常用统计技术在质量管理中的应用

常用统计技术在质量管理中的应用安徽大学经济学院祝清电话mail:anhuizhuqing@126.com讲座提纲（Outline）方差分析回归分析试验设计讲座方式（Arrangement）案例为主注重理论现场答疑在终极的分析中，一切知识都是历史在抽象的意义下，一切科学都是数学在理性的基础上，所有的判断都是统计学质量管理三阶段检验质量管理统计质量管理全面质量管理第一节方差分析

一、几个概念二、单因子方差分析

三、重复数不等的情况（略）一、几个概念

在试验中改变状态的因素称为因子，常用大写英文字母A、B、C、…等表示。因子在试验中所处的状态称为因子的水平。用代表因子的字母加下标表示，记为A1，A2，…，Ak。试验中所考察的指标（可以是质量特性也可以是产量特性或其它）用Y表示。Y是一个随机变量。单因子试验：若试验中所考察的因子只有一个。[例2-1]现有甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，为了了解不同工厂的零件的强度有无明显的差异，现分别从每一个工厂随机抽取四个零件测定其强度，数据如表所示，试问三个工厂的零件的平均强度是否相同？

工厂量件强度

甲

乙

丙

10310198110

113107108116

82928486三个工厂的零件强度

在这一例子中，考察一个因子：因子A：工厂该因子有三个水平：甲、乙、丙试验指标是：零件强度这是一个单因子试验的问题。每一水平下的试验结果构成一个总体，现在需要比较三个总体均值是否一致。如果每一个总体的分布都是正态分布，并且各个总体的方差相等，那么比较各个总体均值是否一致的问题可以用方差分析方法来解决。二、单因子方差分析

假定因子A有r个水平，在Ai水平下指标服从正态分布，其均值为，方差为，i=1,2,…,r。每一水平下的指标全体便构成一个总体，共有r个总体，这时比较各个总体的问题就变成比较各个总体的均值是否相同的问题了，即要检验如下假设是否为真：当不真时，表示不同水平下的指标的均值有显著差异，此时称因子A是显著的，否则称因子A不显著。检验这一假设的分析方法便是方差分析。方差分析析的三个个基本假假定1.在水平下，指标服从正态分布；2.在在不同同水平下下，各方方差相等等；3.各数据相互独立。设在一个试验中只考察一个因子A，它有r个水平，在每一水平下进行m次重复试验，其结果用表示，i=1,2,…,r。常常把数据列成如下表格形式：单因子试试验数据据表记第i水平下的数据均值为，总均值为。此时共有n=rm个数据，这n个数据不全相同，它们的波动（差异）可以用总离差平方和ST去表示记第i水水平下下的数据据和为Ti，；；引起数据据波动（（差异））的原因因不外如如下两个个：一是由于于因子A的水平平不同，，当假设设H0不真时，，各个水水平下指指标的均均值不同同，这必必然会使使试验结结果不同同，我们们可以用用组间离离差平方方和来表表示，也也称因子子A的离离差平方方和：这里乘以以m是因因为每一一水平下下进行了了m次试试验。二是由于于存在随随机误差差，即使使在同一一水平下下获得的的数据间间也有差差异，这这是除了了因子A的水平平外的一一切原因因引起的的，我们们将它们们归结为为随机误误差，可可以用组组内离差差平方和和表示：：Se：也称为为误差的的离差平平方和可以证明明有如下下平方和和分解式式：ST、SA、Se的自由度分别用、、表示，它们也有分解式：，其中：因子或误误差的离离差平方方和与相相应的自自由度之之比称为为因子或或误差的的均方和和，并分分别记为为：两者的比记为：当时认为在显著性水平上因子A是显著的。其中是自由度为的F分布的1-α分位数。单因子方方差分析析表各个离差差平方和和的计算算：其中是第i个水平下的数据和；T表示所有n=r•m个数据的总和。

进行方差差分析的的步骤如如下：（1）计计算因子子A的每每一水平平下数据据的和T1，T2，…，Tr及总和T；（2）计算各类数据的平方和；

（3）依依次计算算ST，SA，Se；（4）填填写方差差分析表表；（5）对于给定的显著性水平α，将求得的F值与F分布表中的临界值比较，当时认为因子A是显著的，否则认为因子A是不显著的。

对例2-1的分析（1）计计算各类类和：每一水平平下的数数据和为为：数据的总总和为T=1200（2）计计算各类类平方和和：原始数据的平方和为：

每一水平下数据和的平方和为

（3）计计算各离离差平方方和：ST=121492-12002/12=1492，fT=3×4-1=11SA=485216/4-12002/12=1304,fA=3-1=2Se=1492-1304=188,fe=11-2=9（4）列列方差分分析表：：[例2-1]的方差差分析表表（5）如果给定=0.05，从F分布表查得

由于F>4.26，所以在=0.05水平上结论是因子A是显著的。这表明不同的工厂生产的零件强度有明显的差异。

当因子A是显著著时，我我们还可可以给出出每一水水平下指指标均值值的估计计，以便便找出最最好的水水平。在在单因子子试验的的场合，，第i个个水平指指标均值值的估计计为：，

在例2-1中，三个个工厂生生产的零零件的平平均强度度的的估估计分别别为：由此可见见，乙厂厂生产的的零件的的强度的的均值最最大，如如果我们们需要强强度大的的零件，，那么购购买乙厂厂的为好好；而从从工厂来来讲，甲甲厂与丙丙厂应该该设法提提高零件件的强度度。误差方差的估计：这里方差的估计是MSe。在本例中：的估计是20.9。

的估计是

三、重复复数不等等的情况况（略））第二节回回归分分析一、散点点图二、相关关系数三、一元元线性回回归分析析四、可化化为一元元线性回回归分析析的曲线线回归分分析请看例子子例2-2合金的强强度y与与合金中中的碳含含量x有有关。为为了生产产出强度度满足顾顾客需要要的合金金，在冶冶炼时应应该如何何控制碳碳含量？？如果在在冶炼过过程中通通过化验验得到了了碳含量量，能否否预测合合金的强强度？这时需要要研究两两个变量量间的关关系。首首先是收收集数据据(xi,yi)，i=1,2,……,n。。现从生生产中收收集到表表2.2-1所所示的数数据。表2-1数数据据表一、散点点图6050400xy[例2-2]的散点点图二、相关关系数1．相关关系数的的定义在散点图图上n个点点在一条条直线附附近，但但又不全全在一条条直线上上，称为为两个变变量有线线性相关关关系，，可以用用相关系系数r去描描述它们们线性关关系的密密切程度度å=iyyTå=ixxT,性质：

表示n个点在一条直线上，这时两个变量间完全线性相关。

r>0表表示当x增加时时y也增增大，称称为正相相关r<0表表示当x增加时时y减小小，称为为负相关关r=0表表示两个个变量间间没有线线性相关关关系，，但并不不排斥两两者间有有其它函函数关系系。2．相关关系数的的检验若记两两个变变量x和y理论论的相相关系系数为为，，其其中x为一一般变变量，，y服服从等等方差差的正正态分分布，，则对给定的显著性水平，当可以认为两者间存在一定的线性相关关系，可以查表得出。（其中n为样本量）。

3．具具体计计算求上例例的相相关系系数：：步骤如如下：：（1））计算算变量量x与与y的的数据据和：：Tx==1.90,Ty==590.5

（2））计算算各变变量的的平方方和与与乘积积和：：（3））计算算Lxx,Lyy,Lxy：Lxy=95.9250-1.90×590.5/12=2.4292Lxx=0.3194-1.902/12=0.0186Lyy=29392.75-590.52/12=335.2292（4）计算r：在=0.05时，，由于r>0.576，说明两个变量间有（正）线性相关关系。

三、一一元线线性回回归方方程1.一一元线线性回回归方方程的的求法法：一元线性回归方程的表达式为

其中a与b使下列离离差平方和和达到最小小：通过微分学学原理，可可知，

称这种估计计为最小二二乘估计。。b称为回回归系数；；a一般称称为常数项项。求一元线性性回归方程程的步骤如如下：（1）计算算变量x与与y的数据据和Tx，Ty；（2）计算算各变量的的平方和与与乘积和；；（3）计算算Lxx,Lxy；（4）求出出b与a；；利用前面的的数据，可可得：b=2.4392/0.0186=130.6022a=590.5/12-130.6022××1.90/12=28.5297（5）写出出回归方程程：画出的回归直线一定通过（0，a）与两点

上例：或2.回回归方程的的显著性检检验有两种方法法：一是用上述述的相关系系数；二是用方差差分析方法法（为便于于推广到多多元线性回回归的场合合），将总总的离差平平方和分解解成两个部部分：回归归平方和与与离差平方方和。总的离差平方和：

回归平方和：

离差平方和：

且有ST=SR+SE，其中

它们的自由由度分别为为：fT=n-1，，fR=1，fE=n-2=fT-fR计算F比，，对给定的显著性水平，当时认为回归方程是显著的，即回归方程是有意义的。一般也列成方差分析表。

对上面的例例子，作方方差分析的的步骤如下下：根据前面的的计算（1）计算算各类平方方和：ST=Lyy=335.2292，fT=12-1=11SR=bLxy=130.6022×2.4292=317.2589，fR=1SE=335.2292-317.2589=17.9703，fE=11-1=10（2）列方方差分析表表：[例2-2]的方差分分析表对给定的显著性水平=0.05，有

F0.95(1,10)=4.96由于F>4.96，，所以在0.05水水平上认为为回归方程程是显著的的（有意义义的）。3．利用回回归方程进进行预测对给定的，y的预测值为

概率为的y的预测区间是

其中当n较大，与相差不大，那么可给出近似的预测区间，此时

进行预测的的步骤如下下：（1）对给给出的x0求预测值上例，设x0=0.16，则（2）求的估计

上例有

（3）求上例n=12，如果果求概率为为95%的的预测区间间，那么t0.975(10)=2.228，所以以（4）写出预测区间

上例为(49.43-3.11,49.43+3.11)=(46.32,52.54)由于u0.975=1.96，故概率率为0.95的近似似的预测区区间为：∵∴所求区间：：（49.43-2.63，49.43+2.63）=（（46.80，52.06））相差较大的的原因总n较小。四、可化为为一元线性性回归的曲曲线回归（（略）在两个重复复的散点图图上，n个个点的散布布不一定都都在一条直直线附近波波动，有时时可能在某某条曲线附附近波动，，这时以建建立曲线回回方程为好好。1.确确定曲线回回归方程形形式2.曲曲线回归方方程中参数数的估计通过适当的的变换，化化为一元线线性回归的的形式，再再利用一元元线性回归归中的最小小二乘估计计方法获得得。回归曲线的的形式：（1），，（a>0，b>0）（2），，（b>0）（3），，（b>0）（4），，（b>0）3.曲曲线回归方方程的比较较常用的比较较准则：（1）要求求相关指数数R大，其其平方也称称为决定系系数，它被被定义为：：（2）要求求剩余标准准差s小，，它被定义义为：第三节试试验验设计一、试验设设计的基本本概念与正正交表二、无交互互作用的正正交设计与与数据分析析三、有交互互作用的正正交设计与与数据分析析（略）一、试验设设计的基本本概念与正正交表（一）试验验设计多因素试验验遇到的最最大困难是是试验次数数太多，若若十个因素素对产品质质量有影响响，每个因因素取两个个不同状态态进行比较较，有210=1024、如果每每个因素取取三个不同同状态310=59049个不同同的试验条条件选择部分条条件进行试试验，再通通过数据分分析来寻找找好的条件件，这便是是试验设计计问题。通通过少量的的试验获得得较多的信信息，达到到试验的目目的。利用正交表表进行试验验设计的方方法就是正正交试验设设计。（二）正交交表“L”表示示正交表，，“9”是是表的行数数，在试验验中表示试试验的条件件数，“4”是列数数，在试验验中表示可可以安排的的因子的最最多个数，，“3”是是表的主体体只有三个个不同数字字，在试验验中表示每每一因子可可以取的水水平数。正交表具有有正交性，，这是指它它有如下两两个特点：：（1）每列列中每个数数字重复次次数相同。。在表L9(34)中，每列列有3个不不同数字：：1,2,3，每一一个出现3次。（2）将任任意两列的的同行数字字看成一个个数对，那那么一切可能能数对重复复次数相同同。在表L9(34)中，任意意两列有9种可能的的数对：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)每一对出出现一次。。常用的正交交表有两大大类（1）一一类正交表表的行数n，列数p，水平数数q间有如下关关系：n=qk,k=2,3,4,…,p=(n-1)/(q-1)如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等，可以以考察因子子间的交互互作用。（2）另一一类正交表表的行数，，列数，水水平数之间间不满足上述述的两个关关系如：L12(211)，L18(37)，L20(219)，L36(313)等这类正交表表不能用来来考察因子子间的交互互作用常用正交表表见附录二、无交互互作用的正正交设计与与数据分析析试验设计一一般有四个个步骤：1.试试验设计2.进进行试验获获得试验结结果3.数数据分析4.验验证试验例2-3磁鼓电机是是彩色录像像机磁鼓组组件的关键键部件之一一，按质量量要求其输输出力矩应应大于210g.cm。某生生产厂过去去这项指标标的合格率率较低，从从而希望通通过试验找找出好的条条件，以提提高磁鼓电电机的输出出力矩。（一）试验验的设计在安排试验验时，一般般应考虑如如下几步：：（1）明确确试验目的的（2）明确确试验指标标（3）确定定因子与水水平（4）选用用合适的正正交表,进进行表头设设计，列出出试验计划划在本例中：：试验目的：：提高磁鼓鼓电机的输输出力矩试验指标：：输出力矩矩确定因子与与水平：经经分析影响响输出力矩矩的可能因因子及水平见见表2-3表2-3因因子水平表表选表：首先先根据因子子的水平数数，找出一一类正交表表再根据因子子的个数确确定具体的的表把因子放到到表的列上上去，称为为表头设计计把放因子子的列中的的数字改为为因子的真真实水平，，便成为一一张试验计计划表，每每一行便是是一个试验验条件。在在正交设计计中n个试试验条件是是一起给出出的的，称称为“整体设计”，并且均匀匀分布在试试验空间中中。表头设计ABC列号

1234试验计划与与试验结果果9个试验点点的分布3C3C2C1A115798642A2A3B1B2B3（二）进行行试验，并并记录试验验结果在进行试验验时，要注注意几点：：1.除除了所考察察的因子外外的其它条条件，尽可可能保持相相同2.试试验次序最最好要随机机化3.必必要时可以以设置区组组因子（三）数据据分析1.数数据的直观观分析（1）寻找找最好的试试验条件在A1水平下进行行了三次试试验：#1，#2，，#3，而而在这三次次试验中因因子B的三三个水平各各进行了一一次试验，，因子C的的三个水平平也各进行行了一次试试验。在A2水平下进行行了三次试试验：#4，#5，，#6，在在这三次试试验中因子子B与C的的三个水平平各进行了了一次试验验。在A3水平下进行行了三次试试验：#7，#8，，#9，在在这三次试试验中因子子B与C的的三个水平平各进行了了一次试验验。将全部试验验分成三个个组，那么么这三组数数据间的差差异就反映映了因子A的三个水水平的差异异，为此计计算各组数数据的和与与平均：T1=y1+y2+y3=160+215+180=555=T1/3=185

T2=y4+y5+y6=168+236+190=594=T2/3=198

T3=y7+y8+y9=157+205+140=502=T3/3=167.3

同理对因子B与C将将数据分分成三组组分别比比较所有计算算列在下下面的计计算表中中例2-3直观分析析计算表表（2）各各因子对对指标影影响程度度大小的的分析极差的大大小反映映了因子子水平改改变时对对试验结结果的影影响大小小。这里里因子的的极差是是指各水水平平均均值的最最大值与与最小值值之差，，譬如对对因子A来讲：：RA=198－167.3=30.7其它的结结果也列列在上表表中。从从三个因因子的极极差可知知因子B的影响响最大，，其次是是因子A，而因因子C的的影响最最小。（3）各各因子不不同水平平对指标标的影响响图从图上可可以明显显地看出出每一因因子的最最好水平平A2，B2，C3，也可以以看出每每个因子子对指标标影响的的大小RB>RA>RC。CBA22020519017516090011001300101112708090RARBRC图2-4因因子子各水平平对输出出力矩的的影响由于正交交表的特特点，使使试验条条件均匀匀分布在在试验空空间中，，因此使使数据间间具有整整齐可比比性，上上述的直直观分析析可以进进行。但但是极差差大到什什么程度度可以认认为水平平的差异异确实是是有影响响的呢？？2.数数据的的方差分分析要把引起起数据波波动的原原因进行行分解，，数据的的波动可可以用离离差平方方和来表表示。正交表中中第j列列的离差差平方和和的计算算公式：：其中Tij为第j列列第i水水平的数数据和，，T为数数据总和和，n为为正交表表的行数数，q为为该列的的水平数数该列表头头是哪个个因子，，则该Sj即为该因因子的离离差平方方和，譬譬如SA=S1正交表总总的离差差平方和和为：在这里有：[例2-3]的方差差分析计计算表第4列上上没有放放因子，，称为空空白列。。S4仅反映由由误差造造成的数数据波动动，称为为误差平平方和。。Se=S4利用可可以验验证平方方和的计计算是否否正确。。[例2-3]的方差差分析表表因子A与与B在显显著性0.10与0.05上上都是显显著的，，而因子子C不显显著。3.最最佳条条件的选选择对显著因因子应该该取最好好的水平平；对不显著著因子的的水平可可以任意意选取，，在实际际中通常常从降低低成本、、操作方方便等角角度加以以选择。。上面的例2-3中对因子子A与B应该选选择A2B2，因子C可以任任选，譬譬如为节节约材料料可选择择C1。4.贡贡献率分分析方法法当试验指指标不服服从正态态分布时时,进行行方差分分析的依依据就不不够充足足,此时时可通过过比较各各因子的的“贡献献率”来来衡量因因子作用用的大小小。由于于S因中除因子的效效应外，还包包含误差，从从而称S因-f因Ve为因子的纯离离差平方和，，将因子的纯纯离差平方和和与ST的比称为因子子的贡献率。。（四）验证试试验对A2B2C1进行三次试验验，结果为：：234，240，220，平均值值为231.3此结果是是满意的三、有交互作作用的正交设设计与数据分分析（略）例2-4为为提高高某种农药的的收率，需要要进行试验。。（一）试验的的设计明确试验目的的明确试验指标标