流体静力学流体力学

关于流体静力学流体力学第一页，共六十二页，2022年，8月28日

本章学习要点：作用在流体上的力、静止流体中应力的特性、流体平衡微分方程、等压面、静止液体和相对静止液体压强的分布、压强的表示方法、液体作用在平面及曲面壁上的静水总压力、压力中心。第二页，共六十二页，2022年，8月28日第一节、静止流体中应力的特性一、基本概念（一）静压力静止流体对受压面所作用的全部压力。（二）静压强受压面单位面积上所受的静压力。

静止流体表面应力只能是压强（压应力），流体不能承受拉力，且具有易流动性。二、静止流体中应力的特性（一）压强的基本特性:

静压强的方向垂直指向受压面。或者说静压强的方向沿着受压面的内法线方向。为了论证这一特性，在静止流体中任取截面N—N将其分为Ⅰ、Ⅱ两部分，取Ⅱ为隔离体，Ⅰ对Ⅱ的作用由N—N外面上连续分布的应力代替(图2—1)。第三页，共六十二页，2022年，8月28日第四页，共六十二页，2022年，8月28日（二）静压强的特性

静压强的大小与作用面的方位无关，即在仅受重力作用的静水中，任意一点处各个方向的静压强均相等。即有：

（2-1）

第五页，共六十二页，2022年，8月28日第六页，共六十二页，2022年，8月28日

证明：从平衡状态下的流体中取一微元四面体OABC，如图所示取坐标轴（如图2—2）。由于液体处于平衡状态，则有，即各向分力投影之和亦为零，则：

（2—2）x方向受力分析:表面力：

（2—3）

第七页，共六十二页，2022年，8月28日当四面体无限地趋于O点时，则dxO，因此，类似地有：而是任意选取的，所以同一点静压强大小相等，与作用面的方位无关。说明:（1）静止流体中不同点的压强一般是不等的，同一点各个方向的静压强大小相等。

n为斜面ABC的法线方向质量力：

（2-4）

（2-5）

第八页，共六十二页，2022年，8月28日

（3）.理想流体运动流体时，由于=0，不会产生切应力，所以理想流体动压强呈静压强分布特性。（2）.运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向的压强不再相等。流体动压强定义为三个互相垂直的压应力的算术平均值，即

（2-6）

第九页，共六十二页，2022年，8月28日第二节、流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程——欧拉方程

1.欧拉方程在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx,dy,dz,设中心点的压强为p(x,y,z)=p，对其进行受力分析（如图2—3）：

y向受力:

表面力：

质量力：

第十页，共六十二页，2022年，8月28日根据平衡条件，在y方向有Fy=0，即：

整理得：(2-8)

(2-7)流体平衡微分方程（即欧拉平衡微分方程，简称为欧拉欧拉方程）：(2-9)第十一页，共六十二页，2022年，8月28日2.物理意义

处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。压强沿轴向的变化率（）等于该方向上单位体积内的质量力的分量（、、）。二、平衡微分方程的全微分式为对式(2—9)进行积分，将各分式分别乘以、、然后相加，得（2-10）压强是坐标的连续函数，由全微分定理，上式等号左边是压强力的全微分。第十二页，共六十二页，2022年，8月28日

（2-11）

上式是欧拉方程的全微分表达式，也称为平衡微分方程的综合式。通常作用于流体的单位质量力是已知的，将其代入式(2—11)进行积分，便可求得流体静压强的分布规律。三、等压面

1.等压面

压强相等的空间点构成的面(平面或曲面)称为等压面，例如静止液体的自由表面。

2.等压面的性质：平衡流体等压面上任一点的质量力恒正交于等压面。（2-12）第十三页，共六十二页，2022年，8月28日运用平衡微分方程的综合式，证明等压面的这一重要性质,即等压面与质量力正交。证明：如图2—4，设等压面如图，因面上各点的压强相等（p＝C),即

，代入式(2—11)，得：式中，则等压面方程为第十四页，共六十二页，2022年，8月28日

以X、Y、Z为等压面上某点M的单位质量力在坐标x、y、z方向的投影，dx、dy、dz为该点处微小有向线段在坐标x、y、z方向的投影，于是：即和正交。这里在等压面上有任意方向，由此证明，等压面与质量力正交。由等压面的这一性质，便可根据质量力的方向来判断等压面的形状。例如，质量力只有重力时，因重力的方向铅垂向下，可知等压面是水平面。若重力之外还有其它质量力作用时，等压面是与质量力的合力正交的非水平面。常见的等压面有：自由液面和平衡流体中互不混合的两种流体的交界面等。第十五页，共六十二页，2022年，8月28日第三节重力场中流体静压强的分布规律一、液体静力学的基本方程

1.基本方程的两种表达式在同一种均质的静止液体中，任意点的静压强，与其淹没深度成正比，与液体的重度成正比，且任一点的静压强的变化，将等值地传递到液体的其它各点

重力作用下静止流体质量力：代入流体平衡微分方程的综合式：

（2-14）第十六页，共六十二页，2022年，8月28日1、在重力作用下的静止流体，选直角坐标系为Oxyz，自由液面的位置高度为z0，压强为p0，液体中任意一点的压强为质量力只有重力，X＝0，Y＝0，Z＝－g代入公式：得到

由边界条件z=z0，p=p0可得：第十七页，共六十二页，2022年，8月28日在自由液面上有：，，

由此可得水静力学基本方程：或

2.连通器原理帕斯卡连通器原理简单称为连通器原理：在仅受重力作用下的均质、连通、静止的液体中，水平面就是等压面。⑴仅受重力作用下，静止流体中某一点的静压强随深度按线性规律变化。⑵仅受重力作用下，静止流体中某一点的静压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。第十八页，共六十二页，2022年，8月28日

⑶自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。⑷推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压强值。（2—15）二、重力作用下静流体力学基本方程

1.重力作用下静流体力学基本方程因为所以，静流体力学基本方程又可写为：或（2—16）

第十九页，共六十二页，2022年，8月28日2.静流体力学基本方程的意义：⑴.位置水头z：任一点在基准面以上的位置高度，表示单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称比位能，或单位位能或位置水头。⑵.测压管水头p/：表示单位重量流体从压强为大气压算起所具有的压强势能，简称比压能或单位压能或压强水头。

⑶.测压管水头（）：单位重量流体的比势能，或单位势能或测压管水头。仅受重力作用处于静止状态的流体中，任意点对同一基准面的单位势能为一常数，即各点测压管水头相等，位头增高，压头减低。在均质（=常数）、连通的液体中，水平面（z1=z2=常数）必然是等压面（

p1=p2=常数）。第二十页，共六十二页，2022年，8月28日二、气体静压强的计算在不考虑压缩性时，式(2—14)也适用于气体。但由于气体的密度很小，在高差不很大时，气柱所产生的压强很小可以忽略。式(2—14)，简化为。例如储气罐内各点的压强都相等。三、压强的表示方法及单位

1.压强的表示方法①.绝对压强：是以绝对真空状态下的压强（绝对零压强）为基准计量的压强，用表示，≥0。②.相对压强：又称“表压强”，是以当地工程大气压为基准计量的压强。用p表示，p=，p可正可负，也可为零（图2—6）。

图2—8压强的测量录像第二十一页，共六十二页，2022年，8月28日

③.真空度：是指Pabc小于一个大气压的受压状态，相对压强的负值时，如（图2—10）。真空值（2—20）

真空高度（2—18）图2—10真空高度第二十二页，共六十二页，2022年，8月28日

（2—19）（二）压强的单位及其换算

1.国际单位制：国际单位制中压强的单位主要有pa（或atm）、Pa（或N/m2）、Kpa（或kN/m2）、Mpa等。

2.工程单位制：工程单位制中压强的单位主要有kgf/m2、m（H2O）、mmHg和at等。

3.单位换算：1pa=0.1013MPa=101.3Kpa=1.103×105

Pa=1.033kgf/m2=10.33m（H2O）=760mm（Hg）

1at=1kgf/m2=10m（H2O）=736mmHg=0.098MPa=98Kpa=98000Pa说明：计算时无特殊说明时液体均采用相对压强计算，气体一般选用绝对压强。第二十三页，共六十二页，2022年，8月28日

例2—1

求淡水自由表面下2m深处的绝对压强和相对压强（认为自由表面的绝对压强为1at）

解：绝对压强

相对压强：第二十四页，共六十二页，2022年，8月28日

例2—2密闭容器(图2—8)，测壁上方装有U形管水银测压计，该值hp＝20cm。试求安装在水面下3.5m处的压力表读值。

解:U形管测压计的左支管开口通大气，液面相对压强加pN=0，容器内水面压强压力表读值图2—8测压计算第二十五页，共六十二页，2022年，8月28日第四节、流体的相对平衡前面导出了惯性坐标系中，液体的平衡微分方程及其综合式(2—9)、式(2—11)。在工程实践中，还会遇到液体相对于地球运动，而液体和容器之间，以及液体各部分质点之间没有相对运动的情况，这种情况称为相对平衡。根据达兰贝尔（D’Alembert,JeanleRond法国数学家，～1783.10）原理，在质量力中计入惯性力，使流体运动的问题，简化为静力平衡问题，可直接用式(2—9)计算。例如水车沿直线等加速行驶，水箱内的水相对地球来说，随水车一起运动，水和水箱，以及各部分水质点之间没有相对运动，相对平衡的液体质点之间无相对运动，也无切应力，只有压强。相对平衡指各流体质点彼此之间及流体与器皿之间无相对运动的相对静止或相对平衡状。因为质点间无相对运动，所以流体内部或流体与边壁之间都不存在切应力。相对平衡流体中，质量力除重力外，还受到惯性力的作用。第二十六页，共六十二页，2022年，8月28日一、等角速度旋转容器内液体的相对平衡盛有液体的圆柱形容器，静止时液体深度为H，该容器绕垂直轴以角速度ω旋转。由于液体的粘滞作用，经过一段时间后．容器内液体质点以同样角速度旋转，液体均容器，以及液体质点之间无相对运动，液面形成抛物面。１．压强分布规律

，，（2—20）２．等压面：p=p0+γ（ω2r2/2g-z）（2—21）录像第二十七页，共六十二页，2022年，8月28日例2—3：求如图2—9所示等角速度旋转器皿中液体的相对平衡的压强分布规律。解：则

（2—22）

（2—23）在原点（x=0，y=0，z=0）：因为图2—9等角速旋转第二十八页，共六十二页，2022年，8月28日等角速度旋转的直立容器中，液体相对平衡时压强分布规律的一般表达式：（2—24）等压面簇（包括自由表面，即

p=常数的曲面）方程

（2—25）等压面簇是一簇具有中心轴的旋转抛物面。具有自由表面的旋转器皿中液体的自由表面方程：在自由液面上：用相对压强表示自由表面方程：（2—26）任一点压强：第二十九页，共六十二页，2022年，8月28日二、等角速度旋转球体内液体的相对平衡压强分布规律

（2—27）设球心处：则球壁上：；（2—28）由得，故最大压强作用点在，的圆周线上。图2—10等角旋转球体第三十页，共六十二页，2022年，8月28日三、匀速直线运动容器内液体的相对平衡压强分布规律;质量力除重力外，计入惯性力，惯性力的方向与加速度的方向相反，即：

（2—29）令，得自由面方程：（2—30）使水不溢出：，

录像第三十一页，共六十二页，2022年，8月28日

例2—4

如图2—11所示，一洒水车等加速度a=0.98m/s2向前平驶，求水车内自由表面与水平面间的夹角；若B点在运动前位于水面下深为h=1.0m，距z轴为xB=-１.5m，求洒水车加速运动后该点的静压强。解：考虑惯性力与重力在内的单位质量力为（取原液面中点为坐标原点）

x=-a；y=0；z=-g，即：dp=（-adx-gdz）积分得：p=-（ax+gz）+c，在自由液面上：

x=z=0；p=p0

得：c=p0=0

，代入上式得：图2—11录像1录像2第三十二页，共六十二页，2022年，8月28日Ｂ点的压强为自由液面方程为（∵液面上p0=0）：ax+gz说明：在相对平衡的旋转液体中，各点的压强随水深的变化仍是线性关系。在旋转液体中各点的测压管水头不等于常数。第三十三页，共六十二页，2022年，8月28日第五节、液体作用在平面上的总压力液体作用在平面上的总压力，计算方法有解析法和图算法。1.解析法图2—18为任意形状的平面，倾斜放置于水中，与水面成角，面积为A，其形心C的坐标为xc

，yc

，形心C在水面下的深度为hc第三十四页，共六十二页，2022年，8月28日

图2—12平面上的总压力第三十五页，共六十二页，2022年，8月28日

①.作用力的大小微小面积dA的作用力：静矩:

（2—29）结论：潜没于液体中的任意形状平面的静水总压力F，大小等于受压面面积A与其形心点的静压强pc之积。②.总压力作用点（压力中心）

第三十六页，共六十二页，2022年，8月28日面积惯性矩：

式中：Ix——面积A绕ox轴的惯性矩。

由惯性矩的平行移轴（2—36）Ic——面积A绕其与ox轴平行的形心轴的惯性矩。结论：⑴.当平面面积与形心深度不变时，平面上的总压力大小与平面倾角无关；⑵.压心的位置与受压面倾角无关，并且压心总是在形心之下。只有当受压面位置为水平放置时，压心与形心才重合。③总压力方向、垂直指向受压面。第三十七页，共六十二页，2022年，8月28日图形面积yc

Ic

Ib

矩形bh

三角形

梯形h3/36(a2+4ab+b2)/(a+b)

圆

лr2

r

лr4/4

半圆лr2/2

4r/3л

(9л2-64)r4/72л

лr4/8

表2-1第三十八页，共六十二页，2022年，8月28日

例2—5一铅直矩形闸门，已知h1=1m，h2=2m，b=1.5m求总压力及其作用点。

解：

例2—6有一铅直半圆壁（如图2—13）直径位于液面上，求F值大小及其作用点。解：由式得总压力

第三十九页，共六十二页，2022年，8月28日由式得:Fdcp图2—13第四十页，共六十二页，2022年，8月28日2.图解法①压强分布图：压强分布图是在受压面承压的一侧，以一定比例尺的矢量线段表示压强大小和方向的图形，是液体静压强分布规律的几何图示。

②.适用范围：作用在规则平面上的静水总压力及其作用点的求解。

③.原理：静水总压力大小等于压强分布图的体积，其作用线通过压强分布图的形心，该作用线与受压面的交点便是压心（压力中心D）。(1).大小：（2—37）第四十一页，共六十二页，2022年，8月28日(2).方向：垂直指向受压面；(3).作用点：（2—38）

图2—14压强的分布第四十二页，共六十二页，2022年，8月28日

图算法的步骤是：先绘出压强分布图，总压力的大小等于压强分布图的面积，乘以受压面的宽度b，即，总压力的作用线通过压强分布图的形心，作用线与受压面的交点就是压心。例2—7如图2—15，矩形平板一侧挡水，与水平面夹角α＝300，平板上边与水面齐平，水深h＝3m，平板宽b＝5m。试求作用在平板上的静水总压力。图2—15平面总压力计算第四十三页，共六十二页，2022年，8月28日

解：

(1).解析法总压力的大小方向受压面内法线方向。作用点由式(2—35)(2).图算法绘出压强分布图ABC，由式(2—31)总压力的大小：总压力方向为受压面内法线方向。总压力作用线通过压强分布图的形心第四十四页，共六十二页，2022年，8月28日可见两种方法所得计算结果相同（图2—16）。例2—8：用图解法计算图2—17的静水总压力大小与压心位置。解：作出矩形闸门上的压强分布图：底为受压面面积，高度是各点的压强

图2—16平面总压力计算

bh2h1h2B

图2—17第四十五页，共六十二页，2022年，8月28日

总压力为压强分布图的体积，梯形形心坐标：，a上底，b下底作用线通过压强分布图的重心：例2—9：如图2—18已知矩形平面h=1m，H=3m，b=5m，求F的大小及作用点。解：(1).解析法

Hhp230°p1图2—18第四十六页，共六十二页，2022年，8月28日(2)图解法压力图分为二部分（三角形+矩形）第四十七页，共六十二页，2022年，8月28日

例2—10如图2—19所示，一直径d=2000mm的涵洞，其圆形闸门AB在顶部A处铰接，如图。若门重3000N，试求：（1）作用于闸门上的静水总压力P；（2）P的作用点（3）阻止闸门开启的水平力F。解：（1）圆形闸门受压面形心到水面的距离为h0=1.5+1.0=2.5m；闸门的直径D为2.83m

（D=2/sin45°）；闸门面积为：作用于圆形闸门上的总压力为：作用于圆形闸门上的总压力为：

P=hcA=98002.56.28=153860N

（2）圆形闸门中心至ox轴的距离为

dPoxACGACyDyc涵洞B1.5m铰点45°图2—19第四十八页，共六十二页，2022年，8月28日圆形闸门面积A对经闸门中心且平行于ox轴之惯性矩Ixc为：故总压力作用点在闸门中心正下方0.14m处

（3）因铰点在A处，则作用于闸门的所有外力对此点之力矩总和必为0，即得阻止闸门的开启力第四十九页，共六十二页，2022年，8月28日第六节、液体作用在曲面上的总压力

一、曲面上的静压力曲面上的静压力有：水平分力、垂直分力、静水总压（图2—20）。在曲面上沿母线方向任取条形微元EF，因各条形微元上的压力dP方向不同，而不能直接积分求作用在曲面上的总压力。为此将dP分解为水平分力和铅垂分力。第五十页，共六十二页，2022年，8月28日图2—23曲面上的总压力第五十一页，共六十二页，2022年，8月28日1.水平分力Px

结论：作用于曲面上的静水总压力F的水平分力Px等于作用于该曲面的垂直投影面（矩形平面）上的静水总压力，方向水平指向受力面，作用线通过面积Az的压强分布图体积的重心。2.铅直分力Pz

式中：Vp——压力体体积结论：作用于曲面上的静水总压力F的铅垂分力Pz等于该曲面上的压力体所包含的液体重，其作用线通过压力体的重心，方向铅垂指向受力面。

第五十二页，共六十二页，2022年，8月28日3.静水总压力作用在曲面上的静水总压力：F与水平面的夹角：(2—36)

作用线：必通过Px

，Pz的交点，但这个交点不一定位于曲面上。对于圆弧面，P作用线必通过圆心。P的作用点作用在P作用线与曲面的交点。第五十三页，共六十二页，2022年，8月28日

二、压力体（图2—21）

1.压力体体积的组成:①.受压曲面本身；②.通过曲面周围边缘所作的铅垂面；③.自由液面或自由液面的延长线。

2.压力体的种类：压力体可分为实压力体和虚压力体。图2—21压力体第五十四页，共六十二页，2022年，8月28日①实压力体：压力体和液体在曲面AB的同侧，如同压力体内实有液体，习惯上称