上上就是抽样平平均数的标准准差，也称为为抽样标准误误差；c.抽样平均均数的标准差差（抽样平均均误差）比总总体标准差小小很多，仅为为总体标准差差的。。d.可以通过过调整样本单单位数n来控控制抽样平均均误差。(2)在不重重复抽样的情情况下样本个数样本变量样本均值平均数离差离差平方

123456810812101210812812109101191011-101-101101101

合计6004按不重复抽样样误差公式计计算抽样平均均误差某工厂有1500个工人人，用简单随随机重复抽样样的方法抽取取50个工人人作为样本，，调查其工资资水平，资料料如下：月平均工资（元）524534540550560580600660工人数（人）469108643计算样本平均均数和抽样平平均误差。2、抽样成数数的平均误差差（表明各样样本成数与总总体成数绝对对离差的一般般水平）(1)在重复复抽样下P：总体成数数n:样本单位位数(2)在不重重复抽样下在实际计算中中，用样本成成数p代替总总体成数P从2000件产产品中中抽查查200件件，其其中合合格品品190件件，要要求：：计算算样本本合格格率及及其抽抽样平平均误误差。。解：在在重复复抽样样下：：在不重重复抽抽样下下：某电子子产品品使用用寿命命在3000小小时以以下为为不合合格品品。现现在用用简单单随机机抽样样方法法从5000个个产品品中抽抽取100个对对其使使用寿寿命进进行调调查，，结果果如下下表所所示使用寿命（小时）产品数量（个）3000以下3000～40004000～50005000以上2305018合计100要求：：（1））按重重复抽抽样和和不重重复抽抽样计计算该该产品品平均均寿命命的抽抽样平平均误误差；；（2））按重重复抽抽样和和不重重复抽抽样计计算该该产品品合格格率的的抽样样平均均误差差。解：根根据资资料可可算出出使用寿命（小时）组中值产品数量（个）

xf3000以下3000～40004000～50005000以上25003500450055002305018500010500022500099000合计100434000三、抽抽样极极限误误差指变动动的抽抽样指指标与与确定定的总总体指指标之之间离离差的的可能能范围围，统统计上上称为为抽样样极限限误差差。设四、抽抽样误误差的的概率率度对某市市居民民进行行生活活水平平调查查，现现随机机抽取取100户户，结结果户户月均均收入入为482元，，标准准差为为50元，，要求求该市市居民民户月月均收收入在在472～～492元元的范范围内内，试试求抽抽样极极限误误差和和抽样样概率率度。。第三节节抽抽样样估计计的方方法一、总总体参参数的的点估估计根据总总体指指标的的结构构形式式设计计样本本指标标作为为总体体参数数的估估计量量，并并以样样本指指标的的实际际值直直接作作为相相应总总体参参数的的估计计值，，即直直接以以样本本平均均数、、成数数推断断总体体的平平均数数和成成数。。优良估估计的的标准准：1、无无偏性性：以以抽样样指标标估计计总体体指标标要求求抽样样指标值的的平均均数等等于被被估计计的总总体指指标值值本身身。2、一一致性性：以以抽样样指标标估计计总体体指标标要求求当样样本容容量增增大时时，抽抽样指指标也也充分分地靠靠近总总体指指标。。3、有有效性性：以以抽样样指标标值估估计总总体指指标要要求作作为优优良估估计量量的方方差应应该比比其他他估计计量的的方差差小。。二、抽抽样估估计的的精度度估计精精度＝＝1－－误差差率三、抽抽样估估计的的置信信度表明明抽抽样样指指标标和和总总体体指指标标的的误误差差不不超超过过一一定定范范围围的的概概率率保保证证程程度度。。样本平均数700800900100011001200130014001500频数

f121242121频率根据据以以上上分分布布写写出出平平均均工工资资落落在在各各种种区区间间范范围围内内的的概概率率P：：已经经证证明明，，当当样样本本单单位位数数大大于于或或等等于于30的的条条件件下下，，抽抽样样平平均均数数的的分分布布接接近近与与正正态态分分布布。。该分分布布的的特特点点是是：：（1））抽抽样样平平均均数数以以总总体体平平均均数数为为中中心心，，它它大大于于或或小小于于总总体体平平均均数数的的概概率率分分布布完完全全呈呈对对称称分分布布；；抽抽样样平平均均数数的的正正误误差差和和负负误误差差的的可可能能性性完完全全相相等等。。（2））抽抽样样平平均均数数越越接接近近总总体体平平均均数数，，其其出出现现的的概概率率越越大大；；越越远远离离总总体体平平均均数数，，其其出出现现的的概概率率越越小小。。概率率度度与与概概率率保保证证程程度度之之间间是是函函数数关关系系，，概概率率保保证证程程度度是是概概率率度度的的函函数数，，即即：：t与与F(t)之间间的的关关系系可可以以查查正正态态分分布布概概率率表表，，附附录录三三四、、总总体体参参数数的的区区间间估估计计对于于总总体体的的被被估估计计值值（（总总体体参参数数））X，，找找出出两两个个数数值值使使被被估估计计指指标标X落落在在区区间间内内的的概概率率为为已已知知的的。。（（用用一一个个具具有有一一定定可可靠靠程程度度的的区区间间范范围围来来估估计计总总体体参参数数））区间间估估计计的的两两种种方方法法：1、、根根据据已已知知的的抽抽样样误误差差范范围围（（抽抽样样极极限限误误差差））求求概概率率保保证证程程度度（（置置信信度度））。。并给给出出相相应应的的概概率率保保证证程程度度耐用时间组中值灯泡数耐用时间组中值灯泡数800～85082535950～1000975103850～9008751271000～1050102542900～9509251851050～110010758（1））样样本本平平均均数数及及抽抽样样平平均均误误差差以99.73％％的的可可靠靠程程度度推推断断这这批批灯灯泡泡的的耐耐用用时时间间在在（（919小小时时，，933.8小小时时））的的范范围围内内。。若已知样样本灯泡泡的合格格率为95％，，要求合合格率的的误差范范围不超超过0.97％％，估计计该批灯灯泡的合合格率，，并给出出相应的的概率保保证程度度。2、给出出置信度度，求抽抽样极限限误差的的可能范范围以68.27％％的概率率保证程程度估计计该批灯灯泡的合合格率在在（94.03%，95.97%））范围内内。某城市某某街道所所管辖的的10000户户居民中中，用单纯随机机重复抽抽样方法法抽取200户户，对某某种商品品的平均需需求量和和需求倾倾向进行行调查，，调查结结果表明，，每户居居民对该该商品的的月平均均需求量量为500克克，标准准差为100克克，表示示一年内内不选择择其他替代商商品，继继续消费费该商品品的居民民户为90％，试对总体体平均数数，总体体成数进进行区间间估计。。（1）当当置信度度＝85％时该街道10000户居居民表示示继续消消费该商商品的居居民户占占87％％～93％，估估计的置置信度为为85％％(2)当当置信度度＝95％时，该街道10000户居居民对该该商品需需求量为为486.1～～513.9克克，置信信度为95％总体参数数的区间间估计的的三要素素是：估估计值、、抽样误误差范围围、概率率保证程程度。该街道10000户居居民表示示继续消消费该商商品的居居民户占占86.1％～～93.9％，，置信度度为95％.例1：某某工厂生生产一种种新型灯灯泡5000只只，随机机抽取100只作作耐用时时间实验验，测试试结果平平均寿命为4500小小时，标标准差为为300小时，，试在95.45％概率保保证下，，估计该该新式灯灯泡平均均寿命区区间。例2：某某乡有5000农户，，按随机机原则重重复抽取取100户户调查，，得平均均每户年年纯收入入12000元元，标准差2000元元，要求求:(1)以95％的的概率估估计全乡乡平均每户户年纯收收入的区区间；(2)以以同样概概率估计全乡农农户年纯纯收入总总额的区区间范围围。例3：某某学校进进行一次次英语测测验，为为了了解解学生的的考试情情况，随随机抽选选部分学学生进行行调查，，所得资资料如下下：考试成绩60以下60－7070－8080－9090－100学生人数102022408试以95.45％的可可靠性估估计该学学校英语语考试的的平均成成绩的范范围及该该校学生生成绩在在80分分以上的的学生所所占的比比重的范范围。解：该校校学生英英语考试试的平均均成绩标准差为为平均成绩绩的抽样样平均误误差为平均成绩绩的抽样样极限误误差为该校学生生考试的的平均成成绩的区区间范围围是样本中考考试成绩绩在80分以上上的学生生比重考试成绩绩在80分以上上的学生生比重在95.45％％概率保保证程度度下，该该校学生生成绩在在80分以上的的学生所所占比重重的范围围在38.01％～～57.99％％之间例4：外外贸公司司出口一一种茶叶叶，规定定每包毛毛重不低低于100克，，现用不不重复抽抽样的方方法抽取取其中的的1％进行检验验，其结结果如下下：每包重量（克）包数98～9999～100100～101101～10210205020合计100试以99.73％（t=3））的概率率保证程程度估计计这批茶茶叶合格格率范围围。解：样本本合格率率为以99.73％％的概率率保证程程度保证证这批茶茶叶包装装合格率率在56.3％％～83.7％％之间。。第四节抽抽样组织织设计一、抽样样组织设设计的基基本原则则1、保证证随机性性原则的的实现（1）要要有合适适的抽样样框抽样框：：指编制制抽样单单位的目目录。（2）取取样的实实施问题题2、考虑虑样本容容量问题题3、关于于抽样的的组织形形式4、必须须重视调调查经费费二、几种种常用的的抽样组组织形式式1、简单单随机抽抽样（最基本、、最简单单的抽样样组织形形式）直接从总总体N个个单位中中随机抽抽取n个个单位作作为样本本，适用用于均匀匀总体。。类型(1)抽抽签法(2)随随机数表表法简单随机机抽样样样本单位位数的确确定：a.在重重复抽样样下，由由于样本本平均数数的抽样样极限误误差公式式为：b.在不不重复抽抽样下，，由于样本本平均数数的抽样样极限误误差公式式为：c.在重重复抽样样下，由由于样本本成数的的抽样极极限误差差公式为为d.在不不重复抽抽样下，，由于样样本成数数的抽样样极限误误差公式式为调查一批批机械零零件合格格率，根根据过去去的资料料，合格格品率曾曾有过99％、、97％％、95％三种种情况，，现在要要求误差差不超过过1％，，要求估估计的把把握程度度为95％，问问需要抽抽查多少少个零件件？2、类类型抽抽样（（分层层抽样样）设总体体由N个单单位组组成，，把总总体划划分为为K组组，每每组有有个个单单位,然后从从每组组的个个单单位中中抽取取个个单位位构成成样本容容量为为n的的样本本，使使,这种抽抽样方法法称为为类型型抽样样。各组应应抽样样本单单位数数的确确定：：由各组组的总总体单单位数数在全全部总总体单单位数数中的的比重重来确确定。。从250家百百货公公司中中抽取取50家进进行本本季度度销售售额的的调查查

分层各层商店数各层应抽样本单位数各层销售额的样本均值各层销售额的样本方差大型商店中型商店小型商店25751500.10.30.65153017008001202800698510850合计250150以上题题为例例，求求样本本平均均销售售额和和抽样样平均均误差。。类型抽抽样的的抽样样平均均误差差只取取决于于组内内方差差的平平均水水平，，不受受组间间方差差的影影响。。它小小于简简单随随机抽抽样的的抽样样平均均误差差，因因此在在对总总体进进行分分组时时，应应尽量量扩大大组间间方差差，缩缩小组组内方方差。。（总总方差差＝组组内方方差＋＋组间间方差差）3、整整群抽抽样将总体体各单单位划划分为为许多多群，，然后后随机机抽取取部分分群，，对中中选群群的所所有单单位进进行全全面调调查的的抽样样组织织形式式。将总体体的全全部单单位N划分分成R群，，每群群包括括M个个单位位(假假设每每群的的单位位数是是相等等的)，有有RM=N，从从总体体R群群中随随机抽抽取r群组组成样样本，，并对对中选选的r群的的所有有M单单位进进行调调查。。第i群群样本本平均均数整群抽抽样对对群而而言是是非全全面调调查，，对被被抽中中的群群内单单位而而言是是全面面调查查，因因此，，整群群抽样样的误误差取取决于于群间间差异异，不不受群群内单单位之之间差差异的的影响响，这这就要要求总总体N个单单位所所形成成的各各个群群，尽尽量有有相同同或相相近的的群内内结构构；也也就是是说要要尽量量把总总体方方程转转化为为群内内方差差，缩缩小群群间方方差。。例：某某工厂厂生产产某种种灯泡泡，在在连续续生产产720小小时中，，每隔隔24小时时抽取取1小小时的的全部部产品品加以以检查，，根据据抽样样资料料计算算结果果，灯灯泡平平均使使用寿命1200小小时，，群间间方差差为60小小时，，计算算样本本平均数的抽抽样误差，，并以95％的可靠靠程度推算算该批灯泡的的平均使用用寿命。即该批灯泡泡的平均使使用寿命在在1197.29～～1202.72小小时之间。。4、等距抽样样也称机械抽抽样或系统统抽样。将将总体各单单位按某一一标志进行行排队，然然后依一定定顺序和间间隔抽取样样本单位的的一种抽样样组织形式式。在总体N个个单位按某某一标志排排队后，从从头到尾编编上1至N的号码，，并等分成成n断，每每段含K个个单位，N=nK，，然后在第第一段的K个单位中中随机抽取一一个单位（设为第i号号，））以后每隔k抽取下一一个单位（（如i+K号，i+2K号，，直至i+(n-1)K号),共共n个单位位构成样本本。一共可可抽取K套套样本。无关标志：：和单位标标志值的大大小无关或或不起主要要的影响作用。。如职工家家计调查按按其姓氏笔笔划、家庭庭门牌号等顺序序排队。有关标志：：和单位标标