《概率论与数理统计 第一章》答案

第1章事件与概率2、若A，B，C是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)；(2)；(3)；(4).3、试把表示成n个两两互不相容事件的和．6、若A，B，C，D是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A，B都发生而C，D都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。8、证明下列等式：（1）（2）；；（3）.9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。12、在一个装有n只白球，n只黑球，n只红球的袋中，任取m只球，求其中白、黑、红球分别有只的概率。13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。14、由盛有号码，N的球的箱子中有放回地摸了n次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。16、任意从数列，N中不放回地取出n个数并按大小排列成：，试求的概率，这里18、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概率是多少？19、从n双不同的鞋子中任取2r(2r<n)只，求下列事件发生的概率：（1）没有成对的鞋子；（2）只有一对鞋子；（3）恰有两对鞋子；（4）有r对鞋子。20、袋中有n只球，记有号码，求下列事件的概率：（1）任意取出两球，号码为1,2；（2）任意取出3球，没有号码1；（30任意取出5球，号码1,2,3,中至少出现一个。21、袋中装有号的球各一只，采用（1）有放回；（1）不放回方式摸球，试求在第k次摸球时首次摸到1号球的概率。24、从52张扑克牌中任意抽取13张来，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张草花的概率。25、桥牌游戏中（四人各从52张纸牌中分得13张），求4张A集中在一个人手中的概率。26、在扑克牌游戏中（从52张牌中任取5张），求下列事件的概率：（1）以A打头的同花顺次五张牌；（2）其它同花是非曲直次五比重牌；（3）有四张牌同点数；（4）三张同点数且另两张也同点数；（5）五张同花；（6）异花顺次五张牌；（7）三张同点数；（8）五比重中有两对；（9）五张中有一对；（10）其它情况。27、某码头只能容纳一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在24小时内各时刻来到有可能性都相等，如果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小时，试求有一船要在江中等待的概率。28、两人约定于7点到8点在某地会面，试求一人要等另一人半小时以上的概率。33、设是随机事件，试用归纳法证明下列公式：。36、考试时共有N张考签，n个学生参加考试，被抽过的考签立刻放回，求在考试结束后，至少有一张考签没有被抽过的概率。37、甲，乙丙三人按下面规则进行比赛，第一局由甲，乙参加而丙轮空，由第一局的优胜者与丙进行第二局比赛，而失败者则轮空，比赛用这种方式一直进行到其中一个人连胜两局为止，连胜两局者成为整场比赛的优胜者。若甲，乙，丙胜每局的概率各为1/2，问甲，乙，丙成为整场比赛优胜者的概率各是多少？39、给定，求及。40、已知：，证明：。43、利用概率论的想法证明下列恒等式：其中A，a都是正整数，且46、证明的一切子集组成的集类是一个47、证明：。域。域之交仍为域。48、证明：包含一切形如的区间的最小域是一维波雷尔域。解答2、解：（1）ABC，若A发生，则B与C必同时发生。（2），B发生或C发生，均导致A发生。（3）与B同时发生必导致C发生。（4），A发生，则B与C至少有一不发生。3、解：(或)＝．6、解：（1）{至少发生一个}=（2）{恰发生两个}=..（3）{A，B都发生而C，D都不发生}=.（4）{都不发生}=.（5）{至多发生一个}=.8、解：（1）因为，两边对x求导得，在其中令x=1即得所欲证。（2）在上式中令x=-1即得所欲证。（3）要原式有意义，必须。由于，此题即等于要证.利用幂级数乘法可证明此式。因为，比较等式两边的系数即得证。9、解：10、解：（1）第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以（2）可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以（3）{第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}=.（4）这里事件是（3）中事件的对立事件，所以（5）第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以11、解：末位数吸可能是2或4。当末位数是2（或4）时，前两位数字从剩下四个数字中选排，所以12、解：13、解：P{两球颜色相同}=P{两球均白}+P{两球均黑}+P{两球均红}.14、解：若取出的号码是按严格上升次序排列，则n个号码必然全不相同，。N个不同号码可产生种不同的排列，其中只有一个是按严格上升次序的排列，也就是说，一种组合对应一种严格上升排列，所以共有种按严格上升次序的排列。总可能场合数为，故题中欲求的概率为.16、解：因为不放回，所以n个数不重复。从中取出m-1个数，从中取出个数，数M一定取出，把这n个数按大小次序重新排列，则必有。故。当或时，概率.18、解：有利场合是，先从6双中取出一双，其两只全取出；