人教高中数学必修五34基本不等式教学课件教育doc

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教材：人教版《一般高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5

课题：3.4基本不等式（第一课时）

一、教材解析

《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划今后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其余不等式建立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，重视每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都表现出依据从几何背景下手，重申数形联合思想。本节内容在此基本上浸透不等式的证明方法（比较法、综合法、解析法），并且会在后续学习时再次获得增强。

基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导讲课和求解最值问题两大部分。本节课是基本不等式讲课的第一课时，其主要学习任务是经过赵

爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式a2b22ab(a,bR)。在

此基础上，经过演绎取代、证明研究、数形联合及实质应用等四种不一样样的角度指引学生认识基本不等式。此中基本不等式的证明是从代数、几何多方面张开，既有逻辑推理，又有直观的几何解说，使学生充分运用数形联合的思想方法，进一步培育其抽象概括能力和推理论证能力。这就使得不等式的证明成为本节课的中心内容。

二、讲课重难点

讲课要点：应用数形联合的思想理解基本不等式，并从不一样样角度研究基本不等式的证明过程。

讲课难点：从不一样样角度研究基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。

三、讲课目标

《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①研究并认识基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题。依据《课标》要乞降本节讲课内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的讲课目确实定为：

1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些

第1页简单的求最值问题；理解算数均匀数与几何均匀数的看法，学会构造条件使用基

本不等式；培育学生研究能力以及解析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：依据创办状况，提出问题→解析概括证明→几何解

释→应用（最值的求法、实诘问题的解决）的过程表现。启动观察、解析、归

纳、总结、抽象概括等思想活动，培育学生的思想能力，意会数学看法的学习方

法，经过运用多媒体的讲课手段，引领学生主动研究基本不等式性质，意会学习

数学规律的方法，体验成功的乐趣。

3、感情与态度目标：经过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实质中

来，培育学生用数学的眼光看世界，经过数学思想认知世界，从而培育学生擅长

思虑、勤于着手的优异质量。

四、学生学情解析

学生在此以前已经具备了平面几何的基本知识，掌握了不等式的基天性质和比较法证明不等式。在学习本节课前尽管学生已经学习了函数的最值问题以及不等式的性质和解法，但对于用不等式模型来解决问题及基本不等式的各种几何背景学生还是有一些困难，一时很难接受；从重要不等式到基本不等式的简洁构造使得变量范围是从全体实数变化为正实数，很不好理解；对于变量存在和也许积为定值也需仔细观察，在整体的变化过程中取最值是整体与局部的数学思想简单忽视。其余，教材中提出研究基本不等式的几何解说需要学生具备优异的逻辑推理能力，并且图形中线段间的关系也比较隐蔽，不易被发现。所以，我以为本节课的讲课难点为：从不一样样角度研究基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。

五、讲课策略解析

本节课采纳研究式课堂讲课模式，即在讲课过程中，在教师的指引下，以学生的自主研究与合作交流为前提，以问题为导向设计讲课情境，以“基本不等式的发现与证明”为基本研究内容，为学生供给自由表达、思疑、研究、谈论问题

的时机，让学生在知识的形成、发展过程中张开思想，逐渐提高学生发现问题、研究问题、解决问题的能力。

六、讲课过程设计

1、创办情境

第2页国际数学家大会被誉为是数学界的奥林匹克嘉会，每次大会上都会宣告菲尔

兹奖获奖名单。诺贝尔奖中独一没有设置数学奖，而菲尔兹奖被誉为国际数学界

的诺贝尔奖。迄今为止已有两位华人数学家获此殊荣，第一位是美籍华人丘成桐

教授，在班会中我们曾倾听过他的演讲，第二位是澳洲华侨数学家陶哲轩。在

2019年国际数学家大会抵达北京，请看大会会标。

会标依据三国时期吴国数学家赵爽用于证明“勾股定理”的弦图设计，颜色

的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热忱好客。下边请同学们思虑以下

问题。

2、公式引读

问题1：会标中含有如何的几何图形？

学生一致回答三角形和正方形

问题2：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？

学生们开动脑筋，找到好多相等关系与不等关系，下边我们从图形面积角度

量化研究“四个直角三角形面积小于大正方形面积”这一不等关系。

生1：S大正方形4S直角三角形，得a2b22ab；生2：S小正方形0，得ab20。

问题3：四个直角三角形面积与大正方形面积什么时候实现相等？

生1：ab时(从数的角度)

生2：中间小正方形四点合一时(从形的角度)

两位同学分别从数与形的角度给出结论，教师利用几何画板改变弦图中两直角边的长度，显现运动变化的弦图，请学生进一步观察意会。

【设计企图】介绍国际数学家大会以及赵爽的相关背景，表现数学的文化价值，浸透爱国主义教育。提出弦图中面积间的不等关系，意会相对关系与不等关系的辩证一致，显现赵爽弦图的构图奇妙、精致，表现数与形的圆满一致，让学生对弦图的认识清楚、圆满。同时经过运动变化将直观的面积关系转变成隐含的数值关系。

【概括】对于两直角边a、b，有a2b22ab，当且仅当ab时等号建立。

问题4：上式对正实数是建立的，那么对任意实数a、b，上式都建立吗？请

第3页证明自己的结论。

（请学生自主研究完成证明，学生比较自然的想到用“比较法”证明。教师利用投影仪显现学生的圆满证明过程。重申ab和ab两种状况，说明“当且仅当”的含义。）

【概括】由图形中面积间的不等关系，我们发现了两实数间的这一事实：对

任意实数a、b，有a2b22ab，当且仅当ab时，等号建立。

【设计企图】问题4给学生供给思想发展的空间，让学生从对知识的直观

感知上涨到理性证明，既表现了数学知识发生发展的过程及其慎重性，又牢固

了证明不等式的基本方法，为后续证明基本不等式做铺垫。在此过程中给学生

供给了一种研究思路：由图形中的不等关系可以获得相应实数间的一些不等式，

浸透数形联合思想。问题5：对于上式，假如a0,b0,用a取代a，b取代b可获得什么结论？ab0)，当且仅当a=b时，等号建立。ab(a0,b2问题6：请用不等式的性质,证明这个不等式。方法一：作差比较或由(ab)20张开证明。

方法二：解析法（完成课本填空）

设计依据：课本是学生认识世界的窗口和工具，所以，课本必然成为学生赖以学会学习的文本。在讲课中要让学生学会仔细看书、专心思虑，养成讲讲议议、着手动笔、仔细观察、专心意会的好习惯，真切学会读“数学书”。

要证abab①2只要证ab②要证②,只要证ab0③要证③,只要证()20④明显,④是建立的。当且仅当a=b时,④中的等号建立。【概括】证明方法叫做解析法，其实是找寻结论的充分条件，执果索因的

一种思想方法。

第4页【设计企图】激发学生的思想，使其从多角度发现不等式a2b22ab与不

等式ab2aba0,b0的内在联系，认识到它们是对同一个事实的两种不

同描述，其实质是一致的。同时也能促进学生形成对学习进行反思的意识与习惯。此处的证明由学生独立完成，互相交流，并显现不一样样的证明方法，这样既能使不一样样认知基本的学生裸露出不一样样的问题，并加以解决，又能教会学生赏识伙伴身上的闪光点，弘扬合作精神。

3、公式构想

【概括】平时我们把不等式

abab(a0,b0)，当且仅当a=b时取等号。2称为基本不等式。我们把ab叫做正数a，b的算术均匀数，ab叫做正数a，b的几何均匀数。2基本不等式文字表达为：两个正数的算术均匀数不小于它们的几何均匀数。

基本不等式实质反响的是两个正数的和与积之间的不等关系。

【过渡】从代数的角度我们证了然基本不等式，实质上，在好多几何图形中也都包含着基本不等式，下边就让

我们回归到直观图形进一步理解基本不等式。A【问题7】你能用这个图得出基本不等式的几何解说

吗?

如图,点C是AB上一点,AC=a，BC=b，以AB为直径作圆,OC作垂直于AB的弦DC,连接AD、BD、OD。

①如何用a,b表示OD?

②如何用a,b表示CD?

③OD与CD的大小关系如何?

(请学生合作研究完成，并显现说明：

生1：直角三角形中，斜边大于直角边；

生2：在直角三角形中，斜边上的中线不小于斜边的高。

Dab

ab

2ab

OCB

为圆心，过点

生3：在圆中，半径不小于半弦。)第5页【设计企图】经过对图形的研究多角度说明基本不等式的几何意义，因为

学生对问题的分解能力不足，不知如何下手研究，并且表示ab的线段及其几

何意义学生不易发现。为了帮助学生，我将问题7分解为三个小问题，从运动

变化的角度帮助学生观察、概括。一方面，帮助学生建立数学联合的基本思想；

另一方面，培育学生从运动变化的角度思虑问题、解决问题的能力，多角度认

识基本不等式的几何解说。

【过渡】基本不等式表现的是两个正数的和与积之间的不等关系，这在解决

实诘问题中有着广泛应用，是解决最值问题的有力工具。

4、公式活用

例1：(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（请学生试一试完成，并表述解题过程，教师板书。重申能获得最小值的原由及等号建立的条件。教师概括：依据基本不等式发现，两个正数积为定值时，和存在最小值。）

用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（请学生试一试完成，并表述解题过程，教师板书。重申能获得最大值的原由及等号建立的条件。教师概括：依据基本不等式发现，两个正数和为定值时，积

存在最大值。）

【设计企图】本题是基本不等式在实诘问题中的简单应用，一方面，让学生知

道可以利用基本不等式求解最大（小）值的问题；另一方面，增强学生对基本

不等式的理解，特别是等号建立的条件，同时培育学生形成慎重的思想习惯，

具备反思的意识，也为后续提出“一正，二定，三相等”做铺垫。

、课堂小结

1）本节课我们学习的主要内容是什么?

2）在应用基本不等式时，需要注意哪几点？

3）在本节课的学习中，运用了哪些数学思想方法？

（请学生发言，并互相增补，教师谈论即可。教师可合适总结本节课所应用

的数学思想与方法。）第6页【总结提高】本节课我们从几何图形中发现重要不等式，并抽象出基本不

等式，又从代数的角度证了然基本不等式的正确性，并回归到图形中理解了基

本不等式的几何意义。这是一个由形到数又到形的过程，数学中数形联合思想

在此获得了酣畅淋漓的表现。理论联系实质方显基本不