2023年北京市海淀区高三二模数学理科含答案

海淀区高三年级第二学期期末练习数学〔理科〕2023.5本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合，，那么A．B．C．D．2.数列是公比为的等比数列，且，，那么的值为A．B．C．或D．或3.如图，在边长为的正方形内有不规那么图形.向正方形内随机撒豆子，假设撒在图形内和正方形内的豆子数分别为，那么图形面积的估计值为A.B.C.D.4.某空间几何体的三视图如右图所示，那么该几何体的外表积为A.B.C.D.5.在四边形中，“，使得〞是“四边形为平行四边形〞的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，那么这样的五位数个数为A.B.C.D.7.双曲线的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，假设是以为底边的等腰三角形，那么双曲线的离心率为A.B.C.D.8.假设数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，那么称数列为周期数列，周期为.数列满足，那么以下结论中错误的是A.假设，那么可以取3个不同的值B.假设，那么数列是周期为的数列C.且，存在，是周期为的数列D.且，数列是周期数列二、填空题:本大题共6小题,每题5分,共30分.9.在极坐标系中，极点到直线的距离为_______.10.，那么按照从大到小排列为______.11.直线过点且倾斜角为，直线过点且与直线垂直，那么直线与直线的交点坐标为____.12.在中，，那么13.正方体的棱长为，假设动点在线段上运动，那么的取值范围是______________.14.在平面直角坐标系中，动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，记点的轨迹为曲线.(I)给出以下三个结论：①曲线关于原点对称；②曲线关于直线对称；③曲线与轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；其中，所有正确结论的序号是_____;(Ⅱ)曲线上的点到原点距离的最小值为______.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解容许写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.〔本小题总分值13分〕函数.〔Ⅰ〕求函数的定义域；(Ⅱ)求函数的单调递增区间.16.〔本小题总分值13分〕福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：〔1〕该福利彩票中奖率为50%；〔2〕每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；〔3〕顾客购置一张彩票获得150元奖金的概率为，获得50元奖金的概率为.(I)假设某顾客一次性花10元购置两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；〔II〕为了能够筹得资金资助福利事业,求的取值范围.17.〔本小题总分值14分〕如图1，在直角梯形中，，，，.把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上，连接,点分别为线段的中点．(I)求证：平面平面；(II)求直线与平面所成角的正弦值；(III)在棱上是否存在一点,使得到点四点的距离相等？请说明理由.18.〔本小题总分值13分〕函数,点为一定点,直线分别与函数的图象和轴交于点,,记的面积为.〔=1\*ROMANI〕当时,求函数的单调区间；〔=2\*ROMANII〕当时,假设,使得,求实数的取值范围.19.〔本小题总分值14分〕椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点.〔=1\*ROMANI〕求椭圆的方程；〔II〕直线与椭圆交于，两点，且线段的垂直平分线经过点，求〔为原点〕面积的最大值.20.〔本小题总分值13分〕123101设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行〔或某一列〕各数之和为负数，那么改变该行〔或该列〕中所有数的符号，称为一次“操作〞.(Ⅰ)数表如表1所示，假设经过两次“操作〞，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作〞后所得的数表〔写出一种方法即可〕；表1(Ⅱ)数表如表2所示，假设必须经过两次“操作〞，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；(Ⅲ)对由个实数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作〞以后，使得到的数表每行的各数之表2和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.海淀区高三年级第二学期期末练习数学〔理科〕参考答案及评分标准2023.5一、选择题〔本大题共8小题,每题5分,共40分〕题号12345678答案BDCBCABD9．210．11.12．13．14．②③;二、填空题〔本大题共6小题,每题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分〕三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．〔本小题总分值13分〕解：〔I〕因为所以……2分所以函数的定义域为……4分〔II〕因为……6分……8分又的单调递增区间为，令解得……11分又注意到所以的单调递增区间为，…13分16.解：〔I〕设至少一张中奖为事件那么…4分(II)设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为那么可以取…6分的分布列为…8分所以的期望为…11分所以当时，即…12分所以当时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…13分17.解：〔I〕因为点在平面上的正投影恰好落在线段上所以平面，所以…1分因为在直角梯形中，，，，所以，，所以是等边三角形，所以是中点，…2分所以…3分同理可证又所以平面平面…5分〔II〕在平面内过作的垂线如图建立空间直角坐标系，那么，，…6分因为，设平面的法向量为因为，所以有，即，令那么所以…8分…10分所以直线与平面所成角的正弦值为…11分(III)存在，事实上记点为即可…12分因为在直角三角形中，，…13分在直角三角形中，点所以点到四个点的距离相等…14分18.解:(I)因为，其中…2分当，，其中当时，，，所以，所以在上递增，…4分当时，，，令，解得，所以在上递增令，解得，所以在上递减……………7分综上，的单调递增区间为，的单调递增区间为〔II〕因为，其中当，时，因为，使得，所以在上的最大值一定大于等于，令，得…8分当时，即时对成立，单调递增所以当时，取得最大值令，解得，所以…10分当时，即时对成立，单调递增对成立，单调递减所以当时，取得最大值令，解得所以…12分综上所述，…13分19.解:(I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点,所以,椭圆的方程为…4分(II)设因为的垂直平分线通过点，显然直线有斜率，当直线的斜率为时,那么的垂直平分线为轴,那么所以因为，所以，当且仅当时，取得最大值为………………7分当直线的斜率不为时,那么设的方程为所以，代入得到当,即方程有两个不同的解又，…8分所以，又，化简得到代入，得到…10分又原点到直线的距离为所以化简得到…12分因为，所以当时，即时，取得最大值综上，面积的最大值为…14分20.〔I〕解：法1：法2：…3分(II)每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1;①如果首先操作第三列，那么那么第一行之和为，第二行之和为，这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，所以或当时，那么接下来只能操作第一行，此时每列之和分别为必有，解得当时，那么接下来操作第二行此时第4列和为负，不符合题意.…6分②如果首先操作第一行那么每一列之和分别为，，，当时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉当时，，至少有一个为负数，所以此时必须有，即，所以或经检验，或符合要求综上：…9分〔III〕能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。证明如下：记数表中第行第列的实数为〔〕，各行的数字之和分别为，各列的数字之和分别为，，，数表中个实数之和为，那么。记．按要求操作一次时，使该行的行和〔或该列的列和〕由负变