变化率与导数的导学案

《函数的平均变化率》导学案恩施市第一高级中学高二年级理科数学 严新国执笔【课程学习目标】1、知识与技能：（1）通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；（2）理解导数概念和几何意义，能用定义求解简单函数的导函数，会求曲线在某点处的切线。2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣。二、重点、难点：重点：导数概念的形成，导数内涵的理解；难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点【知识体系探究】探究（一）平均变化率问题1:有关气球膨胀率我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程。开始可以轻松的吹进气体，并且气球半径增加的较快；随着气球的变大，吹进一口气往往要使出吃奶的力气，气球大小变化却不明显。也就是说随着气球内空气容量的增加 ，气球的半径增加越来越慢.思考1.你能用所学的数学知识解释这个现象吗？ 我们先研究当气球的体积增加1L时，气球半径半径的变化情况。思考2.当气球的容量V1增加到V2时，气球的半径增大的幅度是如何变化的?气球的平均膨胀率是多少？问题2:有关高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=-4.9t2+6.5t+10.思考1:如何用运动员在0WtW0.5和1MtW2时的平均速V度粗略地描述其运动状态？

65思考2:上面计算了两个时间段运动员的平均速度，下面在计算0EtM上这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内是静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？知识归纳：.把上述问题进行推广，对于函数y=f(x)中的变化率问题可以用式子来表示。对于函数y=f(x),我们把称为y=f(x)从〜到x2的平均变化率。若设|_x=x2-x1，」y=f(x2)-f(xi),平均变化率可表示为里二f.2)f(x1x x2-xi.求函数平均变化率的步骤:.思考：观察函数f(x)的图象平均变化率—=f(x2)-f(xi)表示什x x2-xi么？【基础学习交流与方法技巧探究】练习1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Ax,_2+与)，贝微=练习2.求y=x2在x=xo附近的平均变化率变式题：.质点运动规律为s=t2+3,则在时间(3,3+At)中相应的平均速度为..物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动，求在4s附近的平均变化率..过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Ax,1+Ay)作曲线的割线，求出当Ax=0.1时割线的斜率.探究(二)导数的概念问题：通过探究(一)的学习我们认识到：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态.②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；如：在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间t(单位：s)存在关系h(t)=T.9t2+6.5t+10,那么我们就会计算任意一段的平均速度V,通过平均速度V来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？(瞬时速度的概念：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度)动手尝试：求高台跳水运动员在2秒时的瞬时速度△t<0时，透+&,2段段时间内△tA0时，在b,2+&］这段时间内h（2）-h（2+&）4.9At2+13.1&\i— —,h（2+At）-h⑵-4.9At2-13.Ut\i— —v— —2-（2+&） -At=-4.9At-13.1v— ——（2+At）-2 At=-4.9阳-13.1当N=—0.01时，v=当At=0.01时，v=当川=—0.001时，v=当N=0.001时，v=当川=—0.0001时，v=当N=0.0001时，v=当川=—0.00001时，当』=0.00001时，v=当事=—0.000001时，当At=0.000001时，v=000000000000思考1:关于这些数据，下面的判断对吗?(1)当川趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是t从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1m/s。(2)靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段6十&,2】上的平均速(3)靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段 b,2+加］上的平均速度；(4)-13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1m/So思考2:跳水运动员在2秒时的瞬时速度与其平均速度之间有何关系？如何用符号表示？跳水运动员在t=t0的瞬时速度如何表示？思考3:瞬时变化率与平均变化率的关系是怎样的？函数y=f(x汽x=x。处的瞬时变化率如何表示？知识归纳：函数y=f(x) 在x=xo处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数y=f(才我x=xo处的 .记作,、，「frf(xo x)-f(xo)即f区=1&瓦=购 q 。附注：①导数即为函数y=f(x)在x=xo处的;②定义的形式可以有哪些变化？③求函数y=f(x班x=x。处的导数步骤：。【基础学习交流与方法技巧探究】练习1(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=T附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.

练习2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度(单位：SC)为f(x)=x2—7x+15(0ExE8),计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.变式训练：1.质点运动规律为s=t2+3,求质点在t=3的瞬时速度..求曲线y=f(x)=x3在x=1时的导数..例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.探究(三)导数的几何意义问题1：如图，当再区,f区))(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0)).⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？⑵切线PT的斜率k为多少？问题2:观察图形，(1)此处的切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？(2)曲线在某点处的切线有哪些特点？(3)如何求过曲线在某点处的切线的斜率呢？与所学的“导数”有什么关系?知识归纳：导数的几何意义:【基础学习交流与方法技巧探究】练习1(1)求抛物线y=x2过点(1,1)的切线方程。(2)求双曲线y=1过点(2,J)的切线方程。•X 25(3)求抛物线y=x过点(2，6)的切线万程。练习2.(1)如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数力①=制宪'+6$+10的图象.根据图象，请描述、比较曲线设)在％A附近的变化情况.(2)如图，它表示人体血管中药物浓度“川)(单位：嘴/柯)随时问t(单位:min)变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)思考：1.由函数f(x)在X=Xo处求导数的过程可以看到，当时，f'(x0)是一个确定的数，那么，当x变化时，f(x)是否构成了一个函数？为什么？

2.讨论函数f(x)在点X0处的导数r(x。)、导函数「(x)、导数之间的区别与联系知识归纳：导函数的形式： 【学习小结】.平均变化率如何计算？瞬时变化率与平均变化率的关系是怎样的？如何用符号表示？.导数与瞬时变化率的关系是怎样的？如何用符号表示？.求函数y=f(x而x=x。处的导数步骤：“一差；二比；三极限”.导数的几何意义是什么？.函数f(x)在点x。处的导数f'(x0)、导函数f'(x)、导数之间的区别与联系是什么？.知识探究中你体会了哪些数学思想？AR,AR,则球的体积增加 Ay约等于1将半径为R的球加热，若球的半径增加D.4冗RAR△s,那么鸡QA.—R3AR B.4D.4冗RAR△s,那么鸡Q3.一直线运动的物体，从时间 t到t+N时，物体的位移为()A.从时间t到t+N时，物体的平均速度； B.在t时刻时该物体的瞬时速度；C.当时间为N时物体的速度； D.从时间t至此十^t时物体的平均速度..在曲线y=2x2—1的图象上取一点(1,1)及邻近一点(1+Ax,1+Ay),则鱼xTOC\o"1-5"\h\z等于( )A.4Ax+2Ax2 B.4+2AxC.4Ax+Ax2D.4+Ax.若曲线y=f(x)在点(xo,f(x。))处的切线方程为2x+y-1=0,则( )A.f'(xo)>O B.f'(xo)<OC.f'(xo)=O D.f'(xo)不存在.已知命题p:函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q:函数y=f(x)是一次函数,则命题p是命题q的( )A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件.设函数f(x)在X0处可导，则，(x0+h)；f(x0-h)等于( )Af(xo) B.0 C.2f'(xo) D.—2f'(xo).若曲线上每一点处的切线都平行于x轴，则此曲线的函数必是..曲线y=x3在点P(2,8)处的切线方程是..质点按规律s=at2+1作直线运动，若质点在t=2时的瞬时速度是8,则a的值为..已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm,时间单位：s),求