薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算

薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算

课程设计指导教师： 孙秦学 院： 航空学院姓 名： 程云鹤学 号： 2011300092班 级： 01011105

薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算一、一般三维体弹性系统求解微分方程体系总结1、 弹性力学中的基本假定连续性，即假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满。完全弹性，物体在引起形变的外力被除去后可完全恢复原形均匀性，即假定物体是由同一材料组成的。各向同性，物体的弹性在所有各个方向都相同。和小变形假定，即假定位移和形变是微小的。2、 平衡微分方程在一般空间问题中，包含15个未知函数，即6个应力分量、6个形变分量和3个位移分量，它们都是x,y,z坐标变量的函数。对于空间问题，在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；并在给定约束面或面力的边界上，建立位移边界条件或应力边界条件。然后在边界条件下根据所建立的三套方程求解应力分量、形变分量和位移分量。在物体内的任一点P,割取一个微小的平行六面体，如图1-1所示。根据平衡条件即可建立方程。分别以连接六面体三对相对面中心的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程ZM二0，可证明切应力的互等性：T=T,T=T,T=Tyzzyzxxzxyyx(2)分别以x轴、y轴、z轴为投影轴，列出投影的平衡方程SF=0，ZF=0,x yEFEF二0，对方程进行约简和整理后,z得到空间问题的平衡微分方程如下Qd°T QQd°T QT x+ + zx+f=0Qx Qy Qz xQd Qt Qt竺+3+・+f=0Qz Qx Qy z图1-1图73、物体内任一点的应力状态现在，假定物体在任一点P的6个直角坐标面上的应力分量◎,QQ,T=T,T=T,T=T为已知，试求经过P点的任一斜面上的应力。xyzyzzyzxxzxyyx为此，在P点附近取一个平面ABC,平行于这一斜面，并与经过P点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体PABC，如图1-2所示。当四面体PABC无限减小而趋于P点时，平面ABC上的应力就成为该斜面上的应力。图7-2命平面ABC的外法线为n'，则其方向余弦为三角形ABC上的全应力p在坐标轴上的投影用ppp代表•根据四面体的x,y,z平衡条件进行推到，可以得出p=lc+mT+nT,TOC\o"1-5"\h\zx x yx zxp=me+nT+It (1—2)y y zy xyp=no+It+mT.z zxz yz丿设三角形ABC上的正应力为o，则o=lp+mp+np，将式1—2代入，并n n x y z分别用T,T,T代替T,T,T，即得yzzxxy zyxzyxo=/20+m2o+n2o+2mnT+2nlT+2lmT (1—3)n x y z yz zx xy设三角形ABC上的切应力为t，则由于p2=o2+t2=p2+p2+p2，得n nn x y zT2=p2+p2+p2-o2 (1—4)n x y z n由式1-3和1-4可见，6个应力分量完全决定了一点的应力状态。在特殊情况下，如果ABC是物体上受面力作用的边界面s，则p,p,p成为面力分量xyzf,f,f，于是由式1-2得空间问题的应力边界条件xyzyx zx+nT +Ity+lyx zx+nT +Ity+lTzxz yzCo+mT+nTzy xy+mTs z(1-5)应力状态有三种表示方式如下:如图1-2,在图中表示应力状态矩阵oT Tx xy xz[o]=totyx y yzT T ozx zy z」该矩阵为一对称阵。(3)应力向量o=o,o,o,T,T,T]xyzxyyzzx4、物体内任一点的应变状态过空间一点P所有方向上的线应变和角应变的集合称为P点的应变状态，通

过该点作三个相互垂直的线元。该三线元长度改变(线应变)和线元间夹角改变(角应变)的集合就完整地代表了P点的应变状态。三个线应变为8,8,£,三个角应变为：Y,Y,Y-xyyzzx应变状态的表示方式如下:向量形式,8,8,Y ,Y ,Y]yzzxxyzxyyzzx矩阵形式[8]=8[8]=8x12Y2yx12Y2zxxy8y12Y2zy12Y2xz12Y2yz5、几何方程和物理方程(1)空间问题的几何方程du dv dw8=，8=du dv dw8=，8=，8=—，

x dx y dy z dzYyzdw dv du dw dv du= + ，y= + ，Y= +_dy dz dx dy(1—6)几何方程的矩阵形式为8=Lu(在V内)，其中L为微分算子d

dx0d_dz0d

dxd

dz000d

dz0d

dy

d

dx空间问题的物理方程，在材料力学中根据胡克定律导出如下8ydw dvY=+ ，y8ydw dvY=+ ，y dy dz+c)lxdu dwY= + -zx dz dxYxy(1-7)根据关系e=1—2卩0,其中0=8+8+8为体应变，0=a+Q+Q为体积E xyz xyz应力，0与0间的比例常数上土称为体积模量，可推得物理方程的另一种形式E0+8，(1-8)1+p(1一2py丿(1-8)E E ETyz= yz，Tzx= zx，Tx广 xy物理方程的矩阵形式为G=D8或8=Cg，其中D为弹性矩阵,C为柔度矩阵,两矩阵为互逆关系。1p1—ppp1—p1pD_E(1-0p)1—p1—p(1+p)(1-2p)000000p0001—pp0001—p100001—2p01一2p0\J02(1—p)0\J0002(1—p)01—2p2(1—p)_4、边界条件(1)根据物体内任一点的应力状态可得空间问题的应力边界条件，即式1-5(2)空间问题的位移边界条件为(1-9)(U)二u,(v)二v,(w)二w(1-9)s s s5、按位移求解空间问题按位移求解问题，是取位移分量为基本未知函数，并要通过消元法，导出弹性体区域内求解位移的基本微分方程和相应的边界条件。将几何方程代入物理方程，得出用位移分量表示应力分量的弹性方程，再将该弹性方程代入平衡微分方程得按位移求解时所需用的基本微分方程。6、按应力求解空间问题按应力求解空间问题，是取应力分量为基本未知函数。对空间问题来说就是,就是要从15个基本方程中消去位移分量和形变分量，得出只包含6个应力分量方程，进行求解。二、板弯问题基本概念及微分方程1、有关概念(1)在弹性力学里，两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体，称为平板，或简称板，如下图所示。这两个平行面称为板面，而这个柱面或棱柱面称为侧面或板边。两个板边之间的厚度§称为板的厚度，而平分厚度§dwwwrwwwwrwwwwrwwwwrw^的平面称为板的中间平面，或简称为中面。如果板的厚度§远小于中面的最小尺寸b，这个板就称为薄板，否则就称为厚板。当薄板受有一般载荷时，总可以把每个载荷分解为两个分载荷，一个是平行于中面的所谓纵向载荷，另一个是垂直于中面的所谓横向载荷。对于纵向载荷，可以认为它们沿薄板厚度均匀分布，因而它们所引起的应力、形变和位移，可以按平面应力问题进行计算。横向载荷将使薄板弯曲，它们所引起的应力、形变和位移，可以按薄板弯曲问题进行计算。薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板弹性曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移，称为挠度。这里只讨论薄板的小挠度弯曲理论。2、薄板弯曲问题的计算假定为了建立薄板的小挠度弯曲理论，除了引用弹性力学的5个基本假定外，还补充提出了3个计算假定。垂直于中面方向的线应变，即£可以不计。z取£=0，则又几何方程中的=0，从而得w=w(x,y)。即横向位移w只z dz是x,y的函数，不随z而变。因此，在中面的任一根法线上各点都具有相同的横向位移，也就等于挠度。应力分量T,T和b远小于其余3个应力分量，因而是次要的，它们所引起xzyz Z的变形可以不计(注意：这三个次要应力分量本身都是维持平衡所必需的，不能

不计)。因为不计T及工所引起的形变，所以有Y二0,Y二0。于是由几何方程xzyz zx yzdu dw1-6可以得一du dw1-6可以得一+一dz dx二0。从而得善二dwdv， dxdz(2-1)由于8二0,y二0,y二0，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且z zx yz成为弹性曲面的法线。在上述计算假定中虽然米用了8=0,y=0,y=0，但在以后考虑平衡条件z zx yz时，仍然必须计入3个次要的应力分量T,T和Q。因此，在薄板的小挠度弯曲xzyz z理论中，放弃了关于8,y和y的物理方程。因为不计Q所引起的形变，所以zzxyz z薄板的物理方程成为8x8y(2-2)8x8y(2-2)yxy2(1+卩)TE xy薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即(u)二0,(v)二0。z=0 z=0，所以由上式得出中面内的形变分量均为因为8上,8=竺,y=竺+色，所以由上式得出中面内的形变分量均为xdxydyxydxdy零，即(8)=0,(8)=0,(y)=0 (2-3)xz=0 yz=0 xyz=0也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但它在xy面上的投影形状却保持不变。3、将纵向位移，各应变分量和应力分量分别都用挠度w来表示薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，只取挠度w=w(x,y)作为基本未知函数。(1)将纵向位移u，v用挠度w表示。dz dxdz-dW得v=--dWz+f(x,y),u=--dWz+f(x,y)由计算假定

dy dy 1 dz dxdz(1-3)，得代刃二0,宀沪0。于是纵向位移表示为U一券V"朱(2)将主要应变分量£,£,Y用w表示。把①中所得的u,v代入几何方程中的对应xyxy3u 32w 3v 32w 3v 3u 32w z、项得£_ __ z,£_ _—z，Y_ + __2 z(a)x 3x 3x2 y 3y 3y2 xy 3x 3y 3x3y将主要应力分量QQe用w表示。由薄板的物理方程2-2求解应力分量得xyxy(b)q (£+y£)q= (£+y£)，t =E、y(b)x1_y2 xyy1_y2yx xy 2(1+y)xy把式a中所得应力分量代入上式得q一旦(凹+y巴),q一旦(巴+y巴),tq一旦(凹+y巴),q一旦(巴+y巴),t_

x1_y2 3x2 3y2 y1_y2 3y2 3x2 xyEz1+卩dxdy(2-4)(4)将次要应力分量t,t用w表示。可以应用平衡微分方程的前两式进行求解,xzyz且因为不存在纵向载荷，体力分量f=0,f=0，由此得x y3t 3q 3t 3tex_—x—产,-3z 3x 3y 3:Qt把的表达式2-4代入得33w 33w、 + 2丿 zx二一dz 1_卩2(3x3 Qxdy33w+33w'1_y2(3y3 3y3x2丿其中引用记号V2=£1+。将上两式对Z积分，得dx2 dy2Ez2 3Ez2 3tzx二茹帀3V2w+F(x，y)'tzy二眾善V2w+Fx，y)其中F(x,y),F(x,y),可根据薄板的上、下板面的边界条件来求出，即12(t) _0， (t ) _0应用这两个边界条件求出F(x,y),F(x,y)以后，即得zx 丄b zy 1 2z_±2t,t的表达式xzyz

T=zxT=zyT=zxT=zy62)

z2———f4丿Qx62)z2— 2V2W「(2-5)2(1-H2)I4丿dy(5)将更次要应力分量b用w表示。z应用平衡微分方程1-1的第三式，取体力分量为0得咯=-6-雲z (c)如果体力分量f工0,可以把薄板的每单位面积内的体力和面力都归入到上板面z的面力中去，一并用q表示,(d)即q-f)6+f)a+^6/2的面力中去，一并用q表示,(d)zz--2 zz—2-6/2z这只会对最次要的应力分量b引起误差，对其它的应力分量则没有影响。z注意T—T,T—T，将这两个应力分量的表达式代入式(C),得xzzxyzzyQbEQz 2(1--2)(4E对z进行积分，得到E对z进行积分，得到b=Ez‘62 Z3、—z—-(e)—V4w+F(x,y)2(1--2)I4 3丿3 7其中待定函数F(x,y)可以由薄板的下版面的边界条件来确定，即C)6—0zz—2将式(e将式(e)代入,求出F(x,y)，再代回式(e),即得b的表达式3 ZEb——zEb——z2(1一—2)6)

z一一2丿V4w-- E63‘1一z1+云V4W6(1一H2)12 o丿^o(2-6)4、推导弹性曲面的微分方程现在导出w的微分方程。由薄板的上板面的边界条件(b)6=-q，其中qzz—-2是薄板每单位面积内的横向载荷，包括横向面力及横向体力，将b的表达式代z入得(2-7)E6^- V4w—q(2-7)12(1-H2) 壮(2-8)DV4w=q,(2-8)eS3 …其中的D=一称为薄板的弯曲刚度，它的量纲是L2MT-2，方程2-8称为12(1-卩2) 薄板的弹性曲面微分方程，或挠曲微分方程。三、矩形薄板弯曲问题的求解1、泛函和变分的概念(1)假想函数y(x)的形式发生改变而成为新的函数Y(x)。如果对应于x的一个定值，y具有微小的增量5y二Y(x)-y(x)，则增量Sy称为函数y(x)的变分。可以证明导数的变分等于变分的导数，因此微分的运算和变分的运算可以交换次序。(2)如果对于某一类函数y(x)中的每一个函数y(x)，变量I有一个值和它对应，则变量I称为依赖于函数y(x)的泛函，记为I=I[y(x)]。简单地说，泛函就是函数的函数。⑶基于能量原理的变分法是一种近似法，所谓变分问题，就是泛函求极值的问题。2、弹性体的应变能弹性体单位体积的应变能为(3-1)8+C8+C8+Ty+T丫+T丫)(3-1)xxyyzzxyxyyzyzzxzx也可以称为应变比能。整个弹性体的应变能为U』怦，其中。为弹性体的体积，将其代入式(3-2)(a8+a8+a8+ty+ty+ty)dQ(3-2)zzxyxyyzyzzxzx可以将应变能表示为用应力或应变表达的形式，可以证明弹性体的应变比能对于任一应力分量求导就等于相应的应变分量，弹性体的应变比能对于任一应变分量的偏导数就等于相应的应力分量。3、虚位移原理设有一弹性体在外力(包括体力分量X,Y,Z和一部分面力分量X,Y,，)作用下处于平衡状态。假如有一组位移分量u,v,w,既能满足用位移表示的平衡方程，

又能满足位移边界条件及用位移分量表示的应力边界条件。设想在弹性体几何约束所允许的条件下，给它一个任意的微小的变化，即所谓的虚位移或位移变分8u,8v,8w，得到一组新的位移u'二u+5u,v'二v+5v,w'=w+5w此时外力在虚位移上所做的功，即虚功为(3-3)SAJJJ(X8u+YSv+Z6w)d0+JJ(X5u+F8v+ZSw)(3-3)Q Sp其中Q为弹性体的全部体积，S为弹性体的全部表面积，S为给定外力的表面,pS为给定位移的表面。假定弹性体在虚位移的过程中没有温度和速度的改变，u即没有热能和动能的改变。按照能量守恒定律，应变能在虚位移上的增量SU应当等于外力在虚位移所做的虚功SA，即SU=SA得位移变分方程(3-4)SU= (XSu+YSv+ZSw)dQ+JJ(XSu+YSv+ZSw)(3-4)TOC\o"1-5"\h\zQ sp按照变分原理SU=SQ1 Q1其中Su1为单位体积应变能的增量。把应变比能看作应变分量的函数，由上式得Su=LUQ(dU^ dU dU dU Su=LUQ——iSe+——iSe+——iSe+——Sy+——iSy+——iSy

x 6e y 6e z Qy xy 3y yz 3y ◎x y z xy yz zx=fffCSe+gSe+gSe+tSy+tSy+tSy》QQxxyyzzxyxyyzyzzxzx将式3-4代入得(3-5)(xSu+YSv+ZSw)dQ+JJQSu+YSv+ZSw^Z(3-5)=jjJCSe+cSe+cSe+tSy+tSy+tSy》Qqxx yy zzxyxyyzyzzxzx这就是虚位移原理的表达式，也可称为虚功方程。由此，弹性体的虚位移原理可叙述为：设一弹性体在已知体力和面力作用下处于平衡状态，那么，在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功等于弹性体所积累的虚应变能。4、最小势能原理根据式3-4，由于虚位移是微小的，在虚位移过程中，外力的大小和方向可以认为保持不变，所以式3-4右边的积分号内的变分记号S可提到积分号前并整理得

6U-B!(Xu+Yv+Zw)dG—ff(Xu+Yv+Zw)dSLG Sp取A=fff(Xu+Yv+Zw)dG+ff(Xu+Yv+Zw)dS，显然A为外力在实际G Sp位移u,v,w上所做的功。假设外力是势力场中的力，则(-A)应等于外力的势能,用记号V表示。弹性体的应变能和外力势能之和，称为弹性系统的总势能，用记号口表示，得得最小势能原理：在给定外力作用下而保持平衡的弹性体，在满足位移边界条件的所有各组位移中，实际存在的一组位移应使总势能称为极值。当考虑二阶变分时，可以证明，对于稳定平衡状态，这个极值是最小值。5、求解薄板弯曲问题(1)存在于弹性体中的应变能为(3-6)U=1fff (c8 8+c8+ty+t丫+t丫)dG(3-6)2gxxyyzzxyxyyzyzzxzx根据薄板弯曲问题中的有关假设c,y,y是为次要应力分量，在式3-6中略去有zxzyz关的项，利用物理方程消去应变分量得t2 dGxyc ) 1+t2 dGxy2+c2-2pccj+———x y xy 2将式2-4代入上式，得用位移w表示的应变能为u=帀去)fffz2r2丄2Gu=帀去)fffz2r2丄2G—|LX>d2wd2wdx2dy2(QxQy丿将上式对z积分并整理得等厚薄板的应变能U可表达为U=—ff 2w)2-2(1-卩)d2wd2wdx2dy2(QxQy丿>dxdy>dxdydz(3-7)对于板边全部固定的任何形式的板和板边w=0的矩形板,对于板边全部固定的任何形式的板和板边w=0的矩形板,可对式3-7进行化简,用分部积分可得d2wd2wd2w d2wdw,dxdy= dx-dxdydxdy sdxdydxd2wdw d2wd2w,,dy+ dxdysdy2dx dx2dy2dy2dxdwd2w d2wdw,dxdy= dx-dxdxdy2 sdxdydx其中s为薄板的边界对于固定边，不论边界形状如何可得K情况下薄板应变能表达式为U=f“O对于固定边，不论边界形状如何可得K情况下薄板应变能表达式为U=f“O2wO2wOx2Oy2、0x2 dy2丿、2dxdy/O2w、2©Oy丿dxdy二0，在该(3-8)(2)薄板弯曲问题中的边界条件设图中OA边是固定边，0C边是简支边，AB边和(2)薄板弯曲问题中的边界条件设图中OA边是固定边，0C边是简支边，AB边和BC边是自由边。沿着固定边OA(x=0),薄板的挠度w等于零，弹性曲面的斜率空(即转角)也等于零，所以边界Ox=0,f°w条件是(w)x=0l°x丿x=0acbAB沿着简支边OC(y=0)，薄板的挠度w等于零，弯矩M也等于零，所以边界y条件是(w) =0,(M) =0y=0 yy=0用挠度w用挠度w表示为(w)y=0=0,O2w O2w' +y Oy2 Ox2丿y=0如果前一个条件得到满足，即挠度w在整个边界上都等于零，则竽在整个d2w|d2w|Oy2丿y=0边界上也等于零，所以简支边OC的边界条件可以简写为(w) =0,y=06、薄板弯曲问题中Ritz法薄板中总势能为口为挠度w的泛函，设定一组包含若干待定系数的挠度的级数形式的表达式，其中每一分量均满足问题中的边界条件，根据最小势能原理,求解使总势能口取最小值的待定系数，即可求得挠度的表达式，这是求解薄板弯曲问题的Ritz法。7、四边简支矩形薄板的重三角级数解求解薄板的小挠度弯曲问题，首先要在板边的边界条件下，由弹性曲面微分方程求出挠度w。界条件下，由弹性曲面微分方程求出挠度w。当无支座沉陷时，对于四边简支的矩形薄板,边界条件是(w)x=0(w)x=a=0,=(w)x=0(w)x=a=0,=0,x=0d2w'(w)y=0(w)y=b=0,=0,dx2丿x=ad2w'y=0d2w'dx2丿y=b=0=0=0=0(a)取挠度w的表达式为如下重三角级数w=无另Asin sin—y (b)mnabm=1n=1其中的m和n是正整数，代入式(a)，可见全部边界条件都能满足，为了求出系数A，将式(b)代入微分方程得mnm=1n=1/m22m=1n=1/m22n22+—b2丿Amnsinm兀x.sina=q(x,y)将式右边的载荷q(x,y)展开成重三角级数，即q(x,y)=mq(x,y)=m=1n=1mn.m兀x.n兀y

sinsinab(c)式中的a可以按三角级数的通常确定方法进行求解，解得mnamnq(x,y)sinamnq(x,y)sinm兀x.n兀y

sin

abdxdy得系数Amn“b.m兀x.n兀y,,

4JaJbqsin sindxdy=00 a b— r \m2n2

+ 、a2 b2丿兀4abD(f)当薄板受横向均布载荷时，q成为q0，式⑴中的积分式成为fab.m兀x.n兀y qabbqsinsindxdy= 0000ab 兀2mn(1-cosm兀)(1-cosn兀)由式⑴得Amn4q(1-cosm兀)(1-cosn兀)0(、2小 由式⑴得Amn4q(1-cosm兀)(1-cosn兀)0(、2小 m2 n22兀6Dmn——+—、a2 b2丿A= o (m=1,3,5...；mn (m2 n2)2兀6Dmn——+—、a2 b2丿n=1,3,5.)代入式(b),即得挠度的表达式i6qyyw=o兀6Dm=1,3,5n=1,3,5.m兀¥.n兀y

sinsinab7aTm2 n22mn——+—、a2 b2丿当薄板在任意一点(g，耳)受集中载荷F时，可以用微分面积dxdy上的均布载荷—来代替分布载荷q,式⑴中的q除了在(g,n)处的微分面积上等于―二以dxdy dxdy外，在其余各处都等于0,此时A= mn兀4abD(m2n2)2dxdy + 、a2 b2丿F.m兀g.n兀耳77

sinsindxdy

a b、2m2n22一+—a2b2丿.m兀g.n兀耳sinsina代入式(b)得挠度的表达式为w=.m兀g.n兀耳

sinsin4FYya b-m兀x.n兀ya —sinsinab兀4abDm=1n=1(、2m2 n22 + 、a2 b2丿8、四边简支矩形薄板的Ritz法求解其边界条件同(a),取挠度表达式为w=血”Amnm=1n=1.m兀x.n兀y

sinsinab(g)--Amn则也=yydx2m=1n=1.m兀x.n兀ysinsinabd2w=yyQy2m=1n=1-Amn.m亦.n兀ysinsin-abm=1n=1dxm=1n=1dxdy.mn兀2 m兀x n兀yA cos cos——mnab ab应变能的表达式为U=扫2w)-2(1-r)d2wd2wdx2dy2>dxdyd2wdy2丿(QxQy丿dx2dy2ldxdy丿丿>dxdy将挠度偏微分的算式代入，根据Lb.m兀x. n兀y abbsin2 sin2dxdy=-TOC\o"1-5"\h\z00a b 4Lb m兀x n兀y abbcos2 cos2dxdy=-00 a b 4fab.m兀x.n兀y 4abbsin sindxdy=—00a b 兀2整理得U=区另整理得U=区另m=1n=1DabA2m2兀2 mn8、n2兀2

+ a2 b2丿总势能为口=席gm=1n=1DabA2fm2兀2n2总势能为口=席gm=1n=1DabA2fm2兀2n2兀2)2 + a2b2丿 mn-84qAab 0—mn mn兀2应用Ritz法得=0解得A= ;dA mnmn 兀6Dmn16q0—( 、2m2n22)——+—、a2b2丿代入式(g)，即得挠度的表达式w=16q0yy兀6Dm=1,3,5n=1,3,5sm-sinab(、2m2n2mn+—(a2b2丿m兀x.受集中载荷F时，外力的势能为“ fyy人.m兀g.n兀耳」」yyV=- Asinsindxdy=dxdy mna bm=1n=1m=1n=1f-FAsin座sin凹］、mna b丿横向均布载荷作用时外力的势能为mn兀2丿m=1n=1V=』打yyAsin空sin巴y〃xdy=无另〔-%分严0omn兀2丿m=1n=1m=1n=1总势能为口-血"m—1n=1DabA2(m总势能为口-血"m—1n=1DabA2(m2兀2n2兀2+a2 mn8应用Ritz法得H=0，解得A—QA mnmn代入式（g）,即得挠度的表达式为丫_ •m兀g.n兀耳一FAsin sin a b兀4abDmn、2m2n22一+—b2丿.m兀g.n兀耳sinsina b4F8-w— 乙乙兀4abDm=1n=1.m兀.n兀耳sinsin8 a b-m兀x.n兀ya sinsinab(、2

m2 n22—+—、a2 b2丿2、四边固支矩形薄板的Ritz法求解当无支座沉降时,对于四边固支的矩形薄板，边界条件是（W）x=0(w)x=a（W）y=0(w)y=b-0，(!x)x=0-0,懐］x=a厂Qw、&丿y=0lQx丿y=b=0,=0,取挠度的表达式为w=

VV • m兀x. n兀yAsin2 sin2-mna bm=1n=1对其进行微分运算得3w Am兀.n兀y.2m兀xmn— —Qx a bam=1n=12Am2兀2 2m兀x. n兀ymn cos sin2 Qx2 a2 a bm=1n=1Qw VVAn兀.m兀x. 2n兀y——mn— 一Qy b a bm=1n=1d2w VV2An2兀2 2n兀y. m兀x— mn——cos sm2 dy2 b2 b a■mn—b2m=1n=1应变能的表达式为U=f片譽煜:忖且有JJb00277yy3m4兀4A2b

dxdy= mn—4a3m=1n=1a2w丫ay2丿8V3n4兀4A2adxdy= mn—4b3m=1n=1JaJbffax2ay2丿2yydxdy=m=1n=1A2兀4m2n2—mn—4ab将其代入应变能的表达式，整理得U=席8DA2兀4mn 8a3b3m=1n=13m4bU=席8DA2兀4mn 8a3b3m=1n=13m4b4+3n4a4+2m2na2b2)当横向均布载荷作用时，外力的势能为V=—MqyyASin2空sin2怛dxdy一艺另分代ab000 mn a b 40 mnm=1n=1m=1n=1总势能为n=u+v=yym=1n=1DA2兀4 Aqabmn (3m4b4+3n4a4+2m2n2a2b2)一 一8a3b3 4应用Ritz法，令°口—0，即DA””"4(3m4b4+3n4a4+2m2n2a2b2)一q°ab=0SA 4a3b3 4mn解得A= 也一mnD兀4(3m4b4+3n4a4+2m2n2a2b2)m兀x. n兀ya4b4qsin2 sin2 得挠度w=yy8 0aD兀4(3m4b4+3n4a4+2m2n2a2b2)m=1n=1当集中载荷作用时JyyAsin2墮sin2空dxdy=abV=-dxdy ””m=1n=1一yyFAsin2咗sin2空abmnm=1n=1n=u+v=yym=1n=1DAmn8a3b32兀4 兀g兀耳(3m4b4+3n4a4+2m2n2a2b2)一FAsin2 sin2mnan应用Ritz法，令aA-=0，即mn

DA兀4 兀g 兀耳mn (3m4b4+3n4a4+2m2n2a2b2)一Fsin2 sin2 =04a3b3 ab兀g 兀耳4Fa3b3sin2 sin2——解得A解得AmnD兀4(3m4b4+3n4a4+2m2n2a2b2)兀g.兀耳.mKx. n兀y4Fa3b3sin2——sm2——sm2 sm2 得挠度w=士 aba b_D兀4(3m4b4+3n4a4+2m2n2a2b2)m=1n=1四、利用Patran和Nastran建模对矩形薄板弯曲问题进行求解1、 Patran建模和Nastran分析的一般流程和分析中所设置的数据导入或建立几何模型一选择分析求解器一划分有限元网格一施加约束及载荷边界条件一设置材料特性及单元特性一设置分析参数一提交分析一对分析结果进行后处理。设置矩形薄板的数据如下：长5(m),宽4(m),薄板厚度为0.01(m),弹性模量为10e9(Pa),泊松比为0.3,横向均布载荷合力为10N,中心集中载荷为10N。分别对四边简支和四边固支的情况进行求解2、 后处理之后软件分析结果各情况下的位移云图如下所示：四边简支矩形薄板受横向均布载荷情况下的位移云图:Patran201164-Bit20-Mar-l518:06:47Fringe:DefaultA1:Patran201164-Bit20-Mar-l518:06:47Fringe:DefaultA1:StaticSubcase,Displacements,Tra8.5JJ0+0018.01-0047.44-004Deform:DefaultA1:StaticSubcase,Displaceme.00+001Deform:DefaultA1:StaticSubcase,Displaceme.00+0016.29-0040045.15-0040044.00-0043.43-004kn2.86-004^00^.29-OO4B004J1.14-004.0(^|default_Fringe:Max8.58-004©Nd179MinO.@Nd1default_Def0rmati0n:Max8.58-004©Nd179四边简支矩形薄板受中心集中载荷情况下的位移云图:Patran201164-Bit20-Ma.r-1517:11:380030032.18-003Patran201164-Bit20-Ma.r-1517:11:380030032.18-0032.01-0031.84-0030030030031.17-0031.00-0038.37-0046.70-0045.02-004004OMFringe:DefaultA1:StaticSubcase,Displacements.TranslationalMagnitude,(NON-U\YERED)Deform:DefaultA1:StaticSubcase,Displacements,default_Fringe:Max2.51-003©Nd179MinO.@Nd1defau11_Deformation:Max2.51-003©Nd179四边固支矩形薄板受中心集中载荷情况下的位移云图:四边固支矩形薄板受中心集中载荷情况下的位移云图:Patran201164-Bit20-Ma.r-l516:59:16Patran201164-Bit20-Ma.r-l516