3理论力学课件

第三章平面任意力系

§

3-1平面任意力系向作用面内一点简化

§

3-2平面任意力系的简化结果分析

§3-3平面任意力系的平衡条件和平衡方程

§3-4平面平衡力系的平衡方程

§3-5物体系的平衡·静定和超静定问题

§3-6平面简单桁架的内力计算

例题

返回1第三章平面任意力系§3-1平面任意力系向作用面力线平移定理作用于刚体上的力,可以平移到同一刚体的任一指定点,但必须同时附加一力偶,其力偶矩等于原来的力对此指定点的矩.2力线平移定理作用于刚体上的力,可以平移到同一刚体的任证明:设一力F作用于刚体的A点上,且此力到指定点O的距离为d.AodFF1F2AodFF1F2AodFmF1+F2=0F1=F2=F[F1,(F2,F

)][F1,m=Fd]mo(F)=Fd=m一个力平移的结果可得到同平面的一个力和一个力偶.反之同平面的一个力F1和一个力偶矩为m的力偶也一定能合成为一个大小和方向与力F1相同的力F其作用点到力作用线的距离为3证明:设一力F作用于刚体的A点上,且此力到指定点O的距离为§

3-1平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向一点简化的实质是一个平面任意力系变换为平面汇交力系和平面力偶系(1)主矢和主矩A1A2AnF1F2Fn设在刚体上作用一平面任意力系F1,F2,…Fn各力作用点分别为A1,

A2,…

An

如图所示.o在平面上任选一点o为简化中心.4§3-1平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向一点简根据力线平移定理,将各力平移到简化中心O.原力系转化为作用于O点的一个平面汇交力系F1',F2',…Fn'以及相应的一个力偶矩分别为m1,m2,…mn的附加平面力偶系.其中oF1'F2'Fn'm1m2mnF1=F1,

F2'=F2,…Fn'=Fnm1=mo(F1),m2=mo(F2),…mn=mo(Fn)5根据力线平移定理,将各力平移到简化中心O.原力系转化为作用于将这两个力系分别进行合成.一般情况下平面汇交力系F1',F2',…Fn'可合成为作用于O点的一个力,其力矢量R'称为原力系的主矢.R'=F1'+F2'+…+Fn'=

F1+F2+…+

Fn

R'

=Fi一般情况下附加平面力偶可合成一个力偶,其力偶矩Mo称为原力系对于简化中心O的主矩.Mo=m1+m2+...+mn

=mo(F1)+mo(F2)+...+mo(Fn)Mo

=

mo(Fi)6将这两个力系分别进行合成.一般情况下平面汇交力系F1结论:平面任意力系向作用面内已知点简化,一般可以得到一个力和一个力偶.这个力作用在简化中心,其矢量称为原力系的主矢,并等于这个力系中各力的矢量和;这个力偶的力偶矩称为原力系对于简化中心的主矩,并等于这个力系中各力对简化中心的矩代数和.力系的主矢

R'只是原力系中各力的矢量和,所以它的大小和方向与简化中心的位置无关.力系对于简化中心的主矩Mo

,一般与简化中心的位置有关.7结论:平面任意力系向作用面内已知点简化,一般可以得到一个力和§

3-2平面任意力系的简化结果分析(a)

R'0,Mo

=0原力系简化为一个作用于简化中心O的合力

R',且R'

=

Fi(b)

R'=0,Mo

0原力系简化为一个力偶.此力偶即为原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo

,且Mo

=mo(Fi)(c)

R'0,Mo

0力系可以简化为一个合力R,其大小和方向均与R'相同.而作用线位置与简化中心点O的距离为:8§3-2平面任意力系的简化结果分析(a)R'0(d)R'=0,Mo

=0原力系为平衡力系.其简化结果与简化中心的位置无关.(3)合力矩定理dOAR当平面任意力系简化为一个合力时,合力对力系所在平面内任一点的矩,等于力系中各力对同一点的矩的代数和.mo(R)=ROA=R'OA=MOMO=mo(Fi)mo(R)=

mo(Fi)9(d)R'=0,Mo=0原力系为平衡力系.(4)固定端支座:AXAmA既能限制物体移动又能限制物体转动的约束.AYAABCF1F2F3例题3-1.正三角形ABC的边长为a,受力如图.且

F1=F2=F3=F求此力系的主矢;对A点的主矩及此力系合力作用线的位置.10(4)固定端支座:AXAmA既能限制物体移动又能限制物体转动解:求力系的主矢ABC2FRx=-F1-F2cos60o-F3cos60o=-2FRy=F2sin60o-F3sin60o=0R=2F求对A点的主矩MA=aF2sin60o=0.87aFMAABC2Fd求合力作用线的位置11解:求力系的主矢ABC2FRx=-F1-F2cos60例题3-1.图示力系有合力.试求合力的大小,方向及作用线到A点的距离.AB1m1m1m25kN20kN18kN60o30o解:求力系的主矢Rx=20cos60o+18cos30o=25.59kNRy=25+20sin60o-18sin30o=33.32kN12例题3-1.图示力系有合力.试求合力的大小,方向及作用线到A求力系的主矩AB1m1m1m25kN20kN18kN60o30oR'MA

=1×25+2×20sin60o-3×18sin30o

=32.64kN·mMARd13求力系的主矩AB1m1m1m25kN20kN18kN60o3(5)平面平行力系的简化xyF1x1F2x2FnxnR'MOo设在某一物体上作用有一个平面平行力系F1,F2,…Fn取坐标原点O为简化中心将力系简化可得主矢R'和主矩MO,其中R'

=Fi=YiMO=mo(Fi)=F

x14(5)平面平行力系的简化xyF1x1F2x2FnxnR'MO简化结果的讨论xyRAxo(1)R'0,Mo

=0原力系简化为一个作用于简化中心

O的合力R',且R'

=Fi=Yi(2)R'=0,Mo

0原力系简化为一个力偶.此力偶即为原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo

,且MO=mo(Fi)=F

x(3)R'0,Mo

0力系可以简化为一个合力R

R

=R'

=Fi=Yi15简化结果的讨论xyRAxo(1)R'0,Mo平行分布的线荷载xABAabBqqx(1)定义集中力;分布荷载;平行分布线荷载(线荷载)线荷载集度qN/m;kN/m均布线荷载非均布线荷载荷载图16平行分布的线荷载xABAabBqqx(1)定义集中力(2)均布线荷载AabBqRCl/2lABabqCl/2lR合力大小:R=qxi=q

xi=ql合力作用线通过中心线AB的中点Cxiqxi17(2)均布线荷载AabBqRCl/2lABabqCl/(3)按照线性规律变化的线荷载ABbqmdxCx2l/3lRqdx合力大小:合力作用点C的位置18(3)按照线性规律变化的线荷载ABbqmdxCx2l/3例题3-2.求图示按线性规律变化的线荷载的合力大小和合力作用点C的位置.ABabq1q2l19例题3-2.求图示按线性规律变化的线荷载的合力大小和合力作解:(1)ABabq1q2lRCdxqdx20解:(1)ABabq1q2lRCdxqdx20(2)应用叠加原理ABabq1q2lABq1lABq2-q1lABq1lR1=q1lABq2-q1lC1C22l/321(2)应用叠加原理ABabq1q2lABq1lABq2-q利用同向平行力的合成得:RCABlR1R2C1C2R=R1+R222利用同向平行力的合成得:RCABlR1R2C1C2R§3-3平面任意力系的平衡条件和平衡方程(1)平面任意力系的平衡条件平面任意力系平衡的必要和充分条件是:力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零.R'=0MO=0(2)平面任意力系的平衡方程(a)一力矩式

Xi=0

Yi=0

mo(Fi)=023§3-3平面任意力系的平衡条件和平衡方程(1)平面任意力系(b)二力矩式投影轴x不能与矩心A和B的连线垂直.(c)三力矩式三个矩心A,B和C不在一直线上.mA(Fi)=0mB(Fi)=0Xi=0mA(Fi)=0mB(Fi)=0mC(Fi)=024(b)二力矩式投影轴x不能与矩心A和B的连线垂直.(c)三力例题3-3.在水平梁AB上作用一力偶矩为m的力偶,在梁长的中点C处作用一集中力P它与水平的夹角为,如图所示.梁长为l且自重不计.求支座A和B的反力.l/2l/2ABCmP25例题3-3.在水平梁AB上作用一力偶矩为m的力偶,在解:取水平梁AB为研究对象画受力图.XAYAXi=0XA-Pcos=0XA=Pcos

mA(Fi)=0Yi=0YA-Psin+RA=0l/2l/2ABCmPRA26解:取水平梁AB为研究对象画受力图.XAYAXi=0X例题3-4.图示的钢筋混凝土配水槽,底宽1m,高0.8m,壁及底厚10cm水深为50cm.求1m长度上支座的约束反力.槽的单位体积重量

(=24.5kn/m³.)0.5m0.8m1mABC27例题3-4.图示的钢筋混凝土配水槽,底宽1m,高0.8m,解:取水槽为研究对象画受力图.XAW1=24.5×1×1×0.1=2.45kNW2=24.5×1×0.7×0.1=1.715kNF=0.5×(1×9.8×0.5)×0.5×1=1.225kNW=(1×9.8)×1×0.9×0.5=4.41kN0.5m0.8m1mABC0.5mYAmAW1W2Fd0.45mW0.45m28解:取水槽为研究对象画受力图.XAW1=24.5×1×1利用平衡方程求解:XA

+F=0XA=-1.225kNYi=0YA

-W-W1-W2=0YA=8.575kNmA(Fi)=0mA-(0.5-0.333)F-0.45W-0.5W1-0.95W2=0mA=5.043kN.mXi=0XA0.5m0.8m1mABC0.5mYAmAW1W2Fd0.45mW0.45m29利用平衡方程求解:XA+F=0XA=-1.22例题3-5.一容器连同盛装物共重W=10kN,作用在容器上的风荷载q=1kN/m,在容器的受力平面内有三根杆件支承.求各杆所受的力.2m2mWqABCD30o30o30o30o60o30例题3-5.一容器连同盛装物共重W=10kN,作用在容器上解:杆件AD,AC和BC都是二力杆.取容器为研究对象画受力图QSADSACSBCQ=1×2=2kN2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m31解:杆件AD,AC和BC都是二力杆.取容器为研究对象画受力图利用平衡方程求解:2×1-10×1-SBCcos30o×2=0SBC=-6.928kNmA(Fi)=0QSADSACSBC2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m32利用平衡方程求解:2×1-10×1SBC=-6.9mC(Fi)=010×2-2×(1+2cos30o)+SAD

×4cos30o=0SAD=-4.196kNQSADSACSBC2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m33mC(Fi)=010×2-2×(1+2cos30mE(Fi)=02×(2cos30o-1)+2SAC=0SAC=-0.732kNQSADSACSBC2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m34mE(Fi)=02×(2cos30o-1)SA§3-4平面平行力系的平衡方程平面平行力系平衡的必要和充分条件是:力系中所有各力的代数和等于零,以及这些力对于任一点之矩的代数和等于零.(a)一力矩式Fi=0mo(Fi)=0(b)二力矩式mA(Fi)=0mB(Fi)=035§3-4平面平行力系的平衡方程平面平行力系平衡的§3-5物体系的平衡·静定和超静定问题(1)静定与静不定问题对每一种力系而言,若未知量的数目等于独立平衡方程的数目.则应用刚体静力学的理论,就可以求得全部未知量,这样的问题称为静定问题.若未知量的数目超过独立平衡方程的数目.则单独应用刚体静力学的理论,就不能求出全部未知量,这样的问题称为静不定问题.(2)物体系统的平衡36§3-5物体系的平衡·静定和超静定问题(1)静定与静不定物体系统是指由若干个物体通过适当的约束相互连接而组成的系统.解静定物体系统平衡问题的一般步骤:(a)分析系统由几个物体组成.(b)按照便于求解的原则,适当选取整体或个体为研究对象进行受力分析并画受力图.(c)列平衡方程并解出未知量37物体系统是指由若干个物体通过适当的约束相互连接而组成例题3-6.三铰拱ABC的支承及荷载情况如图所示.已知P=20kN,均布荷载q=4kN/m.求铰链支座A和B的约束反力.1m2m2m3mABCqP38例题3-6.三铰拱ABC的支承及荷载情况如图所示.已知P=解:取整体为研究对象画受力图.XAYAXBYBmA(Fi)=0-4×3×1.5-20×3+4YB=0YB=19.5kNYi=0YA-20+19.5=0YA=0.5kN1m2m2m3mABCqPXi=04×3+XA+XB=0(1)39解:取整体为研究对象画受力图.XAYAXBYBmA(Fi)取BC为研究对象画受力图.XCYC1m3mBCPXB19.5kNmC(Fi)=0-1×20+2×19.5+3XB=0XB

=-6.33kN(2)把(2)式代入(1)式得:XA=-5.67kN40取BC为研究对象画受力图.XCYC1m3mBCPXB19.5例题3-7.组合梁ABC的支承与受力情况如图所示.已知P=30kN,Q=20kN,=45o.求支座A和C的约束反力.2m2m2m2mPQABC41例题3-7.组合梁ABC的支承与受力情况如图所示.已知P解:取整体为研究对象画受力图.Xi=0XA-20cos45o=0XA=14.14kNYi=0YA-30-20sin45o+RC=0(1)2m2m2m2mPQABCRCXAYAmAmA(Fi)=0mA-2×30-6×20sin45o+8RC=0(2)42解:取整体为研究对象画受力图.Xi=0XA-20取BC杆为研究对象画受力图.2m2mQBCXBYBRCmB(Fi)=0-2×20sin45o+4RC=0RC

=7.07kN(3)

把(3)式分别代入(1)和(2)式得:YA=37.07kNmA=31.72kN.m43取BC杆为研究对象画受力图.2m2mQBCXBYBRCm例题3-8.构架的尺寸及所受荷载如图所示.求铰链E和F的约束反力.2m2m2m2m2m2mABCDEFG500N500N44例题3-8.构架的尺寸及所受荷载如图所示.求铰链E和F的约束解:取整体为研究对象画受力图.2m2m2m2m2m2mABCDEFG500N500NXAYARBXi=0XA

+500=0XA=-500N45解:取整体为研究对象画受力图.2m2m2m2m2m2m取AEGC杆为研究对象画受力图.2m2m2mACEG500N500NYAXEXGYEYGmG(Fi)=02×500-2XE+4×500=0XE

=1500N46取AEGC杆为研究对象画受力图.2m2m2mACEG500N取DEF杆为研究对象画受力图.YE'XFYF1500NXi=0XF-1500=0XF=1500NmE(Fi)=02×500+2YF=0YF

=-500NYi=0-500-YE'+(-500)=0YE'=-1000N500N2m2mDEF47取DEF杆为研究对象画受力图.YE'XFYF1500例题3-9.求图示构架在水平力P作用下支座A和B的约束反力.PaaaaABCDEFGH48例题3-9.求图示构架在水平力P作用下支座A和B的约束反力.解:取整体为研究对象.PaaaaABCDEFGH49解:取整体为研究对象.PaaaaABCDEFGH49画整体受力图.XAXBYBmA(Fi)=02aYB

-2aP=0YB=PYi=0YA+P=0YA=-PXi=0XA+XB+P=0(1)PaaaaABCDEFGHYA50画整体受力图.XAXBYBmA(Fi)=02aYB-取CFGHE为研

究对象画受力图.PCEFGHYCXCXEYEmE(Fi)=0-2aYC-aP=0取CFG为研究对象画受力图.CFGXCYCYGXGmG(Fi)=051取CFGHE为研

究对象画受力图.PCEFGHYCX取ACD为研究对象画受力图.DACXAYAXC'YC'XDYDmD(Fi)=0(2)把(2)式代入(1)式得:52取ACD为研究对象画受力图.DACXAYAXC'YC'XDY(1)基本概念桁架:由一些直杆在两端用铰链彼此连接而成的几何形状不变的结构.平面桁架:桁架中所有杆件的轴线都位于同一平面内.节点:杆件与杆件的连接点.三根杆件用铰链连接成三角形是几何不变结构.§3-6平面简单桁架的内力计算53(1)基本概念桁架:由一些直杆在两端用铰链彼此连接平面桁架简单桁架:在一个基本三角形结构上依次添加杆件和节点而构成的桁架.ABCDEABCDE由简单桁架联合而成的桁架为联合桁架.54简单桁架:在一个基本三角形结构上依次添加杆件和节点而构成的(2)平面桁架的基本假设(a)各杆件都用光滑铰链连接.(b)各杆件都是直的,其轴线位于同一平面内,且通过铰链的中心.(c)荷载与支座的约束反力都作用在节点上且位于轴线的平面内.(d)各杆件的自重或略去不计,或平均分配到杆件两端的节点上.桁架中各杆都是二力杆,杆件的内力都是轴力.55(2)平面桁架的基本假设(a)各杆件都用光滑铰链连接.(b节点法节点法的理论基础是平面汇交力系的平衡理论.在应用节点法时,所选取节点的未知量一般不应超过两个.零杆:在一定荷载作用下,桁架中内力为零的杆件.S1=0S2=01231212S1=0PS2S1=0S3S256节点法节点法的理论基础是平面汇交力系的零杆:在一定荷例题3-10.判定图示桁架中的零杆.ABCDEFGHIPP解:AB和BC是零杆.CI是零杆.EG是零杆.EH是零杆.57例题3-10.判定图示桁架中的零杆.ABCDEFGHIPP解例题3-11.一屋顶桁架的尺寸及荷载如图所示,试用节点法求每根杆件的内力.5kN5kN10kN10kN10kNAHBCDEFG4×4=16m2×3=6m58例题3-11.一屋顶桁架的尺寸及荷载如图所示,试用节点法求每解:取整体为研究对象画受力图.RARH去掉零杆BC和FG5kN5kN10kN10kN10kNAHBCDEFG4×4=16m2×3=6m59解:取整体为研究对象画受力图.RARH去掉零杆BC和FG5kmA(Fi)=0-10×(4+8+12)-5×16+16RH

=0RH=20kNRA=20kN取节点A为研究对象画受力图.5kNA20kNSACSABsin=0.6cos=0.8Yi=020-5+0.6SAC=0SAC=-25kNXi=0(-25)×0.8+SAB=0SAB=20kN取节点B为研究对象画受力图.Xi=0SBA-20=0SBA=20kN20kNSBAB60mA(Fi)=0-10×(4+8+12)-5×16+1联立(1)(2)两式得:SCD=-22kNSCE=-3kN10kND-22kN-22kNSDEYi=0根据对称性得:SDG=-22kNSGE=-3kNSGH=-25kN0.8[-(-22)-(-22)]-10-SDE=0SDE=25.2kN10kNCSCD-25kNSCE取节点C为研究对象画受力图.Xi=00.8×[SCD+SCE-(-25)]=0(1)Yi=00.6×[SCD-SCE-(-25)]-10=0(2)取节点D为研究对象画受力图.61联立(1)(2)两式得:SCD=-22kNSCE=截面法截面法的理论基础是平面任意力系的平衡理论.在应用截面法时,适当选取截面截取桁架的一部分为研究对象.所选断的杆件的数目一般不应超过三根.截面法的关键在于怎样选取适当的截面,而截面的形状并无任何限制.62截面法截面法的理论基础是平面任意力系的例题3-12.图示为某铁路桥中的一跨,设机车的一段进入桥梁时,桥梁所受的荷载是P=300kN,Q=800kN,Q1=550kN.试用截面法求杆件DF,DG和EG的内力.PPPPPQ1QQQABCDEFGH10×5.5=55m7m63例题3-12.图示为某铁路桥中的一跨,设机车的一段进入桥解:取整体为研究对象画受力图.mH(Fi)=0RA-55RA+(49.5+44+38.5+33+27.5)P+22Q1+(16.5+11+5.5)Q=0RA

=1750kNPPPPPQ1QQQABCDEFGH10×5.5=55m7mRH64解:取整体为研究对象画受力图.mH(Fi)=0RA-5取m—m截面把桁架分为两部分.PPPPPQ1QQQABCDEFGH10×5.5=55m7mRARHmm65取m—m截面把桁架分为两部分.PPPPPQ1QQQABCDE取左部分为研究对象画受力图.SDFPPABCDERAGSDGSEGmG(Fi)=0(5.5+11)P-16.5RA-7SDF=0SDF=3275kNYi=0SDG=-1462.5kNmD(Fi)=0-11RA+5.5P+7SEG=0SEG

=2514kN66取左部分为研究对象画受力图.SDFPPABCDERAGSDG例题3-13.悬臂式桁架如图所示,试求杆件GH,HJ和HK的内力.2m2m2m2m1.5m1.5mABEHKDGJCFILP67例题3-13.悬臂式桁架如图所示,试求杆件GH,HJ和H解:取m—m截面把桁架分为两部分.2m2m2m2m1.5m1.5mABEHKDGJCFILPmm68解:取m—m截面把桁架分为两部分.2m2m2m2m1.5m1取右半桁架为研究对象画受力图.mI(Fi)=03SHK-6P=0SHK=2PSHKSHJSGISGJn再取n—n截面截断桁架并取右半桁架为研究对象画受力图.2m2m2mABEHDGJCFIPmmn69取右半桁架为研究对象画受力图.mI(Fi)=0mF(Fi)=0SEHSEGSDFSCF3SEH-4P=0取节点H为研究对象画受力图.Xi=0SHKHSHJSHESHGcos=0.8sin=0.6SHE-SHK

+SHG

cos=0Yi=0-SHJ

-SHG

sin=02m2mABEDGCFPnn70mF(Fi)=0SEHSEGSDFSCF3SEH-例题3-14.图示为一平面组合桁架.已知力P,求AB杆的内力S1.a/3a/3PABCDEFa/3a/2a/271例题3-14.图示为一平面组合桁架.已知力P,求AB杆的内力解:取整体为研究

对象画受力图.Xi=0XAYARBXA+P=0XA=-PmA(Fi)=0aRB-aP=0RB

=PYi=0YA+P=0YA=-Pa/3a/3PABCDEFa/3a/2a/272解:取整体为研究

对象画受力图.Xi=0XA对整体进行构成分析.a/3a/3PABCDEFa/3a/2a/2PPP桁架由两个简单桁架ABC和DEF用AE,CD,BF三根杆连接而成.这类问题应先截断连接杆,求出其内力.73对整体进行构成分析.a/3a/3PABCDE截开连接杆AE,CD和BF并取下半个桁架为研究对象画受力图.SAESBFSCDP

P

P

OABCmO(Fi)=074截开连接杆AE,CD和BF并取下半个桁架为研究对象画受力取节点B为研究对象画受力图.PSBASBFSBCBYi=0Xi=075取节点B为研究对象画受力图.PSBASBFSBCBYi例题3-15.试计算图示桁架杆件BC和DE的内力.aaaaaABCDEP76例题3-15.试计算图示桁架杆件BC和DE的内力.aaaaa解:取整体为研究对象画受力图.XAYARBXi=0XA

+P=0XA

=-PmA(Fi)=0-3aP+2aRB=0Yi=0YA+RB

=0aaaaaABCDEP77解:取整体为研究对象画受力图.XAYARBXi=0XA取m—m截面把桁架分为两部分.aaaaaABCDEPP3P/23P/2mm78取m—m截面把桁架分为两部分.aaaaaABCDEPP3取右部分为研究对象画受力图.BP3P/2ESBCSEDS1S2S3mE(Fi)=0aRB

-3aSBC

=0Xi=0-SBC

-SED+P=079取右部分为研究对象画受力图.BP3P/2ESBCSE再见80再见80第三章平面任意力系

§

3-1平面任意力系向作用面内一点简化

§

3-2平面任意力系的简化结果分析

§3-3平面任意力系的平衡条件和平衡方程

§3-4平面平衡力系的平衡方程

§3-5物体系的平衡·静定和超静定问题

§3-6平面简单桁架的内力计算

例题

返回81第三章平面任意力系§3-1平面任意力系向作用面力线平移定理作用于刚体上的力,可以平移到同一刚体的任一指定点,但必须同时附加一力偶,其力偶矩等于原来的力对此指定点的矩.82力线平移定理作用于刚体上的力,可以平移到同一刚体的任证明:设一力F作用于刚体的A点上,且此力到指定点O的距离为d.AodFF1F2AodFF1F2AodFmF1+F2=0F1=F2=F[F1,(F2,F

)][F1,m=Fd]mo(F)=Fd=m一个力平移的结果可得到同平面的一个力和一个力偶.反之同平面的一个力F1和一个力偶矩为m的力偶也一定能合成为一个大小和方向与力F1相同的力F其作用点到力作用线的距离为83证明:设一力F作用于刚体的A点上,且此力到指定点O的距离为§

3-1平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向一点简化的实质是一个平面任意力系变换为平面汇交力系和平面力偶系(1)主矢和主矩A1A2AnF1F2Fn设在刚体上作用一平面任意力系F1,F2,…Fn各力作用点分别为A1,

A2,…

An

如图所示.o在平面上任选一点o为简化中心.84§3-1平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向一点简根据力线平移定理,将各力平移到简化中心O.原力系转化为作用于O点的一个平面汇交力系F1',F2',…Fn'以及相应的一个力偶矩分别为m1,m2,…mn的附加平面力偶系.其中oF1'F2'Fn'm1m2mnF1=F1,

F2'=F2,…Fn'=Fnm1=mo(F1),m2=mo(F2),…mn=mo(Fn)85根据力线平移定理,将各力平移到简化中心O.原力系转化为作用于将这两个力系分别进行合成.一般情况下平面汇交力系F1',F2',…Fn'可合成为作用于O点的一个力,其力矢量R'称为原力系的主矢.R'=F1'+F2'+…+Fn'=

F1+F2+…+

Fn

R'

=Fi一般情况下附加平面力偶可合成一个力偶,其力偶矩Mo称为原力系对于简化中心O的主矩.Mo=m1+m2+...+mn

=mo(F1)+mo(F2)+...+mo(Fn)Mo

=

mo(Fi)86将这两个力系分别进行合成.一般情况下平面汇交力系F1结论:平面任意力系向作用面内已知点简化,一般可以得到一个力和一个力偶.这个力作用在简化中心,其矢量称为原力系的主矢,并等于这个力系中各力的矢量和;这个力偶的力偶矩称为原力系对于简化中心的主矩,并等于这个力系中各力对简化中心的矩代数和.力系的主矢

R'只是原力系中各力的矢量和,所以它的大小和方向与简化中心的位置无关.力系对于简化中心的主矩Mo

,一般与简化中心的位置有关.87结论:平面任意力系向作用面内已知点简化,一般可以得到一个力和§

3-2平面任意力系的简化结果分析(a)

R'0,Mo

=0原力系简化为一个作用于简化中心O的合力

R',且R'

=

Fi(b)

R'=0,Mo

0原力系简化为一个力偶.此力偶即为原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo

,且Mo

=mo(Fi)(c)

R'0,Mo

0力系可以简化为一个合力R,其大小和方向均与R'相同.而作用线位置与简化中心点O的距离为:88§3-2平面任意力系的简化结果分析(a)R'0(d)R'=0,Mo

=0原力系为平衡力系.其简化结果与简化中心的位置无关.(3)合力矩定理dOAR当平面任意力系简化为一个合力时,合力对力系所在平面内任一点的矩,等于力系中各力对同一点的矩的代数和.mo(R)=ROA=R'OA=MOMO=mo(Fi)mo(R)=

mo(Fi)89(d)R'=0,Mo=0原力系为平衡力系.(4)固定端支座:AXAmA既能限制物体移动又能限制物体转动的约束.AYAABCF1F2F3例题3-1.正三角形ABC的边长为a,受力如图.且

F1=F2=F3=F求此力系的主矢;对A点的主矩及此力系合力作用线的位置.90(4)固定端支座:AXAmA既能限制物体移动又能限制物体转动解:求力系的主矢ABC2FRx=-F1-F2cos60o-F3cos60o=-2FRy=F2sin60o-F3sin60o=0R=2F求对A点的主矩MA=aF2sin60o=0.87aFMAABC2Fd求合力作用线的位置91解:求力系的主矢ABC2FRx=-F1-F2cos60例题3-1.图示力系有合力.试求合力的大小,方向及作用线到A点的距离.AB1m1m1m25kN20kN18kN60o30o解:求力系的主矢Rx=20cos60o+18cos30o=25.59kNRy=25+20sin60o-18sin30o=33.32kN92例题3-1.图示力系有合力.试求合力的大小,方向及作用线到A求力系的主矩AB1m1m1m25kN20kN18kN60o30oR'MA

=1×25+2×20sin60o-3×18sin30o

=32.64kN·mMARd93求力系的主矩AB1m1m1m25kN20kN18kN60o3(5)平面平行力系的简化xyF1x1F2x2FnxnR'MOo设在某一物体上作用有一个平面平行力系F1,F2,…Fn取坐标原点O为简化中心将力系简化可得主矢R'和主矩MO,其中R'

=Fi=YiMO=mo(Fi)=F

x94(5)平面平行力系的简化xyF1x1F2x2FnxnR'MO简化结果的讨论xyRAxo(1)R'0,Mo

=0原力系简化为一个作用于简化中心

O的合力R',且R'

=Fi=Yi(2)R'=0,Mo

0原力系简化为一个力偶.此力偶即为原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo

,且MO=mo(Fi)=F

x(3)R'0,Mo

0力系可以简化为一个合力R

R

=R'

=Fi=Yi95简化结果的讨论xyRAxo(1)R'0,Mo平行分布的线荷载xABAabBqqx(1)定义集中力;分布荷载;平行分布线荷载(线荷载)线荷载集度qN/m;kN/m均布线荷载非均布线荷载荷载图96平行分布的线荷载xABAabBqqx(1)定义集中力(2)均布线荷载AabBqRCl/2lABabqCl/2lR合力大小:R=qxi=q

xi=ql合力作用线通过中心线AB的中点Cxiqxi97(2)均布线荷载AabBqRCl/2lABabqCl/(3)按照线性规律变化的线荷载ABbqmdxCx2l/3lRqdx合力大小:合力作用点C的位置98(3)按照线性规律变化的线荷载ABbqmdxCx2l/3例题3-2.求图示按线性规律变化的线荷载的合力大小和合力作用点C的位置.ABabq1q2l99例题3-2.求图示按线性规律变化的线荷载的合力大小和合力作解:(1)ABabq1q2lRCdxqdx100解:(1)ABabq1q2lRCdxqdx20(2)应用叠加原理ABabq1q2lABq1lABq2-q1lABq1lR1=q1lABq2-q1lC1C22l/3101(2)应用叠加原理ABabq1q2lABq1lABq2-q利用同向平行力的合成得:RCABlR1R2C1C2R=R1+R2102利用同向平行力的合成得:RCABlR1R2C1C2R§3-3平面任意力系的平衡条件和平衡方程(1)平面任意力系的平衡条件平面任意力系平衡的必要和充分条件是:力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零.R'=0MO=0(2)平面任意力系的平衡方程(a)一力矩式

Xi=0

Yi=0

mo(Fi)=0103§3-3平面任意力系的平衡条件和平衡方程(1)平面任意力系(b)二力矩式投影轴x不能与矩心A和B的连线垂直.(c)三力矩式三个矩心A,B和C不在一直线上.mA(Fi)=0mB(Fi)=0Xi=0mA(Fi)=0mB(Fi)=0mC(Fi)=0104(b)二力矩式投影轴x不能与矩心A和B的连线垂直.(c)三力例题3-3.在水平梁AB上作用一力偶矩为m的力偶,在梁长的中点C处作用一集中力P它与水平的夹角为,如图所示.梁长为l且自重不计.求支座A和B的反力.l/2l/2ABCmP105例题3-3.在水平梁AB上作用一力偶矩为m的力偶,在解:取水平梁AB为研究对象画受力图.XAYAXi=0XA-Pcos=0XA=Pcos

mA(Fi)=0Yi=0YA-Psin+RA=0l/2l/2ABCmPRA106解:取水平梁AB为研究对象画受力图.XAYAXi=0X例题3-4.图示的钢筋混凝土配水槽,底宽1m,高0.8m,壁及底厚10cm水深为50cm.求1m长度上支座的约束反力.槽的单位体积重量

(=24.5kn/m³.)0.5m0.8m1mABC107例题3-4.图示的钢筋混凝土配水槽,底宽1m,高0.8m,解:取水槽为研究对象画受力图.XAW1=24.5×1×1×0.1=2.45kNW2=24.5×1×0.7×0.1=1.715kNF=0.5×(1×9.8×0.5)×0.5×1=1.225kNW=(1×9.8)×1×0.9×0.5=4.41kN0.5m0.8m1mABC0.5mYAmAW1W2Fd0.45mW0.45m108解:取水槽为研究对象画受力图.XAW1=24.5×1×1利用平衡方程求解:XA

+F=0XA=-1.225kNYi=0YA

-W-W1-W2=0YA=8.575kNmA(Fi)=0mA-(0.5-0.333)F-0.45W-0.5W1-0.95W2=0mA=5.043kN.mXi=0XA0.5m0.8m1mABC0.5mYAmAW1W2Fd0.45mW0.45m109利用平衡方程求解:XA+F=0XA=-1.22例题3-5.一容器连同盛装物共重W=10kN,作用在容器上的风荷载q=1kN/m,在容器的受力平面内有三根杆件支承.求各杆所受的力.2m2mWqABCD30o30o30o30o60o110例题3-5.一容器连同盛装物共重W=10kN,作用在容器上解:杆件AD,AC和BC都是二力杆.取容器为研究对象画受力图QSADSACSBCQ=1×2=2kN2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m111解:杆件AD,AC和BC都是二力杆.取容器为研究对象画受力图利用平衡方程求解:2×1-10×1-SBCcos30o×2=0SBC=-6.928kNmA(Fi)=0QSADSACSBC2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m112利用平衡方程求解:2×1-10×1SBC=-6.9mC(Fi)=010×2-2×(1+2cos30o)+SAD

×4cos30o=0SAD=-4.196kNQSADSACSBC2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m113mC(Fi)=010×2-2×(1+2cos30mE(Fi)=02×(2cos30o-1)+2SAC=0SAC=-0.732kNQSADSACSBC2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m114mE(Fi)=02×(2cos30o-1)SA§3-4平面平行力系的平衡方程平面平行力系平衡的必要和充分条件是:力系中所有各力的代数和等于零,以及这些力对于任一点之矩的代数和等于零.(a)一力矩式Fi=0mo(Fi)=0(b)二力矩式mA(Fi)=0mB(Fi)=0115§3-4平面平行力系的平衡方程平面平行力系平衡的§3-5物体系的平衡·静定和超静定问题(1)静定与静不定问题对每一种力系而言,若未知量的数目等于独立平衡方程的数目.则应用刚体静力学的理论,就可以求得全部未知量,这样的问题称为静定问题.若未知量的数目超过独立平衡方程的数目.则单独应用刚体静力学的理论,就不能求出全部未知量,这样的问题称为静不定问题.(2)物体系统的平衡116§3-5物体系的平衡·静定和超静定问题(1)静定与静不定物体系统是指由若干个物体通过适当的约束相互连接而组成的系统.解静定物体系统平衡问题的一般步骤:(a)分析系统由几个物体组成.(b)按照便于求解的原则,适当选取整体或个体为研究对象进行受力分析并画受力图.(c)列平衡方程并解出未知量117物体系统是指由若干个物体通过适当的约束相互连接而组成例题3-6.三铰拱ABC的支承及荷载情况如图所示.已知P=20kN,均布荷载q=4kN/m.求铰链支座A和B的约束反力.1m2m2m3mABCqP118例题3-6.三铰拱ABC的支承及荷载情况如图所示.已知P=解:取整体为研究对象画受力图.XAYAXBYBmA(Fi)=0-4×3×1.5-20×3+4YB=0YB=19.5kNYi=0YA-20+19.5=0YA=0.5kN1m2m2m3mABCqPXi=04×3+XA+XB=0(1)119解:取整体为研究对象画受力图.XAYAXBYBmA(Fi)取BC为研究对象画受力图.XCYC1m3mBCPXB19.5kNmC(Fi)=0-1×20+2×19.5+3XB=0XB

=-6.33kN(2)把(2)式代入(1)式得:XA=-5.67kN120取BC为研究对象画受力图.XCYC1m3mBCPXB19.5例题3-7.组合梁ABC的支承与受力情况如图所示.已知P=30kN,Q=20kN,=45o.求支座A和C的约束反力.2m2m2m2mPQABC121例题3-7.组合梁ABC的支承与受力情况如图所示.已知P解:取整体为研究对象画受力图.Xi=0XA-20cos45o=0XA=14.14kNYi=0YA-30-20sin45o+RC=0(1)2m2m2m2mPQABCRCXAYAmAmA(Fi)=0mA-2×30-6×20sin45o+8RC=0(2)122解:取整体为研究对象画受力图.Xi=0XA-20取BC杆为研究对象画受力图.2m2mQBCXBYBRCmB(Fi)=0-2×20sin45o+4RC=0RC

=7.07kN(3)

把(3)式分别代入(1)和(2)式得:YA=37.07kNmA=31.72kN.m123取BC杆为研究对象画受力图.2m2mQBCXBYBRCm例题3-8.构架的尺寸及所受荷载如图所示.求铰链E和F的约束反力.2m2m2m2m2m2mABCDEFG500N500N124例题3-8.构架的尺寸及所受荷载如图所示.求铰链E和F的约束解:取整体为研究对象画受力图.2m2m2m2m2m2mABCDEFG500N500NXAYARBXi=0XA

+500=0XA=-500N125解:取整体为研究对象画受力图.2m2m2m2m2m2m取AEGC杆为研究对象画受力图.2m2m2mACEG500N500NYAXEXGYEYGmG(Fi)=02×500-2XE+4×500=0XE

=1500N126取AEGC杆为研究对象画受力图.2m2m2mACEG500N取DEF杆为研究对象画受力图.YE'XFYF1500NXi=0XF-1500=0XF=1500NmE(Fi)=02×500+2YF=0YF

=-500NYi=0-500-YE'+(-500)=0YE'=-1000N500N2m2mDEF127取DEF杆为研究对象画受力图.YE'XFYF1500例题3-9.求图示构架在水平力P作用下支座A和B的约束反力.PaaaaABCDEFGH128例题3-9.求图示构架在水平力P作用下支座A和B的约束反力.解:取整体为研究对象.PaaaaABCDEFGH129解:取整体为研究对象.PaaaaABCDEFGH49画整体受力图.XAXBYBmA(Fi)=02aYB

-2aP=0YB=PYi=0YA+P=0YA=-PXi=0XA+XB+P=0(1)PaaaaABCDEFGHYA130画整体受力图.XAXBYBmA(Fi)=02aYB-取CFGHE为研

究对象画受力图.PCEFGHYCXCXEYEmE(Fi)=0-2aYC-aP=0取CFG为研究对象画受力图.CFGXCYCYGXGmG(Fi)=0131取CFGHE为研

究对象画受力图.PCEFGHYCX取ACD为研究对象画受力图.DACXAYAXC'YC'XDYDmD(Fi)=0(2)把(2)式代入(1)式得:132取ACD为研究对象画受力图.DACXAYAXC'YC'XDY(1)基本概念桁架:由一些直杆在两端用铰链彼此连接而成的几何形状不变的结构.平面桁架:桁架中所有杆件的轴线都位于同一平面内.节点:杆件与杆件的连接点.三根杆件用铰链连接成三角形是几何不变结构.§3-6平面简单桁架的内力计算133(1)基本概念桁架:由一些直杆在两端用铰链彼此连接平面桁架简单桁架:在一个基本三角形结构上依次添加杆件和节点而构成的桁架.ABCDEABCDE由简单桁架联合而成的桁架为联合桁架.134简单桁架:在一个基本三角形结构上依次添加杆件和节点而构成的(2)平面桁架的基本假设(a)各杆件都用光滑铰链连接.(b)各杆件都是直的,其轴线位于同一平面内,且通过铰链的中心.(c)荷载与支座的约束反力都作用在节点上且位于轴线的平面内.(d)各杆件的自重或略去不计,或平均分配到杆件两端的节点上.桁架中各杆都是二力杆,杆件的内力都是轴力.135(2)平面桁架的基本假设(a)各杆件都用光滑铰链连接.(b节点法节点法的理论基础是平面汇交力系的平衡理论.在应用节点法时,所选取节点的未知量一般不应超过两个.零杆:在一定荷载作用下,桁架中内力为零的杆件.S1=0S2=01231212S1=0PS2S1=0S3S2136节点法节点法的理论基础是平面汇交力系的零杆:在一定荷例题3-10.判定图示桁架中的零杆.ABCDEFGHIPP解:AB和BC是零杆.CI是零杆.EG是零杆.EH是零杆.137例题3-10.判定图示桁架中的零杆.ABCDEFGHIPP解例题3-11.一屋顶桁架的尺寸及荷载如图所示,试用节点法求每根杆件的内力.5kN5kN10kN10kN10kNAHBCDEFG4×4=16m2×3=6m138例题3-11.一屋顶桁架的尺寸及荷载如图所示,试用节点法求每解:取整体为研究对象画受力图.RARH去掉零杆BC和FG5kN5kN10kN10kN10kNAHBCDEFG4×4=16m2×3=6m139解:取整体为研究对象画受力图.RARH去掉零杆BC和FG5kmA(Fi)=0-10×(4+8+12)-5×16+16RH

=0RH=20kNRA=20kN取节点A为研究对象画受力图.5kNA20kNSACSABsin=0.6cos=0.8Yi=020-5+0.6SAC=0SAC=-25kNXi=0(-25)×0.8+SAB=0SAB=20kN取节点B为研究对象画受力图.Xi=0SBA-20=0SBA=20kN20kNSBAB140mA(Fi)=0-10×(4+8+12)-5×16+1联立(1)(2)两式得:SCD=-22kNSCE=-3kN10kND-22kN-22kNSDEYi=0根据对称性得:SDG=-22kNSGE=-3kNSGH=-25kN0.8[-(-22)-(-22)]-10-SDE=0SDE=25.2kN10kNCSCD-25kNSCE取节点C为研究对象画受力图.Xi=00.8×[SCD+SCE-(-25)]=0(1)Yi=00.6×[SCD-SCE-(-25)]-10=0(2)取节点D为研究对象画受力图.141联立(1)(2)两式得:SCD=-22kNSCE=截面法截面法的理