第九章计数原理1

第五节古_典_概_型[知识能否忆起]一、基本事件的特点1．任何两个基本事件是互斥的．2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．二、古典概型的两个特点1．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．2．每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性．[提示]确定一个试验为古典概型应抓住两个特征：有限性和等可能性．三、古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).[小题能否全取]1．(教材习题改编)从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．12．(教材习题改编)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)3．甲、乙两同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机拿回两本，则甲同学拿到一本自己书一本乙同学书的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)4．(2012·南通一调)将甲、乙两球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有一个球的概率为________．5．(教材习题改编)从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________．简单的古典概型典题导入[例1](2012·安徽高考)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)在本例条件下，求两球不同色的概率．解：两球不同色可分三类：一红一白，一红一黑，一白一黑．故P＝eq\f(1×2＋1×3＋2×3,15)＝eq\f(11,15).以题试法1．“≺数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如1469)，在两位的“≺数”中任取一个数比36大的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)复杂的古典概型典题导入[例2](2012·江西高考)如图所示，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0，1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0，1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；(2)求这3点与原点O共面的概率．以题试法2．一个小朋友任意敲击电脑键盘上的0到9十个键，则他敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为()A.eq\f(4,25) B.eq\f(2,15)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,9)“大题规范解答——得全分”系列之(十一)求古典概型概率的答题模板[典例](2012山东高考·满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．[教你快速规范审题]1．(2013·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,5)2．(2012·鸡西模拟)在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30A.eq\f(3,4) B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,5) D．以上都不对3．(2013·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这一颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,18)C.eq\f(1,36) D.eq\f(7,108)4．已知某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件，n件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．则第一天通过检查的概率为()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,3) D.eq\f(6,7)5．(2012·宁波模拟)设a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,8,12}，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[1,2]上有零点的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(5,8)C.eq\f(11,16) D.eq\f(3,4)6．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是()A.eq\f(1,15) B.eq\f(3,5)C.eq\f(8,15) D.eq\f(14,15)7．(2012·上海高考)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个8．(2012·重庆高考)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．9．(2012·江苏高考)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．10．箱中有a个正品，b个次品，从箱中随机连续抽取3次，在以下两种抽样方式：(1)每次抽样后不放回；(2)每次抽样后放回．求取出的3个全是正品的概率．11．(2012·济南模拟)将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”．设复数为z＝a＋bi.(1)若集合A＝{z|z为纯虚数}，用列举法表示集合A；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的概率12．(2012·福州模拟)已知A、B、C三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2.现从A、B、C三个箱子中各摸出1个球．(1)若用数组(x，y，z)中的x，y，z分别表示从A、B、C三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x，y，z)的所有情形，并回答一共有多少种；(2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．1．(2012·广东高考)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()A.eq\f(4,9) B.eq\f(1,3)2．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m、n则直线y＝eq\f(m,n)x与圆(x－3)2＋y2＝1相交的概率为________．3．某中学高三(1)班共有学生50名，其中男生30名、女生20名，采用分层抽样的方法选出5人参加一个座谈会．(1)求选出的男、女同学的人数；(2)座谈会结束后，决定选出2名同学作典型发言，方法是先从5人中选出1名同学发言，发言结束后再从剩下的同学中选出1名同学发言，求选出的2名同学中恰好有1名为女同学的概率．第六节几_何_概_型[知识能否忆起]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)＝eq\f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).[小题能否全取]1．(教材习题改编)设A(0,0)，B(4,0)，在线段AB上任投一点P，则|PA|＜1的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)2．(2012·衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()3.分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为()A.eq\f(4－π,2) B.eq\f(π－2,2)4．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________．5.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．与长度、角度有关的几何概型典题导入[例1](2011·湖南高考)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．本例条件变为：“已知圆C：x2＋y2＝12，设M为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN.”求弦MN的长超过2eq\r(6)的概率．以题试法1．(1)(2012·福建四校联考)已知A是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A′，则AA′的长度小于半径的概率为________．(2)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝2.在BC边上任取一点M，则∠AMB≥90°的概率为________．与面积有关的几何概型典题导入[例2](1)(2012·湖北高考)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A．1－eq\f(2,π) B.eq\f(1,2)－eq\f(1,π)C.eq\f(2,π) D.eq\f(1,π)(2)已知不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≥0，,x≤aa＞0))表示平面区域M，若点P(x，y)在所给的平面区域M内，则点P落在M的内切圆内的概率为()A.eq\f(\r(2)－1,4)π B．(3－2eq\r(2))πC．(2eq\r(2)－2)π D.eq\f(\r(2)－1,2)π由题悟法求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率．这类问题常与线性规划[(理)定积分]知识联系在一起．以题试法2．(2012·石家庄质检)如图，已知函数y＝sinx，x∈[－π，π]与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，若随机向圆O：x2＋y2＝π2内投入一米粒，则该米粒落在区域M内的概率是()A.eq\f(4,π2) B.eq\f(4,π3)与体积有关的几何概型典题导入[例3](1)(2012·烟台模拟)在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD—A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点OA.eq\f(π,12) B．1－eq\f(π,12)C.eq\f(π,6) D．1－eq\f(π,6)(2)一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,27) D.eq\f(3,8)以题试法3．(2012·黑龙江五校联考)在体积为V的三棱锥S—ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S—APC的体积大于eq\f(V,3)的概率是________．答案：eq\f(2,3)[典例](2012·莆田质检)某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人，为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队抽6人．(1)求n的值；(2)抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．针对训练(2012·沈阳模拟)设集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤2}，B＝{(x，y)∈A|y≤x2}，从集合A中随机地取出一个元素P(x，y)，则P∈B的概率是________．1．(2012·北京模拟)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上随机取一个x，sinx的值介于－eq\f(1,2)与eq\f(1,2)之间的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,π)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)2．(2012·辽宁高考)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)3．(2013·滨州模拟)在区间[0,1]上任取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)4．(2012·北京西城二模)已知函数f(x)＝kx＋1，其中实数k随机选自区间[－2,1]．∀x∈[0,1]，f(x)≥0的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)5．(2012·盐城摸底)在水平放置的长为5米的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端的距离都大于2米的概率为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,2)6．(2012·沈阳四校联考)一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离小于2的概率为()A.eq\f(π,12) B.eq\f(π,10)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,24)7．(2012·郑州模拟)若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x，,y≥－x，,2x－y－3≤0))表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________．8．(2012·孝感统考)如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是eq\f(1,4)，则此长方体的体积是________．9.(2012·宜春模拟)投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为eq\f(1,2)米的小方块．试验是向板中投镖，事件A表示投中阴影部分，则事件A发生的概率为________．10．已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)，求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．11．已知集合A＝[－2,2]，B＝[－1,1]，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于eq\f(\r(2),2)的概率．12．(2012·长沙模拟)已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b＜0的概率．1．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx＋eq\r(3)cosx≤1”发生的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)2．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．3．(2012·晋中模拟)设AB＝6，在线段AB上任取两点(端点A、B除外)，将线段AB分成了三条线段．(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．第七节离散型随机变量及其分布列[知识能否忆起]一、离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X、Y、ξ、η…表示．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．二、离散型随机变量的分布列若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi.则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．三、离散型随机变量分布列的性质1．pi≥0，i＝1,2，…，n；2.eq\i\su(i＝1,n,p)i＝1.四、常见离散型随机变量的分布列1．两点分布X01P1－pp像这样的分布列叫做两点分布列.如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率．2．超几何分布列一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，即X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称上面的分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．[小题能否全取]1．(教材习题改编)设随机变量X的分布列如下：X12345Peq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)p则p为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,12)2．(教材习题改编)已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝eq\f(1,2k)，k＝1,2，…，则P(2＜X≤4)等于()A.eq\f(3,16) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,16) D.eq\f(5,16) 3．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是()A．X＝4 B．X＝5C．X＝6 D．X≤54．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝________.5．(教材习题改编)从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，随机变量X的概率分布为：X012Pabc则a＝________，b＝________，c＝________.离散型随机变量分布列的性质典题导入[例1](2012·岳阳模拟)设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X－101Peq\f(1,2)1－2qq2则q等于()A．1 B．1±eq\f(\r(2),2)C．1－eq\f(\r(2),2) D．1＋eq\f(\r(2),2)以题试法1．(2012·广州模拟)已知离散型随机变量X的分布列为：X123…nPeq\f(k,n)eq\f(k,n)eq\f(k,n)…eq\f(k,n)则k的值为()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．3分布列的求法典题导入[例2](2012·福建高考改编)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．、以题试法2．(2012·北京东城)某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：培训次数123参加人数51520(1)从这40人中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率；(2)从40人中任选2名学生，用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．超几何分布典题导入[例3](2012·浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．在本例条件下，记取出的3个球中白球的个数为Y，求Y的分布列．以题试法3．(2012·乌鲁木齐)某航空公司进行空乘人员的招聘，记录了前来应聘的6名男生和9名女生的身高，数据用茎叶图表示如下(单位：cm)．应聘者获知：男性身高在区间[174,182]，女性身高在区间[164,172]的才能进入招聘的下一环节．(1)求6名男生的平均身高和9名女生身高的中位数；(2)现从能进入下一环节的应聘者中抽取2人，记X为抽取到的男生人数，求X的分布列及期望E(X)．[典例](2012·广州模拟)某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制．若设“社区服务”得分为X分，“居民素质”得分为Y分，统计结果如下表：Y社区数量X居民素质1分2分3分4分5分社区服务1分131012分107513分210934分ab6015分00113(1)若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分(即X≥3，且Y≥3)的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率；(2)若在50个社区中随机选取一个社区，求这个社区的“居民素质”得分Y的均值(即数学期望)为eq\f(167,50)，求a，b的值．针对训练袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为eq\f(1,7)，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求取球次数X的分布列．1．带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，X表示放出的蜂中工蜂的只数，则X＝2时的概率是()A.eq\f(C\o\al(1,20)C\o\al(4,10),C\o\al(5,30)) B.eq\f(C\o\al(2,20)C\o\al(3,10),C\o\al(5,30))C.eq\f(C\o\al(3,20)C\o\al(2,10),C\o\al(5,30)) D.eq\f(C\o\al(4,20)C\o\al(1,10),C\o\al(5,30))2．(2012·福州模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为()A.eq\f(1,220) B.eq\f(27,55)C.eq\f(27,220) D.eq\f(21,25)3．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)的值为()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,5)4．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜X＜\f(5,2)))的值为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)5．从4名男生和2名女生中选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．6.如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)＝________.7.(2013·福州模拟)某学院为了调查本校学生2011年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列．8．在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数X的分布列与期望E(X)．9．袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分．求所得分数X的概率分布列．1．某社区拟选拔一批综合素质较高的居民，参加2013年争创全国文明城市宣传活动．假定符合选拔条件的每个选手还需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为eq\f(4,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率．(2)该选手在选拔过程中回答过的问题的总个数记为X，求随机变量X的分布列．2．(2012·江苏高考)设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．第八节n次独立重复试验与二项分布[知识能否忆起]一、条件概率及其性质1．条件概率的定义设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．2．条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概率公式，即P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).3．条件概率的性质(1)条件概率具有概率的性质，即0≤P(B|A)≤1.(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．二、事件的相互独立性1．设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)．则称事件A与事件B相互独立．2．如果事件A与B相互独立，那么A与B]，A]与B，A]与B]也都相互独立．三、二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．[小题能否全取]1．(教材习题改编)某一批棉花种子，如果每一粒发芽的概率为eq\f(4,5)，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是()A.eq\f(12,125) B.eq\f(16,125)C.eq\f(48,125) D.eq\f(96,125)2．(教材习题改编)某人射击，一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为()A.eq\f(81,125) B.eq\f(54,125)C.eq\f(36,125) D.eq\f(27,125)3．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)4．一个箱子里装有4个白球和3个黑球，一次摸出2个球，在已知它们的颜色相同的条件下，该颜色是白色的概率为________．5．设袋中有大小相同的4个红球与2个白球，若从中有放回地依次取出一个球，记6次取球中取出2个红球的概率为________．条件概率典题导入[例1](2012·河南模拟)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________.以题试法1．(2012·潍坊模拟)市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是()A．0.665 B．0.56C．0.24 D．0.285相互独立事件的概率典题导入[例2](2012·新课标全国卷)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．以题试法2．(2012·丹东模拟)甲射击命中目标的概率是eq\f(1,2)，乙命中目标的概率是eq\f(1,3)，丙命中目标的概率是eq\f(1,4).现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,5) D.eq\f(7,10)独立重复试验与二项分布典题导入[例3](2012·哈师大附中模拟)某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)，单位：元)．(1)估计居民月收入在[1500,2000)上的概率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月收入在[2500,3500)上的居民数X的分布列．以题试法3．(2012·福州模拟)在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为eq\f(63,64)，则事件A恰好发生一次的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(9,64) D.eq\f(27,64)[典例](2012·珠海模拟)某射手每次射击击中目标的概率是eq\f(2,3)，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列．针对训练某中学在运动会期间举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的．已知小明每次投篮投中的概率都是eq\f(1,3).(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；(2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列．1．(2012·汕头模拟)已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为()A．0.85 B．0.8192C．0.8 D．0.752．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标注数1，两个面上标注数2，一个面上标注数3，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之和为3的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)3．一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是eq\f(1,2)，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A.eq\f(1,64) B.eq\f(55,64)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,16)4．(2013·山西模拟)某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是eq\f(1,2)，构造数列{an}，使得an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1第n次抛掷时出现正面，,－1第n次抛掷时出现反面，))记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，则S4＝2的概率为()A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)5．(2012·郑州模拟)某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间试飞一种新型模型飞机，为保证模型飞机安全，模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米，则模型飞机“安全飞行”的概率为()A.eq\f(1,27) B.eq\f(1,16)C.eq\f(3,8) D.eq\f(8,27)6．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,5)7．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为eq\f(16,25)，则该队员每次罚球的命中率为________．8．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是eq\f(1,2)，两次闭合都出现红灯的概率为eq\f(1,6).在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率为________．9．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一10．(2012·厦门质检)从装有大小相同的3个白球和3个红球的袋中做摸球试验，每次摸出一个球．如果摸出白球，则从袋外另取一个红球替换该白球放入袋中，继续做下一次摸球试验；如果摸出红球，则结束摸球试验．(1)求一次摸球后结束试验的概率P1和两次摸球后结束试验的概率P2；(2)记结束试验时的摸球次数为ξ，求ξ的分布列．11．在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每一道题的概率均为eq\f(1,2).(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布．12．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．1．张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是eq\f(1,3).则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为________．2．根据多年的气象记录，甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，则乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为________；甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为________．3．(2012·北京朝阳模拟)如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(a，b)(假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动)．(1)求某个家庭得分为(5,3)的概率；(2)若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？(3)若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在(2)的条件下，记获奖的家庭数为X，求X的分布列．第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布[知识能否忆起]一、均值1．一般地，若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．2．若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.3．(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p；(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np.二、方差1．设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根eq\r(DX)为随机变量X的标准差．2．D(aX＋b)＝a2D(X)．3．若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．4．若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．三、正态分布1．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．2．正态分布的三个常用数据(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6；(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4；(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.[小题能否全取]1．(教材习题改编)设随机变量X～B(n，p)且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28则()A．n＝8p＝0.2 B．n＝4p＝0.4C．n＝5p＝0.32 D．n＝7p＝0.452．(教材习题改编)已知X的分布列为：X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)则在下列式子中：①E(X)＝－eq\f(1,3)；②D(X)＝eq\f(23,27)；③P(X≥0)＝eq\f(1,2)正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．33．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.9774．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________.5．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望E(X)＝________.离散型随机变量的均值与方差典题导入[例1](2012·湖北高考)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．以题试法1．(2012·潍坊模拟)某学校为调查了解学生体能状况，决定对高三学生进行一次体育达标测试，具体测试项目有100米跑、立定跳远、掷实心球．测试规定如下：①三个测试项目中有两项测试成绩合格即可认定为体育达标；②测试时要求考生先从三个项目中随机抽取两个进行测试，若抽取的两个项目测试都合格或都不合格时，不再参加第三个项目的测试；若抽取的两个项目只有一项合格，则必须参加第三项测试．已知甲同学跑、跳、掷三个项目测试合格的概率分别是eq\f(1,2)、eq\f(2,3)、eq\f(3,4)，各项测试时间间隔恰当，每次测试互不影响．(1)求甲同学恰好先抽取跳、掷两个项目进行测试的概率；(2)求甲同学经过两个项目测试就能达标的概率；(3)若甲按规定完成测试，参加测试项目个数为X，求X的分布列和期望．均值与方差的实际应用典题导入[例2](2012·新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．以题试法2．(2012·贵阳模拟)有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：X8910P0.20.60.2Y8910P0.40.20.4其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好．试从期望与方差的指标分析该用哪个厂的材料．正态分布典题导入[例3](2011·湖北高考)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，则P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝()A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2以题试法3．(2012·安徽模拟)在某市2012年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市前多少名左右？()A．1500 B．1700C．4500 D．8000“大题规范解答——得全分”系列之(十二)求离散型随机变量均值的答题模板[典例](2012山东高考·满分12分)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为eq\f(3,4)，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为eq\f(2,3)，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)．1．(2012·广州模拟)设随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝