2014届高考数学一轮检测“考黄金”精讲精析人教版：第5讲函数与方程函数模型及其应用

【考点5】函数与方程、函数模型及其应用2013年考题 1.（2013福建高考）函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x.0的方程的解集不可能是（）A.BCD【解析】选D.本题用特例法解决简洁快速，对方程中分别赋值求出检验即得.2.（2013福建高考）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是（）A.B.C.D.【解析】选A.的零点为x=,的零点为x=1,的零点为x=0,的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)=-1,g()=1,所以g(x)的零点x(0,),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合。3.（2013海南宁夏高考）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f（x）=min{,x+2,10-x}(x0),则f（x）的最大值为（）A.4B.5C.6D.7【解析】选C.画出y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的图象，如右图，观察图象可知，当0≤x≤2时，f（x）＝2x，当2≤x≤3时，f（x）＝x＋2，当x＞4时，f（x）＝10－x，f（x）的最大值在x＝4时取得为6，故选C。4.（2013湖南高考）设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数取函数。当=时，函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．【解析】选C.函数，作图易知，故在上是单调递增的.5.（2013江西高考）设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为（）A．B．C．D．不能确定【解析】选B.设为和轴的交点，则在D内由题意得，，，。6、（2013重庆高考）已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（）A． B． C． D．【解析】选B.因为当时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得令由同样因为与第三个椭圆无公共点，由可计算得综上知7.（2013山东高考）若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.【解析】设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点,就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是答案：8.（2013山东高考）已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则【解析】因为是定义在R上的奇函数，且满足,所以。所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知，所以答案：-89.（2013上海高考）已知对于任意实数，函数满足.若方程有2013个实数解，则这2013个实数解之和为.【解析】由奇函数的性质得f(0)=0,其余2012个实数解互为相反数，则这2013个实数解之和为0。答案：0.10.（2013山东高考）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。ABABCx方法一（1）如图,由题意知AC⊥BC,,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为（2）,,令得,所以,即,当时,,即所以函数为单调减函数,当时,,即所以函数为单调增函数.所以当时,即当C点到城A的距离为时,函数有最小值.方法二（1）同上.（2）设,则,,所以当且仅当即时取”=”.下面证明函数在(0,160)上为减函数,在(160,400)上为增函数.设0<m1<m2<160,则,因为0<m1<m2<160,所以4>4×240×2409m1m2<9×160×160,所以,所以即所以函数在(0,160)上为减函数.同理,证明函数在(160,400)上为增函数,设160<m1<m2<400,则因为1600<m1<m2<400,所以4<4×240×240,9m1m2>9×160×160所以,所以即所以函数在(160,400)上为增函数.所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.11.（2013上海高考）有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。证明：当时，掌握程度的增加量总是下降；根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,,。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。【解析】（1）当而当，函数单调递增，且>0……..3分故单调递减当，掌握程度的增长量总是下降……………..6分（2）由题意可知0.1+15ln=0.85…….9分整理得解得…….13分由此可知，该学科是乙学科……………..14分w.w.w.2012年考题1.（2012广东高考）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则,令得当时，；当时，因此当时，f（x）取最小值；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。BCDABCDAOP（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设（rad），将表示成的函数；（ii）设（km），将表示成的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。【解析】（1）（i）由条件知做PQ垂直平分AB，交AB于点Q，若∠BAO=(rad)，则,故，又OP＝，所以，所求函数关系式为（ii）若OP=(km)，则OQ＝10－，所以OA=OB=所求函数关系式为（2）选择函数模型（i），令0得sin，因为，所以=，当时，，是的减函数；当时，，是的增函数，所以当=时，。这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边km处。2011年考题1.（2011湖南高考）函数的图象和函数的图象的交点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解析】选B.由图像易知交点共有3个。2.（2011安徽高考）定义在R上的函数f(x)既是奇函数,又是周期函数,T是它的一个正周期.若将方程f(x)=0在闭区间[-T,T]上的根的个数记为n,则n可能为（）A.0 B.1 C.3 D.5【解析】选D定义在R上的函数是奇函数，，又是周期函数，是它的一个正周期，∴，，∴，则可能为5。SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（毫克）SKIPIF1<0（小时）已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为 ；（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．【解析】（I）由题意和图示可知，当时，可设（为待定系数），由于点在直线上，；同理，当时，可得（II）由题意可得，即得或或，由题意知至少需要经过小时后，学生才能回到教室．答案：（I）（II） 4.（2011上海高考）某工程由四道工序组成，完成它们需用时间依次为天．四道工序的先后顺序及相互关系是：可以同时开工；完成后，可以开工；完成后，可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序需要的天数最大是．【解析】因为完成后，才可以开工，C完成后，才可以开工，完成A、C、D需用时间依次为天，且可以同时开工，该工程总时数为9天，。答案：35.（2011上海高考）方程的解是【解析】（舍去），。答案：6.（2011上海高考）方程的解是．【解析】答案：7.（2011广东高考）已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.【解析】(1)若,,显然在上没有零点,所以.(2)若令,解得①当时,恰有一个零点在上;②当，即时，在上也恰有一个零点.③当在上有两个零点时,则或解得或综上所求实数的取值范围是.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<08.（2011北京高考）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0