状态方程传递函数试验建模课件

伺服系统工程建模方法概述几种典型环节的动态特性控制对象的机理建模方法时域法建模频域法建模相关分析法建模举例伺服系统工程建模方法概述1概述数学模型用数学表示描述的系统各变量之间的相互关系；建立系统的数学模型是设计的基础；反映系统的动态性能，改善性能的前提。建模方法

两种方法：机理建模、实验建模

机理建模：根据物理规律或化学规律列写变量间相互关系。(基尔霍夫定律、欧姆定律，牛顿定律，热力学定律等)描述形式:微分方程、状态方程、传递函数

实验建模：系统施加一试验信号，测量系统的输入和输出数据，对这些输入、输出数据进行分析和处理，求出一种数学表示式，也称为系统辨识。方法：时域法、频域法、相关分析法和参数估计。概述数学模型2几种典型环节的动态特性工程中几种常用的传递函数自平衡对象

无自平衡对象几种典型环节的动态特性工程中几种常用的传递函数3控制对象的机理建模方法

一、非线性模型的线性化建立数学模型，会遇到某些部件具有非线性特性。为了方便分析、设计计算，需要作近似线性化处理。线性化处理后得到的传递函数与实际系统性能的近似程度要接近的。工程上采用的线性化法有切线法、割线法和直接拟合法(最小二乘法)。割线法割线法通常根据系统运行的范围，在对应的非线性特性上找两点，用通过这两点的直线来代替。如右图机械特性，它是非线性的特性，需要对其特性作近似线性化处理，就采用了割线法。控制对象的机理建模方法一、非线性模型的线性化4切线法切线法是在其工作点(或称运行点)处作切线，用此切线来近似代替非线性特性。如果非线性特性可用一方程表示，则在其工作点处用泰勒级数展开，保留一次项，忽略二次以上的高次项，便得到一近似的直线方程。这种线性化办法对经常有稳定运行工作点的系统是合适的。

从机械特性可以看出，低速部分特性很软，一般不适于低速运行。若系统经常工作时不人为地进行调速，负载力矩经常保持在ML附近，则系统输出转速亦将在n1附近。为此可在运行点(ML，n1)用切线法近似线性化。切线法5直线拟合法直线拟合考虑系统运行在一定范围，其工作点不是一个，利用最小二乘法建立一直线方程，近似拟合非线性特性，以保证在系统运行范围内拟合的误差平方和(方差)最小。滑差电机控制电压变化，系统运行在a、b、c、d、e点，是一个区间，分别作它们的切线，所得的斜率彼此相差很大，需要用最小二乘法拟合系数，使得在运行区域内线性近似的方差最小。c点为经常工作点（nc、ML）。

直线拟合法6ML负载线与另四条机械特性交点：a(ML,nc+Δn2)、b(ML,nc+Δn3)、d(ML,nc-Δn4)、e(ML,nc-Δn5)和负载线与机械特性交点：a′(ML-ΔM,nc+Δn6)，a′′(ML+ΔM，nc+Δn7)b′(ML-ΔM,nc+Δn8)、b′′(ML+ΔM，nc+Δn9)c′(ML-ΔM,nc+Δn10)、c′′(ML+ΔM，nc-Δn11)d′(ML-ΔM,nc-Δn12)、d′′(ML+ΔM，nc-Δn13)e′(ML-ΔM,nc-Δn14)、e′′(ML+ΔM，nc-Δn15)p1234567点cabdea′a′′Δip02ΔiΔi-Δi-2Δi2Δi2ΔiΔnp0Δn2Δn3-Δn4-Δn5Δn6Δn7ΔMp00000-ΔMΔM89101112131415b′b′′c′c′′d′d′′e′e′′ΔiΔi00-Δi-Δi-2Δi-2ΔiΔn8Δn9Δn10-Δn11-Δn12-Δn13-Δn14-Δn15-ΔMΔM-ΔMΔM-ΔMΔM-ΔMΔMML负载线与另四条机械特性交点：p1234567点c7状态方程传递函数试验建模课件8状态方程传递函数试验建模课件9二、控制对象的机理建模

给出了6个机理建模例子1.带载直流电动机的数学模型含有减速装置和负载

2.直流力矩电机的传递函数

3.弹簧-质量-阻尼器机械系统力分析4.齿轮系的运动方程传递关系5.速度控制系统的微分方程

系统建模，各部分组合6.利用元件铭牌数据和经验公式近似推导系统的传递函数在稳态设计计算的基础上，利用所选元部件的技术数据，近似推导系统的传递函数。

二、控制对象的机理建模10时域法建模由飞升曲线确定一阶环节的参数r(t)表示输入到环节的阶跃试验信号，c(t)是环节的阶跃响应，即飞升曲线。如果飞升曲线在t=0处斜率不为零而为最大值，然后上升到稳态值c(∞)，则该环节的数学模型可用一阶惯性环节来近似。时域法建模由飞升曲线确定一阶环节的参数11若实验飞升曲线是一条S型非周期曲线，则它的数学模型可用一阶惯性环节与延时环节的组合来近似。若实验飞升曲线是一条S型非周期曲线，则它的数学模型可12由飞升曲线确定二阶非振荡环节的参数若实验飞升曲线是一条S型非周期曲线，则它的数学模型可用二阶过阻尼振荡环节或与延时环节的组合来近似。需确定由飞升曲线确定二阶非振荡环节的参数若实验飞升曲线是一条S型非13如果满足如果满足14由飞升曲线确定二阶振荡环节的参数若实验飞升曲线为衰减振荡曲线，其传递函数可以考虑用二阶环节来近似，0＜ζ＜1欠阻尼情况。首先考虑无延迟的情况由飞升曲线确定二阶振荡环节的参数15状态方程传递函数试验建模课件16频域法建模

通过实验可以测得系统的频率特性。首先测得系统的脉冲过渡函数,然后用快速离散付里叶变换(FFT)算法，可间接求得系统的频率特性。对于简单的情况，可以通过绘制幅相频率特性或对数频率特性来确定系统的传递函数。若系统的幅相频率特性近似于半圆，则相应的传递函数可以用一阶环节来近似。P(ω)和Q(ω)分别表示系统的实频和虚频特性，即G(jω)=P(jω)+jQ(jω)

频域法建模通过实验可以测得系统的频率特性。17

如果幅相频率特性分布在两个角限内，则相应的传递函数可用二阶环节来近似。A(ωk)和φ(ωk)是频率为ωk时的幅频和相频的绝对值

通过绘制幅相频率特性或对数频率特性来确定系统传递函数的方法比较直观。它适合于一阶或二阶的简单传递函数的辨识.如果幅相频率特性分布在两个角限内，则相应的传递函数可18通用方法:设已测得系统的频率响应数据为通用方法:设已测得系统的频率响应数据为19在频率ω=ωk处的拟合误差为计算拟合的传递函数G(s)，使得如下的误差性能指标极小，在这个性能指标中，每个频率点的加权系数均为1，也即它对每个频率点给予同等的看待，因而它是典型的最小二乘问题。相应于频率点ωk的加权系数为D(jωk)。式中D(jωk)=A1(ωk)+jA2(ωk)为G(jω)的分母。通常情况下，在低频段D(jωk)比较小，而在高频段D(jωk)比较大，因此误差性能指标对于高频段将给予较多的重视，而对于低频段则给予较少的重视。也就是说，按照这个指标函数所拟合的传递函数在高频段有较高的拟合精度，而低频段则较差。在频率ω=ωk处的拟合误差为20状态方程传递函数试验建模课件21相关分析法建模

离线与在线辨识相关分析法既可用于离线辨识，也可用于在线辨识通过在控制对象的输入端加一个随机信号r(t)，测量输出信号c(t)，然后通过相关分析求得被测系统的频率特性，进而求得它的传递函数。加一低电平随机信号，这个信号对正常的运行不产生影响。相关分析法另一突出优点是它具有较好抗干扰性能。当测量数据中包含有随机噪声时，不影响相关分析法计算结果。一、相关辨识原理及方法

设r(t)为平稳随机过程，则c(t)也为平稳随机过程，同时设r(t)和c(t)具有各态历经的性质，则r(t)的自相关函数可以表示为

相关分析法建模离线与在线辨识22r(t)和c(t)的互相关函数可以表示为根据卷积定理，c(t)和r(t)之间满足如下关系

r(t)和c(t)的互相关函数可以表示为23平稳随机过程的自相关谱密度函数是实数。互相关谱密度函数一般来说则是复数。

平稳随机过程的自相关谱密度函数是实数。互相关谱密度函24

相关分析法抗干扰能力强。例如，设系统输出端存在测量噪声，并设n(t)与r(t)不相关。根据所测得的数据r(t)和(t)可以计算出它们的互相关函数为相关分析法抗干扰能力强。25

二、通过相关函数的计算进行辨识

求被测系统的频率特性，需要计算输入随机信号r(t)的自相关功率谱密度函数Sr(jω)及r(t)与c(t)互相关功率谱密度函数Src(jω)。Sr(jω)和Src(jω)相关函数Rr(τ)和Rrc(τ)经付里叶变换而得。利用相关分析辨识系统模型计算包括以下三部分：(1)根据输入和输出的随机数据，计算自相关函数Rr(τ)和互相关函数Rrc(τ)；(2)对Rr(τ)和Rrc(τ)进行付里叶变换求得Sr(jω)和Src(jω)；(3)频率特性G(jω)=Src(jω)/Sr(jω)得传递函数G(s)。

二、通过相关函数的计算进行辨识26介绍一种更加简单的方法：直接对原始数据进行付里叶变换，从而获得相应的功率谱密度函数。省去了求相关函数。设r(t)和c(t)为被测系统的输入和输出平稳随机过程，定义R(ω,T)和C(ω,T)分别为随机过程r(t)和c(t)在有限区间T上的付里叶变换。且r(t)和c(t)的自相关和互相关功率谱密度函数满足如下关系:

介绍一种更加简单的方法：27按照该方法，利用计算机进行计算时的几点说明：(1)要求取T→∞时的极限，实际计算时只能取T为一个比较大的有限值；

(2)实际计算时用离散付里叶变换来代替式连续付里叶变换；

(3)求取的数学期望，实际计算时只能取它们的一个实现或再乘以一个窗函数。按照该方法，利用计算机进行计算时的几点说明：28伺服系统工程建模方法概述几种典型环节的动态特性控制对象的机理建模方法时域法建模频域法建模相关分析法建模举例伺服系统工程建模方法概述29概述数学模型用数学表示描述的系统各变量之间的相互关系；建立系统的数学模型是设计的基础；反映系统的动态性能，改善性能的前提。建模方法

两种方法：机理建模、实验建模

机理建模：根据物理规律或化学规律列写变量间相互关系。(基尔霍夫定律、欧姆定律，牛顿定律，热力学定律等)描述形式:微分方程、状态方程、传递函数

实验建模：系统施加一试验信号，测量系统的输入和输出数据，对这些输入、输出数据进行分析和处理，求出一种数学表示式，也称为系统辨识。方法：时域法、频域法、相关分析法和参数估计。概述数学模型30几种典型环节的动态特性工程中几种常用的传递函数自平衡对象

无自平衡对象几种典型环节的动态特性工程中几种常用的传递函数31控制对象的机理建模方法

一、非线性模型的线性化建立数学模型，会遇到某些部件具有非线性特性。为了方便分析、设计计算，需要作近似线性化处理。线性化处理后得到的传递函数与实际系统性能的近似程度要接近的。工程上采用的线性化法有切线法、割线法和直接拟合法(最小二乘法)。割线法割线法通常根据系统运行的范围，在对应的非线性特性上找两点，用通过这两点的直线来代替。如右图机械特性，它是非线性的特性，需要对其特性作近似线性化处理，就采用了割线法。控制对象的机理建模方法一、非线性模型的线性化32切线法切线法是在其工作点(或称运行点)处作切线，用此切线来近似代替非线性特性。如果非线性特性可用一方程表示，则在其工作点处用泰勒级数展开，保留一次项，忽略二次以上的高次项，便得到一近似的直线方程。这种线性化办法对经常有稳定运行工作点的系统是合适的。

从机械特性可以看出，低速部分特性很软，一般不适于低速运行。若系统经常工作时不人为地进行调速，负载力矩经常保持在ML附近，则系统输出转速亦将在n1附近。为此可在运行点(ML，n1)用切线法近似线性化。切线法33直线拟合法直线拟合考虑系统运行在一定范围，其工作点不是一个，利用最小二乘法建立一直线方程，近似拟合非线性特性，以保证在系统运行范围内拟合的误差平方和(方差)最小。滑差电机控制电压变化，系统运行在a、b、c、d、e点，是一个区间，分别作它们的切线，所得的斜率彼此相差很大，需要用最小二乘法拟合系数，使得在运行区域内线性近似的方差最小。c点为经常工作点（nc、ML）。

直线拟合法34ML负载线与另四条机械特性交点：a(ML,nc+Δn2)、b(ML,nc+Δn3)、d(ML,nc-Δn4)、e(ML,nc-Δn5)和负载线与机械特性交点：a′(ML-ΔM,nc+Δn6)，a′′(ML+ΔM，nc+Δn7)b′(ML-ΔM,nc+Δn8)、b′′(ML+ΔM，nc+Δn9)c′(ML-ΔM,nc+Δn10)、c′′(ML+ΔM，nc-Δn11)d′(ML-ΔM,nc-Δn12)、d′′(ML+ΔM，nc-Δn13)e′(ML-ΔM,nc-Δn14)、e′′(ML+ΔM，nc-Δn15)p1234567点cabdea′a′′Δip02ΔiΔi-Δi-2Δi2Δi2ΔiΔnp0Δn2Δn3-Δn4-Δn5Δn6Δn7ΔMp00000-ΔMΔM89101112131415b′b′′c′c′′d′d′′e′e′′ΔiΔi00-Δi-Δi-2Δi-2ΔiΔn8Δn9Δn10-Δn11-Δn12-Δn13-Δn14-Δn15-ΔMΔM-ΔMΔM-ΔMΔM-ΔMΔMML负载线与另四条机械特性交点：p1234567点c35状态方程传递函数试验建模课件36状态方程传递函数试验建模课件37二、控制对象的机理建模

给出了6个机理建模例子1.带载直流电动机的数学模型含有减速装置和负载

2.直流力矩电机的传递函数

3.弹簧-质量-阻尼器机械系统力分析4.齿轮系的运动方程传递关系5.速度控制系统的微分方程

系统建模，各部分组合6.利用元件铭牌数据和经验公式近似推导系统的传递函数在稳态设计计算的基础上，利用所选元部件的技术数据，近似推导系统的传递函数。

二、控制对象的机理建模38时域法建模由飞升曲线确定一阶环节的参数r(t)表示输入到环节的阶跃试验信号，c(t)是环节的阶跃响应，即飞升曲线。如果飞升曲线在t=0处斜率不为零而为最大值，然后上升到稳态值c(∞)，则该环节的数学模型可用一阶惯性环节来近似。时域法建模由飞升曲线确定一阶环节的参数39若实验飞升曲线是一条S型非周期曲线，则它的数学模型可用一阶惯性环节与延时环节的组合来近似。若实验飞升曲线是一条S型非周期曲线，则它的数学模型可40由飞升曲线确定二阶非振荡环节的参数若实验飞升曲线是一条S型非周期曲线，则它的数学模型可用二阶过阻尼振荡环节或与延时环节的组合来近似。需确定由飞升曲线确定二阶非振荡环节的参数若实验飞升曲线是一条S型非41如果满足如果满足42由飞升曲线确定二阶振荡环节的参数若实验飞升曲线为衰减振荡曲线，其传递函数可以考虑用二阶环节来近似，0＜ζ＜1欠阻尼情况。首先考虑无延迟的情况由飞升曲线确定二阶振荡环节的参数43状态方程传递函数试验建模课件44频域法建模

通过实验可以测得系统的频率特性。首先测得系统的脉冲过渡函数,然后用快速离散付里叶变换(FFT)算法，可间接求得系统的频率特性。对于简单的情况，可以通过绘制幅相频率特性或对数频率特性来确定系统的传递函数。若系统的幅相频率特性近似于半圆，则相应的传递函数可以用一阶环节来近似。P(ω)和Q(ω)分别表示系统的实频和虚频特性，即G(jω)=P(jω)+jQ(jω)

频域法建模通过实验可以测得系统的频率特性。45

如果幅相频率特性分布在两个角限内，则相应的传递函数可用二阶环节来近似。A(ωk)和φ(ωk)是频率为ωk时的幅频和相频的绝对值

通过绘制幅相频率特性或对数频率特性来确定系统传递函数的方法比较直观。它适合于一阶或二阶的简单传递函数的辨识.如果幅相频率特性分布在两个角限内，则相应的传递函数可46通用方法:设已测得系统的频率响应数据为通用方法:设已测得系统的频率响应数据为47在频率ω=ωk处的拟合误差为计算拟合的传递函数G(s)，使得如下的误差性能指标极小，在这个性能指标中，每个频率点的加权系数均为1，也即它对每个频率点给予同等的看待，因而它是典型的最小二乘问题。相应于频率点ωk的加权系数为D(jωk)。式中D(jωk)=A1(ωk)+jA2(ωk)为G(jω)的分母。通常情况下，在低频段D(jωk)比较小，而在高频段D(jωk)比较大，因此误差性能指标对于高频段将给予较多的重视，而对于低频段则给予较少的重视。也就是说，按照这个指标函数所拟合的传递函数在高频段有较高的拟合精度，而低频段则较差。在频率ω=ωk处的拟合误差为48状态方程传递函数试验建模课件49相关分析法建模

离线与在线辨识相关分析法既可用于离线辨识，也可用于在线辨识通过在控制对象的输入端加一个随机信号r(t)，测量输出信号c(t)，然后通过相关分析求得被测系统的频率特性，进而求得它的传递函数。加一低电平随机信号，这个信号对正常的运行不产生影响。相关分析法另一突出优点是它具有较好抗干扰性能。当测量数据中包含有随机噪声时，不影响相关分析法计算结果。一、相关辨识原理及方法

设r(t)为平稳随机过程，则c(t)也为平稳随机过程，同时设r(t)和c(t)具有各态历经的性质，则r(t)的自相关函数可以表示为

相关分析法建模离线与在线辨识50r(t)和c(t)的互相关函数可以表示为根据卷积定理，c(t)和r(t)之间满足如下关系

r(t)和c(t)的