《概率论》精品课件

概率论讲义1.确定性现象.在一定条件下可能发生这种结果也可能发生那种结果的，因而无法事先断言出现那种结果的现象称为随机现象。第一章随机事件及其概率3.概率规律和统计规律性。2.随机现象:§1.1随机事件

随机试验:

可在相同的条件下重复进行;(2)重复试验有多个可能结果,且能事先明确所有可能的结果;(3)一次试验只出现一个结果，且试验前

不能确定出现哪个结果。样本空间随机试验中，每一个可能结果称为该试验的一个样本点,记为.全体样本点组成的集合称为该试验的样本空间，记为。E1:抛一枚硬币，观察正(H)反(T)面的情况.

1={H,T}

1=H,2=T

E4:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.4={0，1，2，}1=0,

2=1,

3=2E3:掷一颗骰子,观察点数.则

3={1,2,3,4,5,6}1=1

2=2

6=6E2:将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.2={HHH,THH，HTH,HHT,HTT,THT,TTH,TTT}

E5:从一批电子元件中任取一只测试其寿命.

5={t|t≥0}1.离散样本空间.2.连续样本空间.如E1中,“出现正面”;E3中，“出现偶数点”;E5中{1000<t<3000}(小时).随机事件“在一定条件下可能发生也可能不发生事情”叫做随机事件,简称事件.随机事件：样本空间中样本点的集合判断随机事件发生基本事件:由单个样本点组成如:{H},{T}.必然事件:样本空间自身复合事件:多个样本点组成

如:E3中{出现正面次数为偶数}.

不可能事件：空集事件间的关系与事件的运算1.包含关系和相等关系:AB:

A发生必然导致事件B发生

若A

B且AB,则A=B2.事件的并:3.事件的交：AB:“事件A与B同时发生”4.事件的差:A-B:“A发生而B不发生”5.互不相容(互斥):注：基本事件两两互不相容6.互逆事件：7.事件的运算律:交换律:结合律:分配律：解释:德摩根公式推广：德摩根公式:例1高射炮对目标飞机射击三次，设Ai表示“第i次击中飞机”，用Ai表示下列事件(1)B1“只有第一次击中飞机”（2）B2“恰有一次击中飞机”（3）B3“至少有一次击中飞机”（4）B4“至多两次击中飞机”解(1)§2.频率与概率(一)

频率

1.定义：将一试验E在相同的条件下重复进行n次,如果事件A发生了nA次,则比值

Fn(A)=nA/n称为事件A发生的频率.频率的特性:波动性和稳定性.

(1)波动性:对于同一个试验,不同的试验序列其频率不同;

(2)稳定性:随着n逐渐增大,事件A的频率总在某一定值P(A)的附近摆动而逐渐稳定。P(A)通常称为频率的稳定值。抛币试验英文字母使用频率表:(%)

ABCDEFGHI8.191.473.833.9112.252.261.714.57

7.10

JKLMNOPQR0.140.413.773.347.067.262.890.096.85STUVWXYZ

6.369.412.581.091.590.211.580.08(二)概率频率的稳定值P(A)反映了事件A在一次试验中发生的可能性大小，称P(A)为事件A的概率。1统计定义：2公理化定义：设为样本空间，A为事件，对每一事件A赋予一实数P(A)，如果P(A)满足如下三条公理：则称P(A)为事件A的概率。概率的性质:

P(B)=P(A)+P(B-A),这个式子称为“加奇减偶公式”.例1设A,B为两个事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,求下列各事件的概率.§3.古典概型古典概型的特点:(1)有限样本空间:={1,2,,n}(2)等可能样本点:P(1)=P(2)=

P(n)计算公式:

由概率定义及等可能性,可得例１.设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只,现从中任取3只,试求:(1)取到1号球的概率,（记为事件A）(2)最小号码为5的概率.（记为事件B）解：从9个球中任取3只球,共有种取法.（2）最小号码为5,共有种取法.（1）取到1号球共有种取法推广：有N件产品,其中M件次品,从中任取n件,求取到k件次品的概率.M件次品中取k件,取法数为从N-M件正品中取n-k件,取法数为,于是解:记Ak:取到k件次品

N件中任取n件,共有取法,

例2将n只球一只一只随机地放入N(N≥n)个盒子中去,试求

A:1-n号盒子各有一球的概率B:每个盒子至多有一只球的概率.(设盒子的容量不限)例3n把看起来一样的钥匙，只有一把能开门，用这些钥匙试开门（不重复），求第第k次开门成功的概率。解：A表示“第k次试开成功”方法1:考虑n把钥匙的全排列，第j个位置对应第j次试开用的钥匙。方法2:考虑第k个位置上钥匙出现的情况则总样本点数为n!,A包含(n-1)!个样点。于是P(A)=1/n.例4.盒子中有a只黑球，b只白球，从中任取一只，观察颜色后放回再取下一只，共抽取n次，求事件A“取到k个黑球”的概率。例5.15名新生中有3名是党员,将这15名新生随机地平均分配到三个班级中去,问每一个班级各分配到一名党员的概率是多少(记为事件A)?解:15名新生平均分配总的分法数为:3名党员的分配数为3!,另12名新生的分配数为§4.

条件概率

设试验E的样本空间为

,A,B是事件,要考虑在A已经发生的条件下B发生的概率,这就是条件概率,记为P(B|A).(一)定义:在古典概型中:样本空间由n个样本点组成,若事件A包含nA个样本点，AB包含nAB个样本点，则定义:

设A,B是两个事件,且P(A)>0,称为在A发生的条件下B发生的条件概率.

性质(条件概率是一个概率)例1根据长期气象纪录，甲乙两城市一年中雨天的概率分别为20%和18%,同时下雨的概率为12%。问甲乙两城市气候是否相关？解：以A,B分别表示甲乙两城市出现雨天。则P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,于是所以两城市气候有一定的相关性。例2袋中有某产品５件，其中一等品３件二等品２件，不放回从中连续抽两件，A表示第一次抽到一等品，B表示第二次抽到一等品，求P(AB).(二)乘法定理:推广:若P(AB)>0,则有

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).一般,设A1,A2,…,An是n个事件,(n≥2),P(A1A2...An-1)>0,则有乘法公式:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2)P(An|A1A2…An-1).例３透镜第一次落下打破的概率为0.5,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为0.7,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为0.9,试求透镜落下三次而未打破的概率.例4：设盒中有a个黑球，b(b>1)个白球，连续从盒中取球3次，每次取一球，取后不放回，求1次取到黑球，第2,3次取到白球的概率。解：以Ai

表示事件“第i次取到黑球”(i=1,2,3),(三)全概率公式和贝叶斯公式:例1.某电子设备厂所用的晶体管由三家元件制造厂提供,数据如下:元件制造厂次品率提供的份额

10.020.1520.010.8030.030.05从中任取一只晶体管,它是次品的概率是多少？全概率公式:例1(续).Ａ:产品为次品,Bi:产品由工厂i生产元件制造厂次品率提供的份额

10.020.1520.010.8030.030.05B1,B2,B3构成样本空间Ω的一个划分运用全概率公式可得例2某产品整箱出售每箱20个，各箱有0，1，2个次品的概率分别为0.8,0.1,0.1。顾客购买时选取一箱从中任取4只检查，若无次品则买下该箱产品，若有次品则退回，求顾客买下该箱产品的概率。解：以Bj表示“选取的一箱产品中有j个次品”(j=0,1,2),则B0,B1,B2构成样本空间Ω的一个划分.A表示“顾客买下该箱产品”例3:甲箱中装有3只红球和2只白球,乙箱中2只红球和2白球,从甲箱中取两只球放入乙箱中,再从乙箱中取1球,求A:“从乙箱取得白球”的概率.解设Bi={从甲箱中取出i只白球}i=0,1,2.则B0,B1,B2构成样本空间Ω的一个划分。由全概率公式贝叶斯公式:例1(续)任取一只晶体管,若它是次品,则它由1号工厂生产的概率分别是多少?厂次品份额10.020.1520.010.8030.030.05注:1.P(Bi)称为先验概率。事件A表示试验结果，事件B1,B2,…,Bn是引起事件A发生的n个原因。2.P(Bi|A)通常称为后验概率。它表示结果A的发生是由第i个原因引起的概率。求结果：全概公式求原因：贝叶斯公式

例4.机器良好时,生产的产品的合格率为90%,而当机器有故障时,其合格率为30%,每天开机时机器良好的概率为75%。已知某日第一件产品是合格品,问机器良好的概率是多少?解:A表“产品合格”,B为“机器良好”,=(0.90.75)/(0.90.75+0.30.25)=0.9.例2(续)某产品整箱出售每箱20个，各箱有0，1，2个次品的概率分别为0.8,0.1,0.1。顾客购买时选取一箱从中任取4只检查，无次品则买下该箱产品，若顾客买下某箱产品，求该箱无次品的概率。解：以Bj表示“选取的一箱产品中有j个次品”(j=0,1,2),则B0,B1,B2构成样本空间Ω的一个划分.A表示“顾客买下该箱产品”。由贝叶斯公式§1.5

独立性若P(B|A)=P(B),由乘法公式有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).一般地,P(B|A)≠P(B).定义1:设A,B是两事件,如果满足等式

P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B是相互独立的事件.注：必然事件(不可能事件)与任何事件A都独立定理：如果事件A,B相互独立，且P(A)>0,则

P(B|A)=P(B)例1.甲、乙两射手向同一目标独立射击,甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，求在一次射击中目标被击中的概率。解：A—甲击中目标，B—乙击中目标，定义2:设A,B,C是三个事件,若满足:P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

则称A,B,C为相互独立的事件.定义3：对n个事件A1,A2,…,An,如果对所有可能的组合1≤i<j<k<…≤n成立着

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)

P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An),

则称这n个事件A1,A2,…,An相互独立.定义4：设A1,A2,…,An是n个事件，如果对任意的1≤i<j≤n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),则称这n个事件两两独立.注：若n个事件相互独立，必蕴含这n个事件两两相互独立.反之不成立。例2.一均匀正四面体,其一、二、三面分别染成红白黑三色,第四面染上红白黑三色.现以分别A,B,C记投掷一次四面体出现红白黑颜色的事件,则由于四面体中有两面有红色,因此但是P(ABC)=1/41/8=P(A)P(B)P(C)因此A,B,C不是相互独立的.同理P(B)=P(C)=1/2,容易算出P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4所以A,B,C两两独立.P(A)=1/2例3.假若每个人血清中有肝炎病毒的概率为0.4%,混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率.解：以Ai(i=1,2,…100)记“第i个人的血清含有肝炎病毒”,Ai相互独立.所求概率为例4.设有4个元件,每个元件的可靠性均为p(元件能正常工作的概率),按如下两种方式组成系统,试比较两个系统的可靠性.二:先并联后串联一:先串联后并联例5.某类高射炮打飞机命中率为0.6,为了以99%以上的概率命中目标，应配备多少门大炮？2.袋子中有编号1-10十个球，从中任取一个若不是“2”号球则放回，若是则不放回。然后从袋子中再任取一球，则取到”1”号球的概率是多少？3.甲乙丙三个班级学生数分别为20，25，30，其中女生数为7，5，9.任选一个班级，从中抽出一名学生，若抽得一名女生则她属于甲班的概率是多少？练习第二章随机变量及其分布§2.1

随机变量的概念例1从一批产品中任意抽取n件,观察出现的“次品数”X1,X1的所有可能取值为:0,1,2,…,n.j件次品可用(X1=j)表示.例2记录某接待站一天中来访的人数X2,“接待k个人”可用(X2=k)表示.例4掷一枚硬币观察正反面.试验结果为:1={正面},２={反面}.试验的结果可以用变量X4

表示．例3测试电子元件寿命的试验中,“元件寿命为t小时”可以用(X3=t)来表示.例5掷两枚硬币观察正反面.试验结果为:1={正正},２={正反},3={反正},4={反反}.用变量X5

表示:定义２.1如果对于样本空间中每个样本点，都有唯一的一个实数X()与之对应，则称X()为随机变量．简记X()为X.分类：(1)离散型，(2)连续型.§2.2

离散型随机变量的概率分布定义:若随机变量全部可能取值是有限或可列无穷多,则称为离散型随机变量.或列表例1.设有一大批产品，其次品率为p，一只只进行抽取检验，X表示首次检验到次品时抽取的产品数,

求X的分布律。解:

X1234…

pk(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p…

p

3.几种常用离散型分布(一)0-1分布X只取0和1两个值，且

P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.则称X服从(0-1)分布。(二)二项分布n重贝努利试验：将试验独立重复n次X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数，则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记为例1.已知一大批电子元件的一级品率为0.2,随机抽查20只,求其中一级品数X的分布律.解：抽查20只元件可以看作是20重贝努利试验，则结论:(1)当(n+1)p为整时，P(X=k)在k=(n+1)p

和k=(n+1)p-1处同时达到最大。

(2)(n+1)p非整时，P(X=k)在k=[(n+1)p]

处达到最大值。使得P(X=k)达到最大值的数k称为最可能成功的次数。求k.例2某种产品的次品率为2%,随机抽查200件，则次品数多于6件的概率是多少？解设抽出的次品数为X,则当n较大,p又较小时,

二项分布的计算比较困难,可以用Poisson分布近似计算.(三)泊松分布(Poisson)泊松(Poisson)定理：意义：当n很大且p又较小,np适中时(≤10)例2(续)某种产品的次品率为2%,随机抽查200件，则次品数多于6件的概率是多少？解设抽出的次品数为X,则由泊松定理可得=0.11(查表)例4:设有同类型设备500台独立工作,每台的故障率都是0.01,求故障设备不超过9台的概率?解:记故障台数为X,则X~B(500,0.01).(四)几何分布贝努利试验序列中,试验成功的概率为p,失败的概率为q=1-p.将试验进行到成功为止.X表示所需的试验次数,则X的分布律为:

P{X=k}=qk-1p,k=1,2,…称为X服从参数为p的几何分布.记为X~g(p).注：有一大批产品次品率为p，X表示首次检验到次品时抽取的产品数，则

X~g(p).(五)负二项分布贝努利试验序列中,试验成功的概率为p,失败的概率为q=1-p.将试验进行到第r次成功为止.X表示所需的试验次数,则X的分布律为:称为X服从负二项分布.记为X~Nb(r,p).注：有一大批产品次品率为p，X表示检验到第r个次品时抽取的产品数，则

X~Nb(r,p).(六)超几何分布N件产品中有M件次品，N-M件正品。随机抽取n件产品，X表示抽得的次品数。则X的分布律为这个分布称为超几何分布(l=min(M,n)).§2.3

随机变量的分布函数定义：X是一随机变量,对任意xR,函数

F(x)=P{X≤x}称为X的分布函数.P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1).2.性质:(1)F(x)是单调不减函数.(单调性)x2>x1,F(x2)-F(x1)0.(2)0≤F(x)≤1且(规范性)(3)F(x)至多有可列个间断点,而在其间断点

x0处是右连续的,(右连续性)例2.已知X的分布律

X-123

pk1/41/21/4

求X的分布函数F(x),并求P{3/2<X≤5/2}.§2.4

连续型随机变量的概率密度则称X为连续型随机变量，函数f(x)为X的概率密度函数.相关结论：(4)

对任意实数x，有P{X=x}=0.连续型随机变量的分布函数是连续函数。例2.连续型随机变量X的分布函数为求:(1)A,B(2)概率密度f(x)(3)求P(X>1).解:(1)所以有B=-A=-14.几个常用的连续型分布(一)均匀分布:则称X在[a,b]上服从均匀分布,记X~U[a,b].(二)指数分布:定义:如果随机变量X的概率密度为:则称X服从参数为(>0)的指数分布,记X~e().例4.某电子元件的寿命服从参数为0.1(小时-1)的指数分布。元件在故障或者工作时间达到20(小时)时更换。求元件实际工作时间的分布。指数分布的无记忆性:定理若X~e(),则对任意的正数s,t有(三)正态分布:性质:如何计算?转化为标准正态分布进行计算。(2)标准正态分布:(3)

转换为标准正态分布引理：对于标准正态分布有例6.公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头机会在0.01以下设计的，设男子身高XN(172,62)(厘米），问车门高度应为多少？解：设车门高度为h,按题意有P(X>h)<0.01(4)标准正态分布的上分位点:(四)伽玛分布:1.定义:如果随机变量X的概率密度为:(1,)是参数为

的指数分布e()(p+1)=p(p),(n)=(n-1)!§2.5

随机变量的函数的分布已知的随机变量X的分布,求Y=g(X)的分布一、X为离散型变量例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律:X-1012

pk0.20.30.10.4X-1012pk

0.20.30.10.4Y4101设X的分布律为

Xx1x2…xk…P(X=xi)p1p2…pk...记yi=g(xi)(i=1,2,…),yi的值也是互不相同的,

则Y的分布律为:P{Y=yi)=P(X=xi)=pi若yk=g(xk1)=g(xk2)=…=g(xkm),则

P(Y=yk)=P(X=xk1)+…+P(X=xkm)离散随机变量函数的分布律的求法:二、X为连续型 ---

分布函数法先求Y的分布函数：再对y求导可得例2.设随机变量X有密度函数f(x),求Y=aX+b(a>0)的概率密度。于是有若XN(,2),则有

2.已知一年中某种人群死亡率为0.0005,该人群有10000人参加人寿保险,每人保费5元.若未来一年中死亡,则得到赔偿5000.求:(1)未来一年中保险公司至少获利10000元的概率。(2)亏本的概率。练习：

1.一个盒子中放有N个编号1~N的标签N个,从中又放回地抽取n个，求取出的最大号码X的分布率。第三章多维随机变量及其分布

n维随机变量定义:若X1()X2(),…,Xn()是定义在样本空间上的n个随机变量,则称构成一个n维随机变量,简记为X=(X1,X2,…,Xn)1.二维随机变量(联合)分布函数:§3.1

二维随机变量(1)F(x,y)是变量x或y的单调不减函数，即联合分布函数的性质：(3)F(x,y)关于x,y都是右连续的，即

2.

二维随机变量的分布分布律:例1.一袋子中有5个球，其中2个球上标有数字“1”，3个球上标有数字“0”。在有放回和无放回情况下各取两个球，X,Y分别表示第一、二次取得的数字，求(X,Y)的联合分布律。解:(X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)(1)有放回取球，对应概律为P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0|X=0)(X,Y)的分布律为=3/53/5=9/256/256/254/25例2.设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,随机变量Y则在1~X中等可能地取一整数,试求(X,Y)的分布律.二维连续型随机变量的联合概率密度

二维均匀分布及二维正态分布1.二维均匀分布区域G的面积为A,若(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在G上服从均匀分布.2.二维正态分布(X,Y)具有概率密度§2.

边缘分布

一、边缘分布函数：设(X,Y)的联合分布律

P(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,2,…)则关于X的边缘分布律为二、边缘分布律：边缘分布律例1.求关于X和Y的边缘分布律。无放回取球边缘分布律为例2.求关于X和Y的边缘分布律。p.kpk.1/41/41/41/41/167/4813/4825/48边缘分布律为三、边缘概率密度:所以，关于X的边缘密度为例4.设(X,Y)在G上服从均匀分布，求其边缘密度.解：因G的面积为1/2，所以§3.

条件分布

二维离散型变量的情况例1求Y=2时X的条件分布律。例2一射手击中目标的概率为p(0<p<1),射中目标两次为止。设X表示首中目标时的射击次数,以Y表示总的射击次数,求:(1)(X,Y)的联合分布律;(2)条件分布律.二维连续型随机变量情形§4.

随机变量的独立性

例1.(X,Y)由联合分布证明X与Y独立。定理:如果(X,Y)是二维离散型随机变量,则X,Y相互独立的充要条件是:所以X,Y相互独立。证明(充分性):例2.判定独立性解：P(X=0)P(Y=0)=9/25=P(X=0,Y=0)P(X=0)P(Y=1)=6/25=P(X=0,Y=1)P(X=1)P(Y=0)=6/25=P(X=1,Y=0)P(X=1)P(Y=1)=4/25=P(X=1,Y=1)所以X,Y相互独立。解：P(X=0)P(Y=0)=9/25≠3/10=P(X=0,Y=0)所以X,Y不独立。定理:(X,Y)是二维连续型随机变量,则X,Y相互独立的充要条件是:证明(充分性)：例3.判定独立性所以X,Y不独立。例4.设(X,Y)服从二维正态分布,则X,Y相互独立的充要条件是=0.例5.设随机变量X以概率1取常数，即P(X=c)=1.证明：X与任意随机变量Y独立。证：若事件A为0(或1)概率事件，即P(A)=0(或1),则A与任意事件B独立。定理：设(X1,X2,…,Xm)和(Y1,Y2,…Yn)相互独立,则Xi(i=1,2,m)和Yj(j=1,2,n)相互独立,若h,g是连续函数,则h(X)和g(Y)相互独立.§5.

二维随机变量的函数的分布问题：已知Z=g(X,Y),以及(X,Y)的联合分布，如何求出Z的分布？

(X,Y)为二维离散型随机变量例1.设二维随机变量(X,Y)的分布律为求(1)Z1=X+Y;(2)Z2=XY;(3)Z3=max(X,Y)的分布律。解：列下表(1)Z1=X+Y的分布律为(2)Z2=XY的分布律为(3)Z3=max(X,Y)的分布律为证:Z=X+Y可能的取值为0,1,2,…,例3.设X,Y独立同服从几何分布G(p),求Z=max(X,Y)的分布律。(q=1-p)法二：令A={X≤k,Y=k},B={X=k,Y≤k}(X,Y)为二维连续型随机变量Z=g(X,Y）的分布函数为和的分布：已知X,Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.例4.设X和Y相互独立,且都服从N(0,1),求Z=X+Y的分布密度.(注意0≤X+Y≤2)商(Z=X/Y)的分布:M=max(X,Y)及m=min(X,Y)的分布:例9.两个部件L1,L2组成的串、并联系统分析：系统1T=min{X,Y}

系统2T=max{X,Y}练习1.设(X,Y)的联合密度为(1)求边缘密度fX(x),fY(y)(2)求条件密度fX|Y(x|y)2.将两封信随机投入编号为1，2，3，4的4个邮箱，用X,Y分别表示1，2号邮箱中的邮件数，求:(X,Y)的联合分布律。（2）求X关于Y=0的条件分布律。(3)判定X,Y的独立性(4)求X+Y的分布律。3.设随机变量X~U[1,2],Y~U[0,2],X和Y相互独立，令Z=Y+2X，求随机变量Z的概率密度函数。第四章随机变量的数字特征§1.

随机变量的数学期望例1.已知X的分布律

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求X的数学期望EX.例2.(一种验血新技术)普查某种疾病，有N个人去验血(N很大)，两种办法:(1)每个人分别化验,需N次；(2)k个人一组混合化验，如果呈阴性，一次即可，如果呈阳性，则需对该组每个人重新化验一次，共k+1次。每个人阳性反应的概率为p，且反应独立，比较两种方法的优劣，并计算最优的k值。连续型随机变量的数学期望：设f(x)为连续型随机变量X的概率密度，对X的取值区间作一分割，有随机变量函数的数学期望公式:例7.设X,Y相互独立同服从N(0,1),求Emax{X,Y}.例8.某商品的市场需求量X服从[2000,4000](吨)上的均匀分布，每售出一吨挣3万元，售不出去则每吨需保养费1万元，问应组织多少吨货源能使收益最大化y=3500均值的性质:(1)E(c)=c;(2)E(cX)=cE(X);(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4)设X,Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y);(5)|E(XY)|2≤E(X2)E(Y2)(许瓦尔兹不等式)例9.设X~b(n,p),求EX.解：X表示n次独立重复试验中A发生的次数，记由期望的性质可得例10.将n个编号为1-n的球随机放入编号为1-n的n个盒子，若球号与盒号相同，称为一个匹配。X表示匹配数，求EX.§2.方差

计算公式:例1.设X服从(0-1)分布,求EX,DX.解：EX=0•(1-p)+1•p=p,故D(X)=E(X2)-[E(X)]2=p-p2=p(1-p).E(X2)=02•(1-p)+12•p=p,方差的性质:1.D(CX)=C2D(X);2.

X,Y相互独立,则有

D(XY)=D(X)+D(Y);3.D(X)=0P{X=C}=1.切比雪夫不等式:例5.X~B(100,1/2),估计P(40<X<60)。§3.

常见分布的数学期望与方差二项分布泊松分布几何分布均匀分布指数分布正态分布练习：求伽玛分布的期望方差。§4.协方差和相关系数展开可得:Cov(X,Y)=E[XY-Y·EX-X·EY+EX·EY]=E(XY)-E(X)E(Y).于是

D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).例1.求X,Y