由巳知分布的随机抽样

第三章由已知分布的随机抽样随机抽样及其特点直接抽样方法挑选抽样方法复合抽样方法复合挑选抽样方法替换抽样方法随机抽样的一般方法随机抽样的其它方法作业第三章由已知分布的随机抽样本章叙述由己知分布抽样的各主要方法，并给出在粒子输运问题中经常用到的具体实例。随机抽样及其特点

由巳知分布的随机抽样指的是由己知分布的总体中抽取简单子样。随机数序列是由单位均匀分布的总体中抽取的简单子样，属于一种特殊的由已知分布的随机抽样问题。本章所叙述的由任意已知分布中抽取简单子样，是在假设随机数为已知量的前提下，使用严格的数学方法产生的。为方便起见，用XF表示由己知分布F(x)中产生的简单子样的个体。对于连续型分布，常用分布密度函数f(x)表示总体的己知分布，用Xf表示由己知分布密度函数f(x)产生的简单子样的个体。另外，在抽样过程中用到的伪随机数均称随机数。直接抽样方法

对于任意给定的分布函数F(x)，直接抽样方法如下：其中，ξ1，ξ2，…，ξN为随机数序列。为方便起见，将上式简化为：若不加特殊说明，今后将总用这种类似的简化形式表示，ξ总表示随机数。证明

下面证明用前面介绍的方法所确定的随机变量序列X1，X2，…，XN具有相同分布F(x)。对于任意的n成立，因此随机变量序列X1，X2，…，XN具有相同分布F(x)。另外，由于随机数序列ξ1，ξ2，…，ξN是相互独立的，而直接抽样公式所确定的函数是波雷尔（Borel）可测的，因此，由它所确定的X1，X2，…，XN也是相互独立的（[P.R.Halmos,Measuretheory,N.Y.VonNosrtand,1950]§45定理2）。离散型分布的直接抽样方法对于任意离散型分布：其中x1，x2，…为离散型分布函数的跳跃点，P1，P2，…为相应的概率，根据前述直接抽样法，有离散型分布的直接抽样方法如下：该结果表明，为了实现由任意离散型分布的随机抽样，直接抽样方法是非常理想的。例1.二项分布的抽样二项分布为离散型分布，其概率函数为：其中，P为概率。对该分布的直接抽样方法如下：例2.泊松(Possion)分布的抽样泊松(Possion)分布为离散型分布，其概率函数为：其中，λ>0。对该分布的直接抽样方法如下：例3.掷骰子点数的抽样掷骰子点数X=n的概率为：选取随机数ξ，如则在等概率的情况下，可使用如下更简单的方法：其中［］表示取整数。例4.碰撞核种类的确定中子或光子在介质中发生碰撞时，如介质是由多种元素组成，需要确定碰撞核的种类。假定介质中每种核的宏观总截面分别为Σ1，Σ2，…，Σn，则中子或光子与每种核碰撞的概率分别为：其中Σt＝Σ1＋Σ2＋…＋Σn。碰撞核种类的确定方法为：产生一个随机数ξ，如果则中子或光子与第I种核发生碰撞。例5.中中子子与核核的反反应类类型的的确定定假设中中子与与核的的反应应类型型有如如下几几种:弹性性散射射，非非弹性性散射射，裂裂变，，吸收收，相相应的的反应应截面面分别别为Σel，Σin，Σf，Σa。则发发生每每一种种反应应类型型的概概率依依次为为：：其中反反应总总截面面Σt＝Σel＋Σin＋Σf＋Σa。反应类类型的的确定定方法法为：：产生生一个个随机机数ξ连续型型分布布的直直接抽抽样方方法对于连连续型型分布布，如如果分分布函函数F(x)的的反函函数F－1(x)存在在，则则直接接抽样样方法法是：：例6.在在［［a，，b］］上均均匀分分布的的抽样样在［a，b］上上均匀匀分布布的分分布函函数为为：则例7.β分布布β分布布为连连续型型分布布，作作为它它的一一个特特例是是：其分布布函数数为：：则例8.指数分分布指数分分布为为连续续型分分布，，其一一般形形式如如下：：其分布布函数数为：：则因为1－ξ也是随随机数数，可可将上上式简简化为为连续性性分布布函数数的直直接抽抽样方方法对对于分分布函函数的的反函函数存存在且且容易易实现现的情情况，，使用用起来来是很很方便便的。。但是是对于于以下下几种种情况况，直直接抽抽样法法是不不合适适的。。分布函函数无无法用用解析析形式式给出出，因因而其其反函函数也也无法法给出出。分布函函数可可以给给出其其解析析形式式，但但是反反函数数给不不出来来。分布函函数即即使能能够给给出反反函数数，但但运算算量很很大。。下面叙叙述的的挑选选抽样样方法法是克克服这这些困困难的的比较较好的的方法法。挑选抽抽样方方法为了实实现从从己知知分布布密度度函数数f(x)抽样样，选选取与与f(x)取值值范围围相同同的分分布密密度函函数h(x)，如如果则挑选选抽样样方法法为：：>即从h(x)中抽抽样xh，以的的概率率接受受它。。下面证证明xf服从分分布密密度函函数f(x)。证明：：对于于任意意x使用挑挑选抽抽样方方法时时，要要注意意以下下两点点：选选取h(x)时要要使得得h(x)容易易抽样样且M的值要要尽量量小。。因为为M小能提提高抽抽样效效率。。抽样样效率率是指指在挑挑选抽抽样方方法中中进行行挑选选时被被选中中的概概率。。按此此定义义，该该方法法的抽抽样效效率E为：所以，，M越小，，抽样样效率率越高高。当f(x)在［0，1］上定定义时时，取取h(x)=1，Xh=ξ，此时挑挑选抽抽样方方法为为>例9.圆内均均匀分分布抽抽样令圆半半径为为R0，点到到圆心心的距距离为为r，则r的分布布密度度函数数为分布函函数为为容易知知道，，该分分布的的直接接抽样样方法法是由于开开方运运算在在计算算机上上很费费时间间，该该方法法不是是好方方法。。下面面使用用挑选选抽样样方法法：取取则抽样样框图图为＞≤显然，，没有有必要要舍弃弃ξ1＞ξ2的情况况，此此时，，只需需取就就可以以了，，亦即即另一方方面，，也可可证明明与与具具有相相同的的分布布。。复合抽抽样方方法在实际际问题题中，，经常常有这这样的的随机机变量量，它它服从从的分分布与与一个个参数数有关关，而而该参参数也也是一一个服服从确确定分分布的的随机机变量量，称称这样样的随随机变变量服服从复复合分分布。。例如如，分分布密密度函函数是一个个复合合分布布。其其中Pn≥0，，n=1，，2，，…，，且fn(x)为与与参数数n有关的的分布布密度度函数数，n=1，，2，，…，，参数n服从如如下分分布复合分分布的的一般般形式式为：：其中f2(x/y)表示示与参参数y有关的的条件件分布布密度度函数数，F1(y)表示示分布布函数数。复合分分布的的抽样样方法法为:首先先由分分布函函数F1(y)或或分布布密度度函数数f1(y)中抽抽样YF1或Yf1，然后后再由由分布布密度度函数数f2(x/YF1)中抽抽样确确定Xf2(x/YF)证明：：所以，，Xf所服从从的分分布为为f(x)。例10.指数函函数分分布的的抽样指数函函数分分布的的一般般形式式为：：引入如如下两两个分分布密密度函函数：：则使用复复合抽抽样方方法，，首先先从f1(y)中抽抽取y再由f2(x/YF1)中抽抽取x复合挑挑选抽抽样方方法考虑另另一种种形式式的复复合分分布如如下：：其中0≤H(x,y)≤M，f2(x/y)表示示与参参数y有关的的条件件分布布密度度函数数，F1(y)表示示分布布函数数。抽抽样方方法如如下：：>证明：抽样效率为为：E=1/M为了实现某某个复杂的的随机变量量y的抽样，将将其表示成成若干个简简单的随机机变量x1，x2，…，xn的函数得到x1，x2，…，xn的抽样后，，即可确定定y的抽样，这这种方法叫叫作替换法法抽样。即即替换抽样方方法例11.散射方位角角余弦分布布的抽样散射方位角角φ在［0,2π］上均均匀分布，，则其正弦弦和余弦sinφ和cosφ服从如下分分布：直接抽样方方法为：令φ=2θ，则θ在［0,ππ］上均匀匀分布，作作变换其中0≤ρ≤1，0≤≤ρ≤π，则(x,y)表示上上半个单位位圆内的点点。如果(x,y)在上半半个单位圆圆内均匀分分布，则θ在［0,ππ］上均匀匀分布，由由于因此抽样sinφ和cosφ的问题就变变成在上半半个单位圆圆内均匀抽抽样(x,y)的问题题。为获得上半半个单位圆圆内的均匀点，，采用挑选选法，在上半个单位位圆的外切切矩形内均匀投点（（如图）。。舍弃圆外的的点，余下下的就是所所要求的点点。抽样方法为为：抽样效率E=π/4≈≈0.785>为实现散射射方位角余余弦分布抽抽样，最重重要的是在在上半个单单位圆内产产生均匀分分布点。下下面这种方方法，首先先在单位圆圆的半个外外切正六边边形内产生生均匀分布布点，如图图所示。于是便有了了抽样效率率更高的抽抽样方法：：抽样效率>≤例12.正态分布的的抽样标准正态分分布密度函函数为：引入一个与与标准正态态随机变量量X独立同分布布的随机变变量Y，则（X,Y）的联合分分布密度为为：作变换则（ρ,φ）的联合分分布密度函函数为：由此可知，，ρ与φ相互独立，，其分布密密度函数分分别为分别抽取ρ，φ：从而得到一一对服从标标准正态分分布的随机机变量X和Y：对于一般的的正态分布布密度函数数N(μ,σ2)的抽样样，其抽样样结果为：：例13.β分布的抽样β分布密度函函数的一般般形式为：：其中n，k为整数。为为了实现β分布的抽样样，将其看看作一组简简单的相互互独立随机机变量的函函数，通过过这些简单单随机变量量的抽样，，实现β分布的抽样样。设x1，x2，…，xn为一组相互互独立、具具有相同分分布F(x)的随机机变量，ζk为x1，x2，…，xn按大小顺序序排列后的的第k个，记为：：则ζk的分布函数数为：当F(x)=x时，不难验证，，ζk的分布密度度函数为β分布。因此此，β分布的抽样样可用如下下方法实现现：选取n个随机数，，按大小顺顺序排列后后取第k个，即随机抽样的的一般方法法加抽样方法法减抽样方法法乘抽样方法法乘加抽样方方法乘减抽样方方法对称抽样方方法积分抽样方方法加抽样方法法加抽样方法法是对如下下加分布给给出的一种种抽样方法法：其中Pn≥0，，且fn(x)为与参数数n有关的分布布密度函数数，n=1，2，，…。由复合分布布抽样方法法可知，加加分布的抽抽样方法为为:首先抽抽样确定n’，然后由fn’(x)中抽样x，即：例14.多项式分布布抽样多项式分分布密度度函数的的一般形形式为：：将f(x)改写写成如下下形式：：则该分布布的抽样样方法为为：例15.球壳内均均匀分布布抽样设球壳内内半径为为R0，外半径径为R1，点到球球心的距距离为r，则r的分布密密度函数数为分布函数数为该分布的的直接抽抽样方法法是为避免开开立方根根运算，，作变换换：则x∈[0,1]，，其分布布密度函函数为：：其中则x及r的抽样方方法为：：≤≤>>减抽样方方法减抽样方方法是对对如下形形式的分分布密度度所给出出的一种种抽样方方法：其中A1、A2为非负实实数，f1(x)、f2(x)均为分分布密度度函数。。减抽样方方法分为为以下两两种形式式：以上两种种形式的的抽样方方法，究究竟选择择哪种好好，要看看f1(x)、f2(x)哪一个个容易抽抽样，如如相差不不多，选选用第一一种方法法抽样效效率高。。（1）将将f(x)表示为为令m表示f2(x)／f1(x)的下界界，使用用挑选法法，从f1(x)中抽取取Xf1抽样效率率为：>（2）将将f(x)表示为为使用挑选选法，从从f2(x)中抽取取Xf2抽样效率率为：>例16.β分布抽抽样β分布的的一个特特例：取A1＝2，A2＝1，f1(x)＝1，，f2(x)＝2x，此时m＝0，则则根据第第一种形形式的减减抽样方方法，有有或＞≤＞≤由于1－－ξ1可用ξ1代替，该该抽样方方法可简简化为：：对于ξ2＞ξ1的情况，，可取Xf＝ξ1，因此与β分布布的推论论相同。。＞≤如下形式式的分布布称为乘乘分布：：其中H(x)为非负负函数，，f1(x)为任意意分布密密度函数数。令M为H(x)的上界界，乘抽抽样方法法如下：：抽样效率率为：乘抽样方方法≤＞例17.倒数分布布抽样倒数分布布密度函函数为：：其直接抽抽样方法法为：下面采用用乘抽样样方法，，考虑如如下分布布族：其中i=1，，2，……，该分分布的直直接抽样样方法为为：利用这一一分布族族，将倒倒数分布布f(x)表示示成:其中，乘法分布布的抽样样方法如如下:该分布的的抽样效效率为：：＞≤例18.麦克斯韦韦(Maxwell)分布抽抽样麦克斯韦韦分布密密度函数数的一般般形式为为：使用乘抽抽样方法法，令该分布的的直接抽抽样方法法为：此时则麦克斯斯韦分布布的抽样样方法为为:该分布的的抽样效效率为：：＞≤在实际问问题中，，经常会会遇到如如下形式式的分布布：其中Hn(x)为非负负函数，，fn(x)为任任意分布布密度函函数，n=1，2，…。。不失一一般性，，只考虑虑n=2的情情况：将f(x)改写写成如下下的加分分布形式式：乘加抽样样方法其中乘加抽样样方法为为：该方法的的抽样效效率为：：>>>≤这种方法法需要知知道P1的值(P2=1－P1），这对对有些分分布是很很困难的的。下面面的方法法可以不不用计算算P1：对于任意意小于1的正数数P1，令P2=1－P1；则采用复复合挑选选抽样方方法，有有：当取时，抽样样效率最最高这时，乘乘加抽样样方法为为：>>>≤由于可知第一一种方法法比第二二种方法法的抽样样效率高高。例19.光子散射射后能量量分布的的抽样令光子散散射前后后的能量量分别为为和（（以m0c2为单位，，m0为电子静静止质量量，c为光速）），，，则x的分布密密度函数数为：该分布即即为光子子散射能能量分布布，它是是由著名名的Klin－Nishina公式确定定的。其其中K(α)为归归一因子子：把光子散散射能量量分布改改写成如如下形式式：在［1,1+2α］上定义如下下函数:则有使用乘加抽样样方法：光子散射能量量分布的抽样样方法为：该方法的抽样样效率为：＞＞＞≤≤≤乘减分布的形形式为：其中H1(x)、H2(x)为非负函数数，f1(x)、f2(x)为任意分分布密度函数数。与减抽样方法法类似，乘减减分布的抽样样方法也分为为两种。乘减抽样方法法（1）将f(x)表示为令H1(x)的上界为M1，的的下下界为m，使用乘抽样方法得到如如下乘减抽样样方法：>（2）将f(x)表示为令H2(x)的上界为M2，使用乘抽样样方法，得到到另一种乘减减抽样方法：：>例20.裂变中子谱分分布抽样裂变中子谱分分布的一般形形式为：其中A，B，C，Emin，Emax均为与元素有有关的量。令令其中λ为归一因子，，γ为任意参数。。相应的H1(E)，H2(E)为：于是裂变中子子谱分布可以以表示成乘减减分布形式:容易确定H1(E)的上界为为：为提高抽样效效率，应取γ使得M1达到最小，此此时取m＝0，令则裂变中子谱谱分布的抽样样方法为:抽样效率＞≤对称分布的一一般形式为：：其中中f1(x)为为任任意意分分布布密密度度函函数数，，满满足足偶偶函函数数对对称称条条件件，，H(x)为为任任意意奇奇函函数数，，即即对对任任意意x满足足：：对称称分分布布的的抽抽样样方方法法如如下下：：取取η=2ξ－1对称称抽抽样样方方法法>≤证明明：：因为为η=2ξ－1，，η≤x相当当于于ξ≤，，因因此此例21.质心心系系各各向向同同性性散散射射角角余余弦弦分分布布抽抽样样在质质心心系系各各向向同同性性散散射射的的假假设设下下，，为为得得到到实实验验室室系系散散射射角角余余弦弦，，需需首首先先抽抽样样确确定定质质心心条条散散射射角角余余弦弦：：再利利用用下下面面转转换换公公式式:得到到实实验验室室系系散散射射角角余余弦弦μL。其其中中A为碰碰撞撞核核质质量量，，θC、θL分别别为为质质心心系系和和实实验验室室系系散散射射角角。。为避避免免开开方方运运算算，，可可以以使使用用对对称称分分布布抽抽样样。。根据据转转换换公公式式可可得得：：依照照质质心心系系散散射射各各向向同同性性的的假假定定，，可可得得到到实实验验室室系系散散射射角角余余弦弦μL的分分布布如如下下：：该密密度度函函数数中中的的第第一一项项为为偶偶函函数数，，第第二二项项为为奇奇函函数数，，因因而而是是对对称称分分布布。。其其中中从f1(μL)的的抽抽样样可可使使用用挑挑选选法法然后后再再以以的概概率率决决定定接接受受或或取取负负值值。。上述述公公式式涉涉及及开开方方运运算算，，需需要要进进一一步步简简化化。。＞≤注意意以以下下事事实实：：对对于于任任意意0≤≤a≤1令则上上述述挑挑选选抽抽样样中中的的挑挑选选条条件件简简化化为为：：另一一方方面面，，在在即即的的条条件件下下，，η2/a在［［－－1,1］］上上均均匀匀分分布布，，故故可可令令η＝η2/a，则则最最终终决决定定取取正正负负值值的的条条件件简简化化为为：：于是是，，得得到到质质心心系系各各向向同同性性散散射射角角余余弦弦分分布布的的抽抽样样方方法法为为：：＞≤＞≤如下下形形式式的的分分布布密密度度函函数数称为为积积分分分分布布密密度度函函数数，，其其中中f0(x，y)为为任任意意二二维维分分布布密密度度函函数数，，H(x)为为任任意意函函数数。。该该分分布布密密度度函函数数的的抽抽样样方方法法为为：：积分分抽抽样样方方法法>证明明：：对对于于任任意意x例22.各向向同同性性散散射射方方向向的的抽抽样样为了了确确定定各各向向同同性性散散射射方方向向，，根根据据公公式式：：对于于各各向向同同性性散散射射，，cosθ在［［－－1,1］］上上均均匀匀分分布布，，φ在［［0,2ππ］］上上均均匀匀分分布布。。由由于于直接接抽抽样样需需要要计计算算三三角角函函数数和和开开方方。。定义义两两个个随随机机变变量量：：可以以证证明明，，当当时时，，随随机机变变量量x和y服从从如如下下分分布布:定义义区区域域为为：：则w＝cosθ的分分布布可可以以用用上上述述分分布布表表示示成成积积分分分分布布的的形形式式：：令，，则则属属于于上上述述积积分分限限内内的的y一定定满满足足条件件。。各向向同同性性散散射射方方向向的的抽抽样样方方法法为为：：抽样样效效率率为为：：＞≤随机机抽抽样样的的其其它它方方法法偏倚倚抽抽样样方方法法近似似抽抽样样方方法法近似似-修修正正抽抽样样方方法法多维维分分布布抽抽样样方方法法指数数分分布布的的抽抽样样使用用蒙蒙特特卡卡罗罗方方法法计计算算积积分分时，，可可考考虑虑将将积积分分I改改写写为为其中中f*(x)为为一一个个与与f(x)有有相相同同定定义义域域的的新新的的分分布布密密度度函函数数。。于于是是可可以以这这样样计计算算积积分分I：这里里Xi是从从f*(x)中中抽抽取取的的第第i个子子样样。。偏移移抽抽样样方方法法由此此可可以以看看出出，，原原来来由由f(x)抽抽样样，，现现改改为为由由另另一一个个分分布布密密度度函函数数f*(x)抽抽样样，，并并附附带带一一个个权权重重纠纠偏偏因因子子这种种方方法法称称为为偏偏倚倚抽抽样样方方法法。。从f(x)中中抽抽取取的的Xf，满满足足而对对于于偏偏倚倚抽抽样样，，有有一般般情情况况下下，，Xf是具具有有分分布布f(x)总总体体的的简简单单子子样样的的个个体体，，只只代代表表一一个个。。Xf*是具具有有分分布布f*(x)总总体体的的简简单单子子样样的的个个体体，，但但不不代代表表一一个个，，而而是是代代表表W(Xf*)个个，这这时Xf*是带权权W(Xf*)服从从分布布f(x)。。在实际际问题题中，，分布布密度度函数数的形形式有有时是是非常常复杂杂的，，有些些甚至至不能能用解解析形形式给给出，，只能能用数数据或或曲线线形式式给出出。如如中子子散射射角余余弦分分布多多数是是以曲曲线形形式给给出的的。对对于这这样的的分布布，需需要用用近似似分布布密度度函数数代替替原来来的分分布密密度函函数，，用近似似分布布密度度函数数的抽抽样代代替原原分布布密度度函数数的抽抽样，这种种方法法称为为近似似抽样样方法法。近似抽抽样方方法设fa(x)≈≈f(x)，即即fa(x)是是f(x)的的一个个近似似分布布密度度函数数。对对于阶阶梯近近似，，有其中，，x0，x1，…，，xn为任意意分点点。在在此情情况下下，近近似抽抽样方方法为为：或阶梯近近似对于梯梯形近近似，，有其中，，c为归一一因子子，fi＝f(xi)，，x0，x1，…，，xn为任意意分点点。根根据对对称抽抽样方方法，，梯形形近似似抽样样方法法为：：梯形近近似＞≤除了上上述这这种近近似外外，近近似抽抽样方方法还还包括括对直直接抽抽样方方法中中分布函函数反反函数数的近近似处处理，以及及用具具有近似分分布的的随机机变量量代替替原分分布的的随机机变量量。例23.正态分分布的的近似似抽样我们知知道，，随机机数ξ的期望望值为为1/2，方方差为为1/12，，则随随机变变量渐近正正态分分布，，因此此，当当n足够大大时便便可用用Xn作为正正态分分布的的近似似抽样样。特特别是是n＝12时时，有有对于任任意分分布密密度函函数f(x)，，设fa(x)是是f(x)的的一个个近似似分布布密度度函数数，它它的特特点是是抽样样简单单，运运算量量小。。令则分布布密度度函数数f(x)可可以表表示为为乘加加分布布形式式：其中H1(x)为为非负负函数数，f1(x)为为一分分布密密度函函数。。对f(x)而而言，，fa(x)是是它的的近似似分布布密度度函数数，而而H1(x)f1(x)正好好是这这种近近似的的修正正。近似-修正正抽样样方法法近似-修正正抽样样方法法如下下：抽样效效率由上述述近似似-修修正抽抽样方方法可可以看看出，，如果果近似似分布布密度度函数数fa(x)选选得好好，m接近1，这时时有很很大可可能直直接从从fa(x)中中抽取取Xfa，而只只有很很少的的情况况需要要计算算与f(x)有有关的的函数数H1(Xf1)。在在乘抽抽样方方法中中，每每一次次都要要计算算H(Xfa)＝f(Xfa)／fa(Xfa)。因因此，，当f(x)比比较复复杂时时，近近似-修正正抽样样方法法有很很大好好处。。≤≤＞＞例24.裂变中中子谱谱分布布的近近似-修正正抽样样裂变中中子谱谱分布布的一一般形形式为为：其中A，B，C，Emin，Emax均为与与元素素有关关的量量。对于铀铀-235，A=0.965，，B=2.29，C=0.453，，Emin=0，，Emax=∞。。若采用用乘减减抽样样方法法，其其抽样样效率率约为为0.5。。令相应的的则从fa(x)的的抽样样为从f1(x)的的抽样样为参数λ的确确定定，，使使1－－Aλλ＞0，，且且使使H1(E)的的上上界界M1最小小。。裂裂变变中中子子谱谱的的近近似似修修正正抽抽样样方方法法为为对于于铀铀-235，，m≈0.8746，，M≈0.2678，，λ≈0.5543，，抽抽样样效效率率E≈0.9333。。而而且且近近似似修修正正抽抽样样方方法法有有0.8746的的概概率率直直接接用用近近似似分分布布抽抽样样，，只只计计算算一一次次对对数数。。因因此此，，较较之之乘乘