2011年8月数学建模

第一部分线性规划及其对偶规划§1线性规划问题1.线性规划问题的数学模型例1生产安排问题某工厂有三种原料品，每，其储量分别为170kg，100kg和150kg，现用来生产和两种产单位产品的原料消耗量及各产品的单位利润由下表给出，问工厂在现有资源的条件下，应如何安排生产，可使工厂获利最多？原料产品单价利润52231510元18元资源限额170kg100kg150kg模型建立：引入决策变量：用分别表示和两种产品的产量；确定目标函数：使利润最大。工厂将生产的件产品和件产品全部销售出去，工厂所获得利润为：写出约束条件：资源限制----生产的件产品和件产品消耗资源的数量应≤资源限额本题是求线性目标函数在线性约束下的极值问题，我们称它为线性规划。其数学模型为：例2选用饲料问题某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g蛋白质、30g矿物质、100mg维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg营养成分含量及单价如下表，要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。饲料蛋白质(g)矿物质(g)维生素(mg)价格()1234532161810.51.00.220.20.70.40.30.80.50.220.50.81模型建立：引入决策变量：设每头动物每天需要选用第种饲料；（确定目标函数：使费用最省。当第种饲料选用）时，每头动物每天所需的费用为：写出约束条件：当第种饲料选用生长时一天对蛋白质的营养需求，即有同理有（）时，其蛋白质含量应满足动物；决策变量的非负约束：本题的数学模型为：例3糖果产品的生产安排问题某糖果厂用三种原料A、B、C加工成三种糖果产品甲、乙、丙。已知各种糖果产品中A、B、C的含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种糖果产品的单位加工费及单位售价如下表所示。问该厂每月应生产这三种糖果产品各多少千克，使该厂获利最大？原料成本（元⁄千克）丙每月限制用量（千克）糖果产品乙甲ABC2.001.501.00200025001200原料≥60%≤20%≥15%≤60%≤50%加工费（元⁄千克）售价（元⁄千克）0.503.400.402.850.302.25模型建立（假设三种原料在加工过程没有损耗）引入决策变量：设该厂每月生产的甲种糖果中用掉原料A、B、C的数量依次为用千克；每月生产的乙种糖果中用掉原料A、B、C的数量依次为千克；每月生产的丙种糖果中用掉原料A、B、C的数量依次为确定目标函数：工厂每月所获得利润最大千克。2写出约束条件：每种糖果产品中所含原料的成份要求甲种糖果产品中，原料A的成份不低于60%，因此有同理有：各种原料的每月限制用量：；；决策变量的非负限制：例4杂粮的买进卖出问题某贸易公司专门经营某种杂粮的批发业务。公司现有库容5000担的仓库。一月一日，公司拥有库存1000担杂粮，并有资金20000百元。估计第一季度杂粮价格如下表。如买进的杂粮当月到货，但需到下月才能卖出，且规定货到付款。公司希望本季度末库存为2000担，问应采取什么样的买进与卖出策略才能使三个月的总利润最大？月份一月二月三月进货价（百元）出货价（百元）2.853.052.903.103.252.95模型建立（模型假定：假定每个月是先出货，再进货。）引入决策变量：设为每月买进的杂粮担数，为每月卖出的杂粮担数确定目标函数：三个月的总利润写出约束条件：存货限制资金限制；库容限制期末库存决策变量的非负约束：例5人员安排问题某昼夜服务的公交线路每天各时间区段所需司机和乘务员的人数如下表，设司机和乘务员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作八个小时，问该公交线路至少需要配备多少名司机和乘务人员？3班次时间所需人数1234566:00~10:0010:00~14:0014:00~18:0018:00~22:0022:00~2:002:00~6:00607060502030模型建立引入决策变量：用表示有名司机和乘务人员在第班次开始时上班；确定目标函数：使配备的司机和乘务员总人数最少，即写出约束条件：为保证第1班所需的司机和乘务员人数，应有，，，，；决策变量的非负约束：2.线性规划问题的标准形式对于具体的线性规划