大二信号与系统-第五章

第五 连续系统的s域分频域分析以虚指数信号ω为基本信号，任意信号解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：有些重要信号不存 变换，如对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。这一章将通过把频域中 变换推广到复域来解决这些问建 本章引入复频率s=σ+jω,以复指数函数est为基建筑业院这里用于系统分析的独立变量是复频率s，故称为s域院电析。所采用的数学工具 变换电学 第1 变 变收敛(单边 变 变徽筑 •单边拉氏变换 徽筑

第2一、 变换 变 f(t)，适当选取的值，使乘积信号f(t)e-t当t∞时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-t的 Fb(+j)=ℱ[f(t)

]=

f(t)etejtdt

f(t)e(j)td1相应 1建 f(t)e-建筑工

jt2业f(t2业

F(j)e(j)tbb 令s=+j,d=ds/j，

第3Fb(s)

f(t)estd

双 f(t)

jF(s)estd2

Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数徽 f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）徽建

第 只有选择适当的值才能使积分收敛，信号的双边 变换存在。使f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收徽 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题徽建 第 例1因果信号f1(tet(t，求拉氏变

e(s(s)

(s)

F(s)

et1

dt

[1lime(

ejts

Re[s] 徽

筑工建可见，对于因果信号，筑工当Re[s]=>时，其拉氏电电信所示

收敛

收敛 第 例2反因果信号f2(tet(-t，求拉氏变解F2b(s)

dt

e(s(s

(s

[1lime()tejtt Re[s]. (s徽

筑工 可见，对于反因果信号，仅 筑工学 Re[s]=<时，其拉氏变换存在学院 收敛域如图所示院信学▲

第 例3双边信号求 变换etf3(t)f1(t)f2(t)

t

求 变换 t解其双 变换仅当>时，其收敛徽 为<Re[s]<的一个徽建工 状区域，如图所示工业

第 例4求下列信号的双 变换 e-3t +e-2tf2(t)=–e-3t(–t)–e-2t e-3t –e-2t(– f(t)

(s)

Re[s]=>– s sf(t)

(s)

Re[s]=<– s s 筑 f3(t)F3(s)筑

s s

–3<<–院电 可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变院电 必须标出收敛域学 第 通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为F(s)

f(t)estd称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一建徽Re[s]>，可以省略。本课程主要讨论单边拉建

10三、单边拉氏变F(s)

f(t)estdf

def

jF(s)estds2

简记为F(sL徽筑 f(t)=L-筑或院或院信 f(t)←→信学

11四、常见函数 变1、(t)←→1，2、(t)或1←→1/s，103、指数函数e-s0t←→s >-0cos0t=(ej0t+e-j0t)/2徽

0s20建sint=

t–e-

t)/2j←→ 0 0 业

s2

12 变换性时移特复频移徽 •时域微徽建工 •时域积工业

s域微分s域积初值

第13一、线性性若 Re[s]>1, 则 f(t)=(t)+(t)←→11/s

14二、尺度变f(tF(sRe[s]>0，且有实数a>0 则f(at)aFa证明 Lf(at令τat，

f(at)estd a

τ

s 1 a 1 Lf(at筑工业

f(τ)e a

a

f(τ)e s 电a 电a学 a学

15三、时移若f(t←→F(s),Re[s]>0且有实常数t0>0则f(t-t0)(t-t0←→est0F(s与尺度变换相结101t 101t

sf(at-t)(at-t

F

a例1:求如图信号的单边拉氏建 解：f(t)=(t)–(t-1)，f(t)=(t+1)–(t-建 业 F(s)=业

(1es

学s 学s电 F(s)=

16例2:已知f1(t)F1(s),求f2(t)101tf(t)=f101t f1(0.5t)←→f1[0.5(t-2)]←→2F1(2s)e- f(t)←→2F(2s)(1–e- 工工学 例3:求f(t)=e-2(t-1)ε(t)←→F学

1 ▲

第17四、复频移（s域平移）特若f(t)←→F(s),Re[s]>0,且有复常数sa=a+ja,则f(t)esatF(s-sa),Re[s]>0+as例1:已知因果信号f(t)的象函数 s 求e-tf(3t-2)的象函s

2(e 解徽

f(3t-2)

(s1)2

18五、时域的微分特性（微分定理若f(tF(s则f’(tsF(sf(0-

ftestdt

test

testdt

f0sF

d

2(t)

d

sF

f(0徽 s2F(s)sf徽建

)f(0L dL

n(t)

sF(s)

nm

(m 院 d 院电

m

(0学 学

第19六、时域积分特性（积分定理若Lf(t)F(sL

f(τ)dτ

F(s)

f1(0

t fτdτt

0 fτdτtfτd①f10

f10 s徽

fτdτestd

e

②筑 ②筑

τdτ

s

t

std业业学学院电1院电

Ff dts学 s学

页 n

f(x)dx若f(t)为因果信

Fsn 例1t2(tt(x)dxt0 2 t

(x)dx0x(x)dx

(t) 建

t2(t)

2

页例2:已知因果信号f(t),求2102解：对f(t)求导得f’(t2102t

f'(x)dxf(t)f(0由于f(t)为因果信号， t

f(0-

f(t)

f'(x)df’(t)=ε(t)–ε(t–2)–2δ(t–2)←→1

2建筑s F(s)建筑s

(1s

)2 结论：若f(t)为因果信号，已知

学电学 学

页七、卷积定时域卷积定若因果函f1(t)F1(sRe[s]>1,f2(t)←→F2(s), f1(t)*f2(t)←→c复频域（s域）cf(t)f(t)

F()F(s) 2筑

业 例1：tε(t)←→业

(t)*

(t2n)

(t电 例2：已知电信学

s(1e2s

第23八、s域微分和积若f(tF(sRe[s]>0n(t)f(t)dFd

(t)

f

Fdsnf(t)

F例1：t2e-2t(t)←→建 e-2t(t)←→建 d d院电 t2e-2t(t)←→ds2(s2)(s院电

第24例2：sint(t)tsint(t) s2sint(t)

d

arctansarctant例3：1

2

徽1e 1e筑

1 业 s业院 1院电

(1

ss s1 s1s学▲

第25九、初值定理和终值定初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)f(∞），而不必求出原函数初值定设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分若F(s)为假分式化为真分式 f(0)limf(t)limsFt s建 终值定建筑业 若f(t)当t→∞时存在，并且f(t)←→F(s),业学0电 <0， f()limsF0电 学

26例1F(s)

s22sf(0)limsF(s)

2s

ss

2sf()limsF(s)

2s 例2F(s)徽建

s

s2s

s0s

2s工 F(s)1工业学

2ss22s院 f(0)limsF(s)

2s2

学 学

ss

2s

27

σ

t

F(ss

tjσ工 •查表工电 •部分分式展开电信学

28 通常的方法:（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展若象函数F(s)是s的有理分式，可写

--结bsm sm1....bsF(s)

sn

sn1

...

s建 若m≥n（假分式），可用多项式除法将象函数建工 分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和工学业学电 F(s)P(s)B0电学 学

29s48s325s231s 2s23sF(s)

6s211s

s2

6s211s徽 下面主要讨论有理真分式的情形徽

30一、零、极点若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可写B(s)

bmsmbm1sm1....b1s F

A(s)

sn sn1...asbm(sz1)(sz2 (szm an(sp1)(sp2 (spn安零 z1,z2, zm是Bs的根,称为F徽筑工 因为B(s)0F(s)筑工学极 p1,p2, pn是As的根,称为F的业院院电学信 学

0

F

31二、拉氏逆变换的过求F(s)的极将F(s)展开为部分分查变换表求出原函数

32部分分式展F(s)

(sp1)(sp2 (s)p1p2 pn为不同的实根F(s)徽K (sK

s s)F(s)

s筑 筑电 电

]s

si

33单阶实极点举F(s)

2s23ss36s211s求极

F

2s23s(s1)(s2)(s展为部分分

F s1

s2

s求系

K1(s1)F(s)

2s23s3(s2)(s

|s1建 所以F(建筑

5 s s s工电

s信 得:f(t)et5e2t6e3t信

tt▲■s35s29s假分式

F(s)

s23ss35s35s29ss23s

s33s22s27s2s26ss F(s)s2

s

s2F(s) F(s)

学 s s学院信 ftt2t2et(t)e2t信学

35第二种情况：极点为共轭 s22 sαjβ sαjβ 2共轭极点出现在αF

sα

sα

K1sαjβ徽

sα

B(jA(j建2 sαjβ建2业 sα业学

B(jA(j电*院可见K1,K2成共轭关电*K信K 1Aj

K2AjB

▲■第36▲■求 KAjB|K|e

AjBK*|K|e K |K|ej |K|ejF1(s) sj sj sj sj K ft

L1

sαj sαjβeα

Kejβt

*ejβt 建 =2|K1|e- 建筑工学 2学院

α

AcostB

37共轭极点举求Fs)

s2

的逆变换f(t)F

(s2)(s22s5)s2(s1j2)(s1j2)(s Ks s1j2 s1j2

2取K0(s2)F

s2 徽徽1 1筑院电

t

s2(s2(s2)(s1j2)1

1j22

A

1,B f

2

cos2t

5sin2t t

第38s2sF(s)

K2 K3(s2)(s s sK1为单根系数,K3为重根最高次系

(sK1(s

s2(ss2(s2)(ss2 (s1)2 学学电 如何求K2电

(s2)(s

第39K2的求

对原式两边乘以(s

得s

(s s2K2(s1)令s1时,只能求出K31,若求K2右边d(s (s Kds s

32(s1)(s2)K1K1(s1)2K(s d1)2F(s)ds2 2s(s2)s2s2建左边 建工 d工业

dss22

(s

(s 电院此时令s1右电信2所以 2

边 ▲■(s▲■

第40F(s)

3 s s (sf(t)L1F(s)(4e2t3ettet)

411(s

K1(k

(s (s (sp1

(sp sK11 (sp)

F

s

s

i 徽 K1i(i1)!dsi1徽dd

s

L[tn(t)]

sn1学 当i K12dsF1学

s 1

L ]

院1学 当i K131学

2d

F1(s)s

(sp1

42F(s)

s举 s(sF(s)

(s (s (s (s1)3F(s)

s2

s1 d[(s1)3F(s)]

s(s2) d 1

[(s1)3F(s)]

1

2ds2

K sF(s)K

s0

s2

工 F(s)工

院 (s (s (s 院 学 f(t)学2

t2et2tet2et2)▲

第43 一、微分方程的变换描述n阶系统的微分方程的一般形式 iayi

(t)

bj

(j) j系统的初始状态为y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)思路： 变换微分特徽 y y工

(t)

Y(s)

i1

y(

(0信 若f(t)在t=0时接入系统，则信学

(j)(t)←→

j

44 i[asii

]Y(s)

ai[si1

y(

(0)]

bj

j]Fjs域的代数方Y(s)M(s)B(s)F(s)Y(js域的代数方 徽筑 y(t)，yzi(t)，筑

45举例1描述某LTI系统的微分方程y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f已知初始状态y(0-)=1，y'(0-)=-1，激励f(t)=5cost(t)，解：方程取拉氏变换，并整理Y(s)sy(0)y'(0)5y(0) 2(s

Fs25s

s25s徽工建 F(s) 工建

学 s2学院电 Y(s)Yzi(s)Yzs(s)电学

s (s2)(s

s2s2

第465Y(s)5

14

ej

ej5s s s s5 yzs

s5y(t)=2e–2t(t)–e–3t(t)-4e–2t(t)+ 5 暂态分量yt 稳态分量筑

电学 Yzs(s)电学

B(s)

F

若已知

+)=1，y'(0+)=

47二、系统函系统函数H(s)定义

H(s)

Yzs

F 它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。yzs(t)=h(t)﹡f Yzs(s)=徽徽筑 H(s)=筑

48例2已知当输入f(te-t(t)时，某LTI因果系统的yzs(t)=(3e-t-4e-2t+e-求该系统的冲激响应和描述该系统的微解H(sYzs(s)

2(s

2 2sF (s2)(s s s s25sh(t)=(4e-2t-2e-3t)徽 s2Yzs(s)+5sYzs(s)+6Yzs(s)=2sF(s)+徽业 取逆变换yzs"(t)+5yzs'(t)+6yzs(t)=2f'(t)+8f业信 微分方程 y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+8f信学

49三、系统的s时域框图基本单

s域框图基本单元(零状态f1(t)

y(t)∫∑∫

f()tt

F1(s)+∑

Y(s)=+业

y(t)=f1(t)+ay(t)=af

Y(s)=Fa

学 学

Y(s)=a

50例3如图框图，列出其微1 s- s-

再求∑

s-32

s-

∑

s域的代数方解画出s域框图 设左边加法器输出为X(s)，如X(s)=F(s)–3s-1X(s)–2s-徽

X(s)

F13s12ss工 Y(s)=X(s)+4s-工业学院

113s12s

F

s23s2F信 微分方程为y"(t)+3y'(t)+2y(t)=f"(t)+4f信学

第51四、用拉氏变换法分析电路的步骤列s域方程（可从两方面入手列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变直接按电路的s域模型建立代数方求解s域方程建 F(s)f(t建

，得到时域解答院 什么是电路的s域模型院

52五、电路的s对时域电路取拉氏1、电阻元件的s域模u(t)=R

U(s)=R 建徽建工 工

电阻元件的s

第532、电感元件的s域模u(t)

d

d