乘法公式与全概率公式课件

一、条件概率对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言的，但有时除了这个确定的条件以外，还会提出附加的条件，即已知某一事件B已经发生，要求另一事件A发生的概率。

例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一样的。

若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2；

但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为2/3.

一、条件概率对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言的1例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一样的。

若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2；

但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为2/3.

我们将“已知事件

B

发生的条件下,事件

A

发生的概率”称为条件概率，记为P

(A

|

B)。若记B为至少有一男孩，则上述概率为例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个2条件概率的计算公式规定如下：

例1

设袋中有7个黑球，3个白球，不放回摸取两次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。解

设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则法二：法一:A发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中B所含样本点个数条件概率的计算公式规定如下：例1设袋中有7个黑球，3个3

例2

设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B|A).例2设某种动物由出生算起活到20年以上4不难验证条件概率具有以下三个基本性质：

(1)非负性(2)规范性(3)可加性并由此推出条件概率的其它性质：

不难验证条件概率具有以下三个基本性质：(1)非负性(2)51.设A与B互不相容,且P(B)>0,则P(A|B)=________2.设A与B为两事件,且P(A)=0.7,P(B)=0.6,练习01.设A与B互不相容,且P(B)>0,则P(A|B)=___6注：概率

P(A|B)与P(AB)的区别与联系联系：事件A，B都发生了

区别：

（1）在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。（2）样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P（AB）中，样本空间仍为S。因而有

注：概率P(A|B)与P(AB)的区别与联系联系：事件A，7作业P:19习题1-41作业P:19习题1-418二、乘法公式由条件概率的公式：即若P(B)>0,则

P(AB)=P(B)P(A|B)若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).若P(A)>0,则

P(AB)=P(A)P(B|A)推广到三个事件：

P

(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)一般,与次序无关。乘法公式二、乘法公式由条件概率的公式：即若P(B)>0,则9例3

某厂产品的废品率为4%,而合格品中有75%是一等品,求一等品率.解记A：合格品；B：一等品，即一等品率为72%.例3某厂产品的废品率为4%,而合格品中有75%是一等品,10例4例411例4例412三、全概率公式

全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它实质上是可加性和乘法公式的综合运用.

综合运用可加性P(A∪B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B

|

A)P(A)>0三、全概率公式全概率公式主要用于计算比较复杂13(即每次至多发生其中一个)

(即每次至少发生其中一个)

B1B2B3B4B6B7B5B8集合的划分(即每次至多发生其中一个)(即每次至少发生其中一个)B114AB1B2B3B4B6B7B5B8AB1B2B3B4B6B7B5B815由概率的可加性及乘法公式,有

这个公式称为全概率公式，它是概率论的基本公式.

由概率的可加性及乘法公式,有这个公式称为全概率公式，它是16全概率公式

利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和．

全概率公式利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算17例5

市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、50％,且三家工厂的次品率分别为3％、3％、1％，试求：（1）市场上该品牌产品的次品率.B1、B2、B3分别表示买到设A:买到一件次品；解加权平均一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；例5市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三18例6

袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为多少？解分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式,

例6袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出19例7设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由营业员任取一箱，经顾客开箱随机察看4只，若无次品，则买此箱玻璃杯，否则退回.试求顾客买下此箱玻璃杯的概率.解记A:顾客买下所察看的一箱玻璃杯，Bi:箱中有i件次品(i=0,1,2)，

由题设知，

由全概率公式知

例7设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只次品20四、贝叶斯公式在上面例5中，如买到一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到.

在全概率公式的假定下，有

该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因Bk的概率.贝叶斯公式四、贝叶斯公式在上面例5中，如买到一件次品，问它是甲厂21所以这件商品最有可能是甲厂生产的.例5已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、50％,次品率分别为3％、3％、1％.（2）如果买了一件该商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少?

0.3,0.2,0.50.45,0.3,0.25解所以这件商品最有可能是甲厂生产的.例5已知三家工厂的市场占22全概率公式可看成“由原因推结果”,而贝叶斯公式的作用在于“由结果推原因”:现在一个“结果”A已经发生了，在众多可能的“原因”中,到底是哪一个导致了这一结果？

故贝叶斯公式也称为“逆概公式”。全概率公式可看成“由原因推结果”,而贝叶斯公式的作用在23

例8

对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？机器调整得良好产品合格机器发生某一故障例8对以往的数据分析结果表明当机器调整得良24解：设A表示产品合格，B表示机器调整良好

例8

对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？解：设A表示产品合格，B表示机器调整良好例825下面举一个实际的医学例子，说明贝叶斯公式在解决实际问题中的作用.解下面举一个实际的医学例子，说明贝叶斯公式在解决实际问题26因此，虽然检验法相当可靠，但被诊断为患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患肝癌的比例相当小。当然，医生在公布某人患肝癌之前，是不会只做一次或一种检验，还会辅以其它检验手段。

思考：诊断为无病,而确实没有患病的概率为多少？因此，虽然检验法相当可靠，但被诊断为患肝癌的人真正患病27乘法公式与全概率公式课件28贝叶斯公式在商业决策及其它企业管理学科中也有重要应用.有人依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法,叫作“贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影响.贝叶斯公式在商业决策及其它企业管理学科中也有重要应用.29作业P:19习题1-42,4,5,6作业P:19习题1-42,4,5,30一、条件概率对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言的，但有时除了这个确定的条件以外，还会提出附加的条件，即已知某一事件B已经发生，要求另一事件A发生的概率。

例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一样的。

若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2；

但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为2/3.

一、条件概率对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言的31例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一样的。

若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2；

但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为2/3.

我们将“已知事件

B

发生的条件下,事件

A

发生的概率”称为条件概率，记为P

(A

|

B)。若记B为至少有一男孩，则上述概率为例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个32条件概率的计算公式规定如下：

例1

设袋中有7个黑球，3个白球，不放回摸取两次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。解

设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则法二：法一:A发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中B所含样本点个数条件概率的计算公式规定如下：例1设袋中有7个黑球，3个33

例2

设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B|A).例2设某种动物由出生算起活到20年以上34不难验证条件概率具有以下三个基本性质：

(1)非负性(2)规范性(3)可加性并由此推出条件概率的其它性质：

不难验证条件概率具有以下三个基本性质：(1)非负性(2)351.设A与B互不相容,且P(B)>0,则P(A|B)=________2.设A与B为两事件,且P(A)=0.7,P(B)=0.6,练习01.设A与B互不相容,且P(B)>0,则P(A|B)=___36注：概率

P(A|B)与P(AB)的区别与联系联系：事件A，B都发生了

区别：

（1）在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。（2）样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P（AB）中，样本空间仍为S。因而有

注：概率P(A|B)与P(AB)的区别与联系联系：事件A，37作业P:19习题1-41作业P:19习题1-4138二、乘法公式由条件概率的公式：即若P(B)>0,则

P(AB)=P(B)P(A|B)若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).若P(A)>0,则

P(AB)=P(A)P(B|A)推广到三个事件：

P

(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)一般,与次序无关。乘法公式二、乘法公式由条件概率的公式：即若P(B)>0,则39例3

某厂产品的废品率为4%,而合格品中有75%是一等品,求一等品率.解记A：合格品；B：一等品，即一等品率为72%.例3某厂产品的废品率为4%,而合格品中有75%是一等品,40例4例441例4例442三、全概率公式

全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它实质上是可加性和乘法公式的综合运用.

综合运用可加性P(A∪B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B

|

A)P(A)>0三、全概率公式全概率公式主要用于计算比较复杂43(即每次至多发生其中一个)

(即每次至少发生其中一个)

B1B2B3B4B6B7B5B8集合的划分(即每次至多发生其中一个)(即每次至少发生其中一个)B144AB1B2B3B4B6B7B5B8AB1B2B3B4B6B7B5B845由概率的可加性及乘法公式,有

这个公式称为全概率公式，它是概率论的基本公式.

由概率的可加性及乘法公式,有这个公式称为全概率公式，它是46全概率公式

利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和．

全概率公式利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算47例5

市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、50％,且三家工厂的次品率分别为3％、3％、1％，试求：（1）市场上该品牌产品的次品率.B1、B2、B3分别表示买到设A:买到一件次品；解加权平均一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；例5市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三48例6

袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为多少？解分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式,

例6袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出49例7设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由营业员任取一箱，经顾客开箱随机察看4只，若无次品，则买此箱玻璃杯，否则退回.试求顾客买下此箱玻璃杯的概率.解记A:顾客买下所察看的一箱玻璃杯，Bi:箱中有i件次品(i=0,1,2)，

由题设知，

由全概率公式知

例7设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只次品50四、贝叶斯公式在上面例5中，如买到一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到.

在全概率公式的假定下，有

该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因Bk的概率.贝叶斯公式四、贝叶斯公式在上面例5中，如买到一件次品，问它是甲厂51所以这件商品最有可能是甲厂生产的.例5已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、50％,次品率分别为3％、3％、1％.（2）如果买了一件该商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少?

0.3,0.2,0.50.45,0.3,0.25解所以这件商品最有可能是甲厂生产的.例5已知三家工厂的市场占52全概率公式可看成“由原因推结果”,而贝叶斯公式的作用在于“由结果推原因”:现在一个“结果”A已经发生了，在众多可能的“原因”中,到底是哪一个导致了这一结果？

故贝叶斯公式也称为“逆概公式”。全概率公式可看成“由原因推结果”,而贝叶斯公式的作用在53

例8

对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时，其合格率为30%