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文档简介
2017届高二数学导学案编写审核审批课题:立体几何中的向量方法—证明平行和垂直第周第课时班组组评姓名师评【使用说明】1、依据学习目标。课前认真预习,完成自主学习内容;2、课上思考,积极讨论,大胆展示,充分发挥小组合作优势,解决疑难问题;3、当堂完成课堂检测题目;4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成【学习目标】1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘;2.了解空间向量的基本定理;3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。【教学重点】理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法【教学难点】理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法【学习方法】学案导学法,合作探究法。【自主学习·梳理基础】考点深度剖析利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点,内容以解答题为主,主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题,以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向.2.【课本回眸】1.直线的方向向量与平面的法向量的确定①直线的方向向量:l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则称eq\o(AB,\s\up6(→))为直线l的方向向量,与eq\o(AB,\s\up6(→))平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.②平面的法向量可利用方程组求出:设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a=0,,n·b=0.))2.用向量证明空间中的平行关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.②设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量v1和v2,则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2.③设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.④设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥β⇔u1∥u2.3.用向量证明空间中的垂直关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2=0.②设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α⇔v∥u.③设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0.4.共线与垂直的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R),a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b均为非零向量).【课堂合作探究】探究一:如图,在棱长为2的正方体中,分别是棱的中点,点分别在棱,上移动,且.当时,证明:直线平面.探究二:如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)AE⊥CD;(2)PD⊥平面ABE.探究三:在边长是2的正方体-中,分别为的中点.应用空间向量方法求解下列问题.(1)求EF的长(2)证明:平面;(3)证明:平面.【当堂测试】1.【人教A版选修2-1P101练习2改编】已知l∥α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(1,2),2)),则m=________.2.【改编自大纲卷】如图,三棱柱中,点在平面ABC内的射影D在AC上,,.(I)证明:;【课后巩固】1.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=________时,CF⊥平面B1DF.2.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为△BC1D的重心,(1)试证:A1、G、C三点共线;(2)试证:A1C⊥平面BC1D;3.【改编自高考题】如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱A1A=2.(1)证明:AC⊥A1B;(2)是否在棱A1A上存在一点P,使得且面AB1C1⊥面PB1C1.【学后反思】本节课我学会了掌握了那些?还有哪些疑问?2017届高二数学导学案编写邓兴明审核邓兴明审批课题:利用向量方法求空间角第周第课时班组组评姓名师评【使用说明】1、依据学习目标。课前认真预习,完成自主学习内容;2、课上思考,积极讨论,大胆展示,充分发挥小组合作优势,解决疑难问题;3、当堂完成课堂检测题目;4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成【学习目标】1.掌握各种空间角的定义,弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角,二面角的平面角,直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想,熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角.【教学重点】灵活地运用各种方法求空间角【教学难点】灵活地运用各种方法求空间角【学习方法】学案导学法,合作探究法。【自主学习·梳理基础】1.两条异面直线的夹角(1)定义:设a,b是两条异面直线,在直线a上任取一点作直线a′∥b,则a′与a的夹角叫做a与b的夹角.(2)范围:两异面直线夹角θ的取值范围是_______________________________________.(3)向量求法:设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为φ,则有cosθ=________=______________.2.直线与平面的夹角(1)定义:直线和平面的夹角,是指直线与它在这个平面内的射影的夹角.(2)范围:直线和平面夹角θ的取值范围是________________________________________.(3)向量求法:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为θ,a与u的夹角为φ,则有sinθ=__________或cosθ=sinφ.3.二面角(1)二面角的取值范围是____________.(2)二面角的向量求法:①若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))的夹角(如图①).②设n1,n2分别是二面角α—l—β的两个面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③).【课堂合作探究】探究一:利用向量法求异面直线所成的角1.已知直三棱柱ABC—A1B1C1,∠ACB=90°,CA=CB=CC1,D为B1C1的中点,求异面直线BD和A1C所成角的余弦值.2.如图所示,在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,求异面直线BA1和AC所成的角.探究二:利用向量法求直线与平面所成的角如图,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.若平面ABCD⊥平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值.探究三:利用向量法求二面角1.如图,ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=BC=BA=1,AD=eq\f(1,2),求面SCD与面SBA所成角的余弦值大小.2如图,在三棱锥S—ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,∠BAC=90°,O为BC中点.(1)证明:SO⊥平面ABC;(2)求二面角A—SC—B的余弦值.探究四向量法的综合应用如图所示,在三棱锥A—BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=eq\r(3),BD=CD=1,另一个侧面ABC是正三角形.(1)求证:AD⊥BC;(2)求二面角B-AC-D的余弦值;(3)在线段AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?若存在,确定点E的位置;若不存在,说明理由.【当堂测试】1.(2011·成都月考)在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin〈eq\o(DB1,\s\up6(→)),eq\o(CM,\s\up6(→))〉的值等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(210),15)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(11),15)2.长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(10),10) B.eq\f(\r(30),10) C.eq\f(2\r(15),10) D.eq\f(3\r(10),10)3.已知正四棱锥S—ABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE、SD所成的角的余弦值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(2),3) C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(2,3)4.【课后巩固】1.如图所示,AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8.BC是⊙O的直径,AB=AC=6,OE∥AD.(1)求二面角B-AD-F的大小;(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值.2.(2011·大纲全国)如图,四棱锥S
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