2022-2023学年上海市浦东复旦附中分校高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市浦东复旦附中分校高一上学期期中数学试题一、单选题1．下列函数中，不是偶函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据偶函数的定义，对选项逐一判断.【详解】对选项A，函数的定义域为，解得的定义域为，定义域关于原点对称，且，故是偶函数.B选项，函数的定义域为，解得，定义域关于原点对称，则，，所以函数是偶函数.C选项，当，，所以不是偶函数.D选项，，的定义为，当，，当，所以函数为偶函数.故选：C2．存在函数满足：对任意都有（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据的奇偶性可以判断A和B选项的正误；再根据的对称性判断C和D.【详解】必定是一个偶函数，故可以判断A和B选项是错误的；是由的图像向左平移一个单位得到，所以的图像关于对称，对于C，不关于对称，故舍去；对于D，关于对称，故正确，故选：D.3．已知函数，若方程有实根，则集合的元素个数可能是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】根据方程有实根可求得，根据二次函数性质可求得；设，分别在和的情况下，讨论的根的个数，并根据方程的根与的大小关系，确定的根的个数，即为所求集合的元素个数.【详解】有实根，，解得：；；设，则；①当时，，，即，解得：，；②当时，由得：，；，，，又恒成立，，即，共有四个不等实根，；综上所述：集合的元素个数可能为或.故选：C.4．设对任意恒成立，当时，函数在上的最大值是，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】令，则任意都有，，，将用表示，则可变形得，结合绝对值三角不等式即可得出最大值.【详解】令，则任意都有，，，由得，∴.故选：A二、填空题5．函数的定义域为______．【答案】【分析】根据给定的函数，直接列出不等式求解作答.【详解】函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域是.故答案为：6．已知集合，，若，则实数______．【答案】1【分析】由集合中元素的互异性可得，由集合相等可得或，再求解即可得解.【详解】解：由集合，，又，则有或，解得无解或，综上可得实数，故答案为.【点睛】本题考查了集合相等的充要条件及集合中元素的互异性，重点考查了元素与集合的关系及运算能力，属基础题.7．已知实数，满足，，则以为根的一元二次方程是__________．【答案】.【分析】本题考查一元二次方程韦达定理得逆向运用【详解】将变形可得，可得即，由一元二次方程的韦达定理可知为方程的两根.故答案为：.8．若在区间上为奇函数，则t的取值为________．【答案】【详解】奇函数的定义域关于原点对称，且区间的右端点不比左端点小，有．解得．9．若，，则的取值范围是____________．【答案】【分析】直接根据不等式的性质即可得结果.【详解】因为，，所以，，即的取值范围是，故答案为：.10．函数的递减区间是__________．【答案】【分析】分别在、和的情况下得到函数解析式，结合一次函数的单调性可确定递减区间.【详解】当时，，此时函数单调递减；当时，；当时，，此时函数单调递增；的递减区间是.故答案为：.11．函数的值域是__________．【答案】【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域.【详解】当时，当，.若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即.若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即.综上所述，函数的值域为.故答案为：12．已知的周长为定值，则它的面积最大值为__________.【答案】.【分析】设出三角形的边长，根据周长和勾股定理列方程组，利用基本不等式求得的最大值，进而求得三角形面积的最大值.【详解】设三条边长分别为，其中为斜边长，所以，，，所以，所以，则三角形的面积.故答案为.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求三角形面积的最大值，考查直角三角形的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.13．若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．【答案】【分析】依题意可得能够取到大于等于的所有数，然后对分类求解得答案．【详解】解：因为函数的值域为，所以能够取到大于等于的所有数，当时，不合题意；当时，则，解得；综上可得.故答案为：．14．函数，，若在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是_______．【答案】【分析】因为函数没有奇偶性，所以一次项系数不为零；因为函数在定义域上不单调，所以二次项系数不为零，且对称轴在区间内；又因为二次函数在开区间上有最大值，所以二次项系数小于零，求出a的取值范围.【详解】因为函数没有奇偶性，所以，即；又因为函数在上不单调，所以且；又因为二次函数在开区间上有最大值，所以，综上，解得.故答案为：.15．已知函数，若对于任意的，都有，则的最小值是_____.【答案】【分析】根据及可得即可求出函数解析式，令，将函数转化为二次函数，求出函数的最小值.【详解】解：对任意的，都有令则所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查函数的最值，利用换元法将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质求函数的最值，属于中档题.16．设，若存在定义城为的函数同时满足下列两个条件：①对于任意，的值为或；②关于的方程无实数解．则实数不能取的值的集合为__________．【答案】【分析】根据条件①可知或1，进而结合条件②可得的范围，并分析函数的构成，即可确定的范围，从而可得实数不能取的值的集合.【详解】解：根据条件①可得或，根据条件②关于的方程无实数解，所以且；由条件①可知函数的图象是由函数和函数的图象分段拼接而成的，若，只需取，则无解；若，只需取，则无解；若，只需取，则无解；故的取值范围是，则实数不能取的值的集合为.故答案为：．三、解答题17．已知函数．(1)求函数的值域；(2)若直线与的图象有无穷多个交点，求实数的取值集合．【答案】(1)(2)【分析】（1）采用分段讨论法去绝对值，求出解析式，画出图象，可求值域；（2）要使交点有无数多个，即直线或，解方程即可.【详解】（1）当时，；当时，；当时，，故，如图：可知；（2）要使直线与的图象有无穷多个交点，即或（无解），解得或，故实数的取值集合18．已知函数，其中．(1)讨论函数的奇偶性，并说明理由；(2)若，，判断函数在上的单调性，并证明．【答案】(1)见解析(2)单调递增，证明见解析【分析】（1）由奇偶性的定义求解，（2）由单调性的定义证明，【详解】（1）的定义域为，当时，为非奇非偶函数，当时，，，令，解得，令，得无解，综上，当时，为奇函数，当或时，为非奇非偶函数，（2），设，且，则，由，得，而，故，在上单调递增．19．某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量与促销费t之间的关系为(其中k为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品.（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费t至少为多少(万元)？（2）已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为(元)，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？【答案】（1）(万元)；（2）当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件).【解析】（1）可得当时，，解得，则可列不等式求出；（2）根据题意可列出y关于的函数关系，再利用基本不等式可求出.【详解】解：（1）由，当时，，得，∴，由，解得，所以促销费至少为19万元；（2）网店的利润y(万元)，由题意可得：，当且仅当，即时取等号，此时；所以当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件).20．已知函数．(1)当时，求方程的实数解；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围；(3)若存在两个不相等的正实数，，满足，试比较、2、这三个数的大小关系，并证明你的结论．【答案】(1)；(2)；(3)，证明见解析.【分析】（1）化简后分和两种情况求解即可；（2）分，和三种情况求解函数的最大值，使其最大值小于零即可；（3）不妨设，然后根据分段函数的性质将分三种情况：，和，可得到.【详解】（1）当时，，由，得，，当，即时，，解得或（舍去），当，即时，，解得（舍去），综上，方程的实数解为；（2）①当时，因为，所以，则在上单调递增，所以，符合题意，②当时，，则由对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以，因为，所以，得，所以，③当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，所以，符合题意，综上，，即实数的取值范围为；（3）不妨设，当时，在上单调递增，所以不存在两个不相等的正实数，满足，舍去，当时，为定值，不合题意，当时，，由对勾函数的性质可知，当时，在上单调递增，在上单调递增，而两个分段函数在处函数值相同，所以在上单调递增，所以不存在两个不相等的正实数，满足，舍去，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，即分段函数在处函数值相同，所以要存在两个不相等的正实数，满足，则有三种类型，第一种：，则，令，则，当时，任取，且，则因为，当且仅当时取等号，因为，所以取不到等号，所以，所以，所以，即所以在上单调递增，所以，所以，因为，所以，因为，所以，因为，在上单调递增，所以，所以，综上，，第二种情况：，显然，令，，当时，，任取，且，则，因为，且，所以，，，所以，即，所以在上单调递增，所以，因为，所以，因为，所以，因为，在上单调递增，所以，所以，综上，第三种情况：，由第一种情况可知，则第二种情况可知，所以，综上.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查函数单调性的应用，第（3）问解题的关键是分情况讨论可得当时，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，然后再对分三种情况求解，考查分类思想和数计算能力，属于较难题.21．已知定义城为的函数，若存在实数，使得对任意，都存在满足，则称函数具有性质．(1)判断下列函数是否具有性质，无需说明理由；①；

②(2)若函数的定义域为，且具有性质，则“有解”是“”的__________条件（横线上填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”），并证明你的结论；(3)若存在唯一的实数，使得函数，具有性质，求实数的值．【答案】(1)不具有性质，具有性质(2)必要非充分、证明详见解析(3)或【分析】（1）根据性质对两个函数进行分析，从而确定正确答案.（2）根据充分、必要条件的知识，结合性质作出判断.（3）对进行分类讨论，求得的值域，结合性质以及的唯一性求得的值.【详解】（1）性质：对任意，都存在满足，.①，取，则，而，所以不具有性质.②，的定义域为，值域是，对于任意，，即存在，使，所以具有性质.（2）函数的定义域为，且具有性质，即使得对任意，都存在满足，当“有解”时：如，则，，即的值域是，对任意，即存在使，也即具有性质，但，所以“有解”“”.当“”时，即对任意，都存在满足，即“有解”，所以“”“有解”，所以“有解”是“”的必要不充分条件.（3）依题意，存在唯一的实数，使得函数，具有性质，即：存在唯一的实数，对任意，都存在满足，，，